正弦定理和余弦定理专项巩固提高训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用----正弦定理和余弦定理专项巩固提高 一、单选题 1．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 2．在中，角所对的边分别为，是边的中点，， 若，则边（   ）. A．16 B． C．4 D．8 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则△ABC是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（    ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 二、多选题 9．设的内角的对边分别为若，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 11．在中，若，则的形状为（   ）（多选题） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 三、填空题 12．设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为____________. 13．在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 14．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 四、解答题 15．已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 16．在中，角的对边分别为，若： (1)求的大小； (2)求的最大值. 17．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求边AC上的高． 18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 19．在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________． (1)求角A的大小； (2)若E为BC中点，且，，求AC的值； (3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 2．C 【分析】利用余弦定理整理可得，代入数据运算求解即可. 【详解】因为，可知， 由余弦定理可得， 且，可得， 即，解得. 故选：C. 3．C 【分析】先利用余弦定理求出，继而利用余弦定理求出，即可判断出三角形形状. 【详解】由余弦定理可知，． 因为，所以，得，即， 则， 则，从而△ABC是钝角三角形． 故选：C 4．A 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 5．D 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 6．B 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 7．A 【分析】先利用三角形面积公式,对已知条件转化，再结合余弦定理得到，利用辅助角公式化简得到关于的三角函数式，最后利用诱导公式和同角三角函数关系得到 【详解】由题意，，由余弦定理：， 两式相加得：，其中， 因为，，又，所以，于是，所以， 故选：A. 8．C 【分析】根据题意，得到，在中，利用余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】在中，因为，可得 在中，因为，可得 在中，因为 由余弦定理得 即，可得 解得或（舍去），即塔的高度为30米. 故选：C. 9．AD 【分析】利用余弦定理求边，再利用等腰三角形求角，即可判断. 【详解】由，得， 由，得．又，，所以． 故选:AD． 10．BC 【分析】根据已知条件利用正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，即， ，又， 或． 故选：BC． 11．AC 【分析】利用正弦定理及余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状. 【详解】法一：由正弦定理及余弦定理知， 原等式可化为， 整理得：， 或， 故三角形为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为， ，， 又，， 或， 或， 故为等腰三角形或直角三角形． 故选：AC. 12．/ 【分析】利用余弦定理求出，再结合可求. 【详解】因为，，， 由余弦定理，得，即， 故，解得， 故的周长为. 故答案为：. 13．2 【详解】设，由于， 所以， 故， 所以 ， 故当即时，此时取最大值4，故面积的最大值为2. 14． 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 15．(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【详解】（1）在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 （2） 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 16．(1) (2) 【分析】（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角的余弦值，进而求出角的值； （2）由（1）可知，所以，用代替角，化简，结合角的范围即可求出最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 又，所以. （2）由（1）可知，所以， 则 又，则， 所以当时，即时，有最大值为1. 17．(1) (2) 【分析】（1） 先应用正弦定理边角转化再结合两角和的正弦化简，最后应用角的范围求解； （2）应用正弦定理结合两角和的正弦化简，最后应用正弦定义计算求解； 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得：， 又因为在中，， 所以， 化简，得：， 因为，所以， 所以，， 即． （2）因为，所以， 由正弦定理，可得， 由（1）可知：，所以，， 即， 又因为在中，， 所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【详解】（1）由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 19．(1) (2)2； (3) 【分析】（1）选①：利用正弦定理边角互化，再由余弦定理即可求得；选②：利用向量数量积的定义式和三角形面积公式化简计算即得；选③：利用二倍角公式和诱导公式化简后解方程即得. （2）由E为BC中点可得，两边同时平方，由向量的数量积运算可得关于的方程，求解即可； （3）设，将所有相关角用表示，再用正弦定理将AC长用的三角函数式表示出来，通过恒等变换化成正弦型函数，求得的范围，结合正弦函数的性质即可求出AC的最大值． 【详解】（1）选①：， 由正弦定理，可得， 再由余弦定理，可得， 又，所以； 选②：由，可得 ， 又，所以； 选③：由，可得，即， 即，解得或（舍）， 又，所以； （2）如图，因为E为BC中点，所以， 所以，即， 即， 因为，，， 所以，即， 解得，即AC的值为2； （3）已知，，， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 可得， 在中，由正弦定理得：， 可得 ， 因为是锐角三角形，所以，解得 则， 故当时，可得AC的最大值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $