重庆育才中学校2025-2026学年八年级下学期自主作业（二）数学试题

重庆育才中学初2027届初二（下）数学自主作业（二） 数学试卷 （满分150分，作业时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 5. 若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 6. 周末，小明从家里跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小明离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2024 10. 如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 要使代数式有意义，应满足的条件是___________． 12. 已知点，都在直线上，则___________（填“>”或“=”或“<”） 13. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，则众数是______． 14. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 15. 如图所示，圆柱形玻璃容器，高19cm，底面周长为30cm，在外侧下底面点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点处有一飞蛾，急于捕获飞蛾充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是______cm．（玻璃容器壁厚度忽略不计） 16. 若关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数的图像经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数a的和是______． 三、解答题：（本大题5个小题，共50分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中相对应题目的位置上． 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，中，是边上的中线，于点F． （1）尺规作图：过点A作的垂线交于点E，连接、（保留作图痕迹，不写作法、结论） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形． 证：， ___①___ 是边上的中线 ___②___ 在和中 ___③___ 又 四边形是平行四边形（___④___） 从而我们可以得到结论，过三角形一条边的两个顶点作这条边上中线的垂线，若这两个顶点与两个垂足形成四边形，则这个四边形是___⑤___． 19. 先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解． 20. 在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_________，_________，_________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 21. “千年新郑枣，颗颗甜心头，营养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老少皆宜．市场调查发现，郑州某店10月份销量是500箱，12月份销量是720箱，其中11月、12月份的销量月增长率相同． （1）求该店11、12月份的月增长率 （2）春节临近，为了让全国人民都能品尝到新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其中成本是每箱60元，当售价是100元每箱时，月销售量是300箱，调查发现，每降价1元可多销售10箱，为使销售利润达到12000元，且尽可能让顾客得到优惠，每箱的售价应定为多少元合适？ 四、单选题 22. 如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 23. 已知整式，其中n，为正整数，，，…，，每个数只能取1，0，中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：，，； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 五、填空题 24. 在矩形中，，，点为上一点，连接，如图1，将矩形沿翻折到矩形所在平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点，则的长为_____；如图2，继续将沿向下翻折到矩形所在平面，点落在点处，连接，则的长为_____． 25. 对任意一个各个数位上的数字均不相等的四位数，若其千位数字的2倍与百位数字的和为13，十位数字的2倍与个位数字的和为14，则称为“结合数”．最大的“结合数”为_____：将“结合数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新数，定义．如果是一个自然数的平方，则满足条件的最小的数为_____． 六、解答题 26. 如图，在中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒（点P不与端点、重合），的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线与的图象有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 27. 在平面直角坐标系中，每一个点的位置都由一个有序数对来表示，直线是所有横坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线；同理，直线则是指所有纵坐标等于1的点组成的集合，这条直线是一条与轴平行的直线．作点关于直线的对称点，记为变换；作点关于直线的对称点，记为变换．已知，． （1）点作变换得到，点作变换得到，那么_____． （2）已知点，平面直角坐标系中有一点，将先作变换，再作变换得到点． ①若点在线段上运动，当时，求的坐标． ②若点在射线上运动，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 28. 如图，等腰中，，点为直线上一点，点为直线上一点． （1）如图1，，，点在线段延长线上，且，点为线段上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转，点的对应点恰好为延长线上的点，求的长． （2）如图2，，点在延长线上，点在延长线上，连接，点为上一点，连接，满足，点为上一点且满足，当时，求证：； （3）如图3，，，点、分别在线段、线段上，满足，连接线段、，为直线上一动点，连接，记直线、交点为．当最小时，将线段绕着点逆时针旋转至，连接，当最小时，直接写出的长． 重庆育才中学初2027届初二（下）数学自主作业（二） 数学试卷 （满分150分，作业时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】且 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】5 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】25 【16题答案】 【答案】2 三、解答题：（本大题5个小题，共50分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中相对应题目的位置上． 【17题答案】 【答案】（1） ， （2） ， 【18题答案】 【答案】（1） 如图所示，图形即为所求： （2）①；②；③；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤平行四边形 【19题答案】 【答案】；1 【20题答案】 【答案】（1），， （2） 八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【21题答案】 【答案】（1）11、12月的月增长率为 （2）每箱售价应为90元 四、单选题 【22题答案】 【答案】C 【23题答案】 【答案】C 五、填空题 【24题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 【25题答案】 【答案】 ①. 6170 ②. 4562 六、解答题 【26题答案】 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【27题答案】 【答案】（1） （2）①；②点的坐标为或或或 【28题答案】 【答案】（1） （2）见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $