专题02 相交线与平行线（期中真题汇编，山东专用）七年级数学下学期

专题02 相交线与平行线 4大高频考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04 平行线的判定与性质 ( 考点01 相交线 )一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列各图中的和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线与相交于点 O，射线 是的平分线，，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，如果，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期中）因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）点是直线外一点，在直线上取三点、、，若满足，则下列关于点到直线的距离的说法正确的是（　　） A． B．的值大于2且小于6 C．的值一定大于6 D．的值大于0且不大于2 二、填空题 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）一个角是，则这个角的余角的度数是_______． 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）一个角的度数是63度，则这个角的补角的度数是_______度． 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 三、解答题 11．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，直线，相交于点O，，若，求的度数． 12．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，已知直线和相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________；的余角是________； (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级下·山东滨州·期中）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段这三条线段大小关系是怎么样的（用“”号连接）？并说明理由． ( 考点0 2 平行线的判定 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，下列说法中错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．的顶点A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺根据下列要求进行作图： (1)过点E作线段的平行线，并标出平行线所过的格点G； (2)过点D作线段的垂线，并标出垂线所过的格点F； (3)的面积为______． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点到线段的距离即线段 的长； (4)线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． ( 考点0 3 平行线的性质 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是____（填写序号） 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）某村要修建一条水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．若与方向一致，则_______． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是___________°． 三、解答题 6．（24-25七年级下·山东德州·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 7．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，内有一点． (1)过点P作射线，交于点K；过点P作线段，垂足为H； (2)写出图中相等的角． (3)若，求的度数． 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）直线，直线与，分别交于点，，（），小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点，分别在直线，上，，． (1)猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若的平分线交直线于点． ①如图②，当，时，求α的度数； ②小明将三角板沿直线左右移动，保持，请直接写出的度数．（用含的式子表示） ( 考点0 4 平行线的判定与性质 ) 一、填空题 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知，，，则___________． 二、解答题 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知：如图，，，，求的大小． 4．（23-24七年级下·广东珠海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．     (1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 5．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，平分． (1)如图1，判断和的位置关系，并说明理由； (2)点在射线上，点在射线上，，连接． ①如图2，若点在点的右侧，，求的度数； ②如图3，若点在点的左侧，，求的度数．（用含的代数式表示） 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）在制作“地球仪”实实践活动中，小明根据以下制作原理绘制了“地球仪”平面设计图，并解决以下问题： 绘制“地球仪”平面设计图（从正面看） 制作原理 原理1 原理2 原理3 如图1，确定地球上两极和赤道的位置，连接南北两极确定地轴，地轴与赤道平面垂直； 如图2，地轴倾斜角为66.5°； 如图3，利用三角形的稳定性制作支架，保证地球仪的稳定； 问题解决 将以上问题抽象为以下数学问题：如图4，已知，，，，点E在上，且，求的度数． 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）完成下题的解答过程： 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直地面于点A，平行于地面，若，求的度数． 解；如图3，过点作． 因为（已知）， 根据平行于同一条直线的两条直线平行，得 （_____） 所以根据（_____），得 （_____）， 因为， 所以（_____）． 因为， 所以（_____）． 因为， 所以（_____）， 所以（_____）， 所以（_____）． 8．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，． 某同学进行了下面操作： 第一步，将边沿过点A的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点D，折叠后展开； 第二步，将边沿过点D的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点E，折叠后展开； 第三步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点A与点D重合），折痕与，分别交于点F，G，折叠后展开； 第四步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点F与点G重合），折痕与分别交于点H，K，P，折叠后展开． 根据上面的操作，解答下面问题： (1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想； (2)若，，求的度数． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线 4大高频考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04 平行线的判定与性质 ( 考点01 相交线 )一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列各图中的和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的识别，根据对顶角的含义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角进行判断即可． 【详解】解：A、满足对顶角的含义，故是对顶角； B、其中的一条边不是的一条边的反向延长线，故和不是对顶角； C、和不共顶点，故和不是对顶角； D、和是互补的角，不是对顶角； 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直，对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．根据垂直定义求出，根据对顶角相等求出，即可得解． 【详解】解：，相交于点，， ， ， ， ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线与相交于点 O，射线 是的平分线，，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等；由角平分线的定义得，由对顶角相等，即可求解；理解定义，掌握对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：平分，， ， ． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，结合量角器求出圆心角的度数即可． 【详解】解：由图和对顶角相等，可得：这个扇形零件圆心角的度数为； 故选A． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，如果，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角性质，得，结合，解答即可． 本题考查了余角的性质，直角定义，角的和，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ， 故选：D． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期中）因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查同角的补角，根据同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 7．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）点是直线外一点，在直线上取三点、、，若满足，则下列关于点到直线的距离的说法正确的是（　　） A． B．的值大于2且小于6 C．的值一定大于6 D．的值大于0且不大于2 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质． 根据点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质即可得到答案． 【详解】解：直线外一点于直线上所有点连接所得线段中垂线段最短，这条垂线段就是点到直线的距离，， ， 故选：D． 二、填空题 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）一个角是，则这个角的余角的度数是_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了余角的计算，熟练掌握定义是解题的关键．根据两个角的和为称作互为余角解答即可． 【详解】解：根据题意，得的余角为， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山东济南·期中）一个角的度数是63度，则这个角的补角的度数是_______度． 【答案】117 【分析】本题考查求一个角的补角，根据两个角的和是，那么这两个角互为补角求解即可． 【详解】解：∵一个角的度数是63度， ∴这个角的补角的度数是（度）， 故答案为：117． 10．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，直线，相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，垂直的定义等知识，根据对顶角的性质求出，根据垂直的定义得出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，已知直线和相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________；的余角是________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，垂线定义理解，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，数形结合． （1）根据对顶角和余角的定义进行解答即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，根据角平分线定义求出，最后根据角的和差求出结果即可． 【详解】（1）的对顶角是； ∵， ∴， ∴， ∴的余角是． 故答案为：；； （2）由，得． 由对顶角相等得． 由角的和差得． 由平分，得． 由角的和差得． 13．（24-25七年级下·山东滨州·期中）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段这三条线段大小关系是怎么样的（用“”号连接）？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．依据是垂线段最短 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）取格点D，连接并延长交于点C，由网格线的特征易得，即可得到； （3）根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求： （2）解：如图所示，为所求： （3）解：依据是垂线段最短得：，， 则． ( 考点0 2 平行线的判定 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，下列说法中错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 与是同位角，说法错误，故该选项符合题意； B. 与是同位角，说法正确，故该选项不符合题意； C. 与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； D. 与是同旁内角，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角，的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得：的同位角是， 故选：A． 二、解答题 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．的顶点A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺根据下列要求进行作图： (1)过点E作线段的平行线，并标出平行线所过的格点G； (2)过点D作线段的垂线，并标出垂线所过的格点F； (3)的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定及性质，网格三角形面积等； （1）将向右平移，向下平移得，由平移的性质得，即可求解； （2）将向下平移得，由平移的性质得，由判定，结合全等三角形的性质，即可求解； （3）由，即可求解； 能利用平移的性质及全等三角形的判定及性质作图，割补法求三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，将向右平移，向下平移得，故， 直线、点为所求； （2）解：如图， 将向下平移得， ， ，，， （）， ， ， ， ； 是的垂线，为求作的格点； （3）解：如图， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点到线段的距离即线段 的长； (4)线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查过直线外一点作已知线段的平行线和垂线，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是正确理解题意，灵活应用所学的知识解决实际问题． （1）根据平行线的作法作图即可； （2）根据垂线的作法作图即可； （3）根据点到直线的距离，写出正确答案即可； （4）根据垂线段最短，写出正确答案即可． 【详解】（1）解：如图，直线为所求． （2）解：如图，直线为所求． （3）解：∵于点， ∴点到线段的距离即为线段的长， 故答案为：． （4）解：∵于点， ∴线段、的大小关系是， 理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． ( 考点0 3 平行线的性质 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，    由题意得，， ∴（两直线平行同位角相等）． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是____（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．根据平行线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴（1）， ∵， ∴（2）， ∴（1）（2）得，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴（3）， ∵（1）， （3）（1）得，，故④正确； 综上，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期中）某村要修建一条水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．若与方向一致，则_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，正确辨析方向角，平行线的性质是解题的关键．根据方向角，平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图，根据题意，得， ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时、会发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，水中两条光线是平行的，若，则与的度数和是___________°． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，得，结合，计算即可， 本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25七年级下·山东德州·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度以及探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由得到，再由平角的意义结合得到，再解方程即可； （2）过点F作，则，那么，，故； （3）由，则． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，解得． （2）解： 如图，过点F作． 因为， 所以， 所以，， 所以． 因为， 所以． （3）解：．理由如下： 因为， 所以， 即， 整理可得． 7．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，内有一点． (1)过点P作射线，交于点K；过点P作线段，垂足为H； (2)写出图中相等的角． (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图——复杂作图，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据要求作图即可； （2）根据平行线的性质即可解答； （3）由（2）知，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： （2）解：由（1）知，， ∴ ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·山东济南·期中）直线，直线与，分别交于点，，（），小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点，分别在直线，上，，． (1)猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若的平分线交直线于点． ①如图②，当，时，求α的度数； ②小明将三角板沿直线左右移动，保持，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，分类讨论是解决问题的关键． （1）过点作，先证，进而得，，则，据此可得出答案； （2）①先证，进而得，，再根据平分可得，然后再由可得； ②将三角板沿直线左右移动时，有以下两种情况：（）当点在点的右侧时，先由得，再由得，然后根据角平分线定义得，最后再根据可得的度数；（）当点在点的右侧时，先由得，则，再根据得，，则，然后根据角平分线定义得，由此可得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作，如图①所示： ， ， ，， ； （2）①，，， ， ，， 平分， ， ， ， ； ②将三角板沿直线左右移动， 有以下两种情况： （ⅰ）当点在点的右侧时，如图②所示： ，，， ， ， ， 平分， ， ， ； （ⅱ）当点在点的左侧时，如图③所示： ，，， ， ， ， ，， ， 平分， ， ． 综上所述：的度数为或． ( 考点0 4 平行线的判定与性质 ) 一、填空题 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知，，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点C作，，根据平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）根据平行线的性质和角平分线定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 又， ， 又平分， ， ， ． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知：如图，，，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的性质可得，结合已知可得，进而可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24七年级下·广东珠海·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．     (1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，作，利用平行线的性质进行解答即可； ②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①如图3，当时，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②存在， 如图4，当时，， ∴； 如图5，当时，； 如图6，当时，， ∴； 如图7，当时，， ∴．      综上，当时，；当时，；当时，；当时，． 5．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，平分． (1)如图1，判断和的位置关系，并说明理由； (2)点在射线上，点在射线上，，连接． ①如图2，若点在点的右侧，，求的度数； ②如图3，若点在点的左侧，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，垂直的意义等知识点． （1）根据角平分线结合已知得到，即可求证平行； （2）①过点作，先根据平行线的判定与性质证明，那么，则，，再由垂直的意义以及角的和差运算即可求解；②过点作，先证明，则，再由平行线的性质以及角的和差运算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：①过点作， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以； ②过点作， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）在制作“地球仪”实实践活动中，小明根据以下制作原理绘制了“地球仪”平面设计图，并解决以下问题： 绘制“地球仪”平面设计图（从正面看） 制作原理 原理1 原理2 原理3 如图1，确定地球上两极和赤道的位置，连接南北两极确定地轴，地轴与赤道平面垂直； 如图2，地轴倾斜角为66.5°； 如图3，利用三角形的稳定性制作支架，保证地球仪的稳定； 问题解决 将以上问题抽象为以下数学问题：如图4，已知，，，，点E在上，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，结合角的和差，即可求解；能熟练利用平行线的判定及性质求角度是解题的关键． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）完成下题的解答过程： 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直地面于点A，平行于地面，若，求的度数． 解；如图3，过点作． 因为（已知）， 根据平行于同一条直线的两条直线平行，得 （_____） 所以根据（_____），得 （_____）， 因为， 所以（_____）． 因为， 所以（_____）． 因为， 所以（_____）， 所以（_____）， 所以（_____）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；44；90；；90；134 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，关键是平行线判定定理的应用．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解；如图3，过点作． 因为（已知）， 根据平行于同一条直线的两条直线平行，得 ， 所以根据两直线平行，同旁内角互补，得 ， 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；44；90；；90；134． 8．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，． 某同学进行了下面操作： 第一步，将边沿过点A的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点D，折叠后展开； 第二步，将边沿过点D的一条直线折叠，使与所在直线重合，折痕与交于点E，折叠后展开； 第三步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点A与点D重合），折痕与，分别交于点F，G，折叠后展开； 第四步，对折线段（即把线段沿某一直线折叠，使点F与点G重合），折痕与分别交于点H，K，P，折叠后展开． 根据上面的操作，解答下面问题： (1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）证明，即可得到结论； （2）求出．根据即可得到答案． 【详解】（1）． 证明：由折叠可知：． ∵． ∴． 同理：． ∴ ∴． （2）解：由折叠可知：． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $