2026年中考数学专练：数与式

2026年中考数学专练：数与式 一、单选题 1．的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 2．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间的变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为14960万千米，数据14960万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B．12 C． D．10 6．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 7．观察下图，根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字2025，则n为（    ） A．32 B．45 C．1013 D．1014 8．化简的结果是（） A． B． C． D． 9．如图将一个圆形转盘均分成3个扇形，扇形上写有三个等式，随机转动转盘两次，记录得到的两个等式（指向边界处重转），则两次记录的等式都错误的概率是（   ） A． B． C． D． 10．对于正整数、定义一种新运算如下：等于由开始的连续个正整数的积，比如：，，．给出如下结论：①；②对任意正整数，的运算结果一定是6的倍数；③对任意正整数，；④对任意正整数，，代数式的值都大于1．在上述结论中，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．计算： ________． 12．分解因式：． 13．二次根式有意义的条件是______． 14．若，则代数式的值为___________． 15．在，，，，这五个数中，无理数有________个． 16．我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”． （1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______； （2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______． 三、解答题 17．计算： (1) (2) (3) (4) 18．计算： (1) (2) 19．计算： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中，． 21．先化简，再求值：，其中． 22．请同学们认真阅读下面求代数值的方法． 已知实数、满足，计算的值． 解：因为， 所以． 借鉴上面的方法，解决下列问题： 若实数a、b满足． (1)求的值； (2)求的值． 23．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为 ． 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若，，求的值． (3)若满足，求的值． 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学专练：数与式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C B D C C D C 1．A 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2．D 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，为整数，解题时先将14960万化为普通整数，再确定和的值即可． 【详解】解：． 3．A 【分析】根据对应运算法则逐一计算选项即可判断结果． 【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，选项A正确，符合题意； B、合并同类项时，系数相加，字母与指数不变，故，选项B错误，不符合题意； C、幂的乘方，底数不变，指数相乘，故，选项C错误，不符合题意； D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，故，选项D错误，不符合题意． 4．C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 5．B 【分析】先根据已知条件求出，再利用三角形的三边关系求出的取值范围，然后将面积表达式转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为144， ∴三角形面积的最大值为． 6．D 【分析】根据单项式乘单项式法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积，保留原有单独字母即可得到结果． 【详解】解： = ． 7．C 【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于2025，解得为正整数即成立，否则舍去． 【详解】解：根据图形规律可得： 上三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：，若，解得，为正整数，符合题意； 下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，都不为正整数，舍去． 8．C 【分析】先根据分式的加减计算括号内的运算，再根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ． 9．D 【分析】列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设为A（计算正确），为B（计算错误），为C（计算错误）， 列表如下： A B C A B C ∴共有9种可能结果，其中两次记录的等式都错误的有4种， ∴两次记录的等式都错误的概率为． 10．C 【分析】对于①，直接根据新定义求解即可；对于②，由题意得，，则中，一定有一个数为3的倍数，一个数为2的倍数，即可判断；对于③，利用新定义将原式化为，即可判断；对于④，利用新定义将原式化为，即可判断． 【详解】解：，故①错误； 由题意得，， ∵n为正整数， ∴中，一定有一个数为3的倍数，一个数为2的倍数， ∴的运算结果一定是6的倍数，故②正确； ， 故③正确； ， ∵均为正整数， ∴， 故④正确， ∴正确的有个． 11．5 【详解】解：． 12． 【分析】原式符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 13． 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，则， 解得：． 14．6 【分析】本题考查了公式法化简和代数式代入求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先将根据公式法化简为，然后把代入，即可求解； 【详解】解：， ∵， ∴； 故答案为：6； 15． 【详解】解：是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 是无限不循环小数，是无理数， 故无理数共有个． 16． 180 342 【分析】本题考查整式加减的应用，新定义运算，理解“方和数”的定义是解题的关键． （1）设，则，只需a，b都取最小值时，的值最小； （2）先计算出，根据B除以17余数为3，可得能被17整除，进而可得是17的倍数，b为一位数偶数，尝试a取最小值1，依次计算即可． 【详解】解：（1）设，则，其中，， 求最小的“方和数”，即的最小值， 取，， ，， ，即最小的“方和数”是180， 故答案为：180； （2）将放在的右边组成一个新的四位偶数B， ， B除以17余数为3， 能被17整除， 是整数， 是整数，即是17的倍数， 求满足条件的最小正整数A， 尝试a取最小值1， B是四位偶数， 可能为0，2，4，6，8， 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，是17的倍数，符合题意； ，， 满足条件的最小正整数A为：， 故答案为：342． 17．(1) (2) (3)5 (4) 【分析】（1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可得到答案； （2）原式先把除法转换为乘法，再进行乘法运算即可； （3）原式运用乘法分配律进行计算即可； （4）原式先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．(1)1 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．， 【分析】先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再将，代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21．， 【分析】先根据分式乘法法则计算，再把代入化简式计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．(1)18 (2)123 【分析】（1）阅读题目中所给的求代数值的方法，按照这个方法代数求值； （2）利用题目中所给的方法，结合（1）中的数据，变形代入数值计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ． 23．(1) (2) (3) (4)长为米 【分析】本题考查完全平方公式的实际应用，利用完全平方式的变形求值是解题关键． （1）阴影面积为两个小正方形，也可以看作大正方形减去两个矩形，由此得到等式； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）将看作，看作，则，，利用（1）的结论进行计算即可． （4）设，，由题意可得，，利用完全平方公式计算得． 【详解】（1）解：观察图②可知，阴影部分为两个小正方形，面积和为，也可以用大正方形减去两个矩形得到，即， ∴运算为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又∵，， ∴； （3）解：设，，则， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴， ∴； （4）解：设，， ∵于点， ∴（平方米），（平方米），（平方米），平方米， ∵种花区域的面积和为平方米，种草区域的面积和为平方米， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ∴， ∴，即米， 答：长为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $