9.2 二次根式的乘法与除法 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

9.2 二次根式的乘法与除法 课时1 二次根式的乘法 第9章 二次根式 1.理解并掌握二次根式的乘法法则，建立清晰的数学概念. 2.能熟练运用法则进行二次根式的乘法运算和化简. 学习目标 这是两个二次根式相乘，如何计算呢? 在二次根式的性质： 中 其实（）2 = · ，这是二次根式平方运算, 若改变其中一个其中一个被开方数换成b， 即： · 新课导入 如图,小莹在每个小正方形边长为1的方格纸中画出了一个矩形ABCD,怎样求矩形ABCD 的面积呢? 所以矩形ABCD的面积为×. 方法一： 可由勾股定理得 AB==AD==. 结果是多少呢？ 探究一 二次根式的乘法法则 观察与发现： 新课讲授 方法二： 可用20个小方格的面积减去4个直角三角形的面积， 得到矩形ABCD的面积为10. 新课讲授 通过同一个矩形ABCD两种面积的计算结果，你有什么发现？ 10 = 探究一 二次根式的乘法法则 观察与发现： 新课讲授 (1)计算 = .由此你发现了什么? = =10 =10 ∴= 这个等式换成其他数还成立吗？ 观察与发现： 新课讲授 (1) ___×___=____; =_________; (2) ___×___=____; (3) ___×___=____; =_________; =_________. 2 3 6 4 5 20 7 6 42 观察两者有什么关系？ (2)计算下面每组算式的值,比较计算结果.你有什么猜想? 思考与交流： 新课讲授 8 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) (2) (3) 思考：你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 猜测： 你能证明这个猜测吗？ 探究一 二次根式的乘法法则 新课讲授 9 求证： 因为≥0 ≥0, 所以和都是的算术平方根， 因为一个非负数的算术平方根只有一个, 所以当a≥0 ,b≥0时, . 新课讲授 把这个等式反过来，可=（a≥0，b≥0），运用它可以化简二次根式.例如： == 若二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式.若一个算式的运算结果中含有二次根式，通常将其化为最简二次根式. 二次根式的乘法法则： 归纳 例1 计算: （1） 解：（1）== = = =3×4×=12=×=24 典例精析 练习1、计算: 解: （1）× ； （2）2×3 . （2）2×3 =2×3× =6 （1）× = = （3） . 练一练 例2 化简: （1） ； （2）； 解：（1） 8×7=56 （3） . （2） = 3 将被开方数分解为 完全平方数与非 完全平方数的积 典例精析 将被开方数分解为 完全平方数与非 完全平方数的积 （3） = =× =5×2× = 典例精析 练习2.化简： (1)； (2)； (3). 解：(1)＝＝×＝3； ＝ ＝＝ ×＝2； (2) 练一练 ＝×＝7； 利用平方差公式 分解因式 (3) ＝ ＝ 练一练 (1)当被开方数是几个因数(或因式)的积的形式时，把数(或因式)中能写成平方形式的写成平方形式，再开平方； (2)若积中的因数(或因式)不是非负数，应先将其化为非负数，再运用公式化简. (3)当被开方数是多项式时，要先把被开方数因式分解，再化简. 化简二次根式的一些策略： 归纳 二次根式 二次根式的乘法 乘法法则：二次根式相乘,被开方数相乘，根指数不变 二次根式乘法法则的逆用 · = (a0，b0). =· (a0，b0). 课堂小结 1.下列计算正确的有( ) ① ； ② ； ③ ； ④ ． A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 当堂检测 20 2.计算： (1)×； (2)·； (3)6×(－2)； (4)××. 解：(1)×＝＝＝14. (2)·＝＝. 当堂检测 (3)6×(－2)＝6×(－2)× ＝－12＝－12×9＝－108. (4)××＝＝. 根号外的因数，不要遗漏负号 被开方数有带分数时，要先把带分数化 成假分数，再运用法则计算 当堂检测 9.2 二次根式的乘法与除法 课时2 二次根式的除法 第9章 二次根式 1.理解并掌握二次根式的除法法则. 2.能熟练运用法则进行二次根式的除法运算和化简，理解分母有理化的意义. 学习目标 1.二次根式的乘法法则： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 计算 2.公式逆用： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 化简 新课导入 即二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 类比二次根式的乘法,计算二次根式的除法时,是否可以先将被开方数相除再开方呢? 新课导入 (1) ＝____； ＝______； (2) ＝____； (3) ＝____； ＝______； ＝______； (4) ＝____ . 下列每组两个算式的值相等吗? =2 =2 = ＝_____. = 观察计算结果，发现每组两个算式的值相等 探究一 二次根式的除法法则 观察与发现： 新课讲授 由四组式子的结果，我们得到下面四个等式: (1) ＝ (2) ＝ (3) ＝ (4) ＝ 它正确吗？ (a≥0，b＞0) 分式的分母不能为0，否则无意义.这点容易遗漏，计算时要注意！ 特殊 一般 猜测 新课讲授 证明：在a≥0,b>0的条件下, 又∵表示的算术平方根， 求证： (a≥0，b＞0) ()2= ; （）2 = ∴就是的算术平方根. 思考与交流： ∴和 都是的算术平方根. ∴ = (a≥0，b＞0) 新课讲授 = (a≥0，b＞0) 把这个等式反过来，可得 运用它也可以化简二次根式. 二次根式的除法法则： 归纳 例1、计算： （1）÷； 解：（1）÷； = = = （2） ÷ × ； = = 典例精析 （3）. （3）= = = = 运算结果中分母 通常 不 含 二 次 根 式. 化去分母中二次根式 的过程称为 “分母有 理化”. 典例精析 练习1 计算： 解: （1） ； （2） . 练一练 例2、 化简： (1) ； (2) ；：(1)原式＝ 解：(2)原式＝ ＝ . 解：(1) = = = . (2) ＝ ＝ 还有其他方法吗？ 典例精析 (3) . 解：(3)原式＝ ＝ ＝ . 解：(4)原式＝ ＝ ＝ . （3）= = = 典例精析 (a≥0，b＞0) (a≥0，b＞0) 二次根式 的除法 商的算术 平方根 除法法则 分母有理化 课堂小结 B 1.下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 当堂检测 2.填空 ② ③ 1≤x＜7 (2)已知 成立，则x的取值范围是_________. (1) 如果ab＞0，a＋b＜0，那么下列各式： ① ② ③ 其中正确的有________. 当堂检测 解： 注意分母里的系数-2 的处理办法. 3.计算： 当堂检测 $