专题02 平面向量、数列（4大考点）（安徽专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 平面向量、数列 4大考点概览 考点01平面向量运算与数量积 考点02平面向量的应用 考点03数列 考点04数列的应用 ( 平面向量 运算与数量积 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2026·安徽合肥·一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在第一象限，过作直线的垂线，垂足分别为，则（） A． B．若，则 C．若，则直线的斜率为 D．的面积最小值为 三、填空题 7．（2026·安徽宿州·一模）在中，分别是边边的中点，若，则的面积是______. 8．（2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________． 9．（2026·安徽合肥·一模）已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点在上，点满足，则的最小值为_____． 10．（2026·安徽芜湖·一模）已知向量，若，则实数_______________. 四、解答题 11．（2026·安徽宿州·一模）对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若曲线上的每一点绕原点逆时针旋转后得到曲线. （i）求曲线的方程； （ii）已知点在曲线上按逆时针排列，且有，求直线斜率的取值范围. 12．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． ( 平面向量的应用 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽淮北·一模）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·安徽淮北·一模）已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________． ( 数列 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列满足：，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽芜湖·一模）等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·安徽淮北·一模）记为数列的前项和．若，当时，，则常数的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 二、填空题 4．（2026·安徽合肥·一模）已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 5．（2026·安徽淮南·一模）已知等差数列的前项和为，，，则__________． 三、解答题 6．（2026·安徽安庆·一模）设为数列的前n项和，已知，且． (1)求数列的通项公式： (2)设数列满足，证明：，并求的最大项． 7．（2026·安徽宿州·一模）已知各项均不为零的数列，且满足. (1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和； (2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 8．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 9．（2026·安徽淮北·一模）已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． ( 数列的应用 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽安庆·一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有（    ） A．函数有且只有一个零点 B．若函数在区间内均存在零点，则 C．若，则数列为递增数列 D．存在实数，使得数列为常数列 3．（2026·安徽宿州·一模）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（    ） A．数据的平均数是 B．数据的平均数是 C．若，则数据的中位数大于数据的中位数 D．若，则数据的平均数大于数据的平均数 三、解答题 4．（2026·安徽马鞍山·一模）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比和的等比和数列，且，记． (1)求证：数列是周期数列，并指出其周期； (2)求的值． 5．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量、数列 4大考点概览 考点01平面向量运算与数量积 考点02平面向量的应用 考点03数列 考点04数列的应用 ( 平面向量 运算与数量积 考点1 ) 一、单选题 1．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量关系得到点坐标，代入椭圆方程化简求解即可. 【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设. 由得， 所以，，即. 代入椭圆方程得，整理得，即. 又，所以. 故选：C. 2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 3．（2026·安徽黄山·一模）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据投影向量计算公式得，再平方后展开代入计算即可. 【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则， 则. 故选：B. 4．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式计算，即可求解. 【详解】由向量，可得粒子相对粒子的位移为， 可得且， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 5．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】， ∴. 故选：A. 二、多选题 6．（2026·安徽合肥·一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在第一象限，过作直线的垂线，垂足分别为，则（） A． B．若，则 C．若，则直线的斜率为 D．的面积最小值为 【答案】ABD 【分析】通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、抛物线定义及代数运算，逐一验证各选项的正确性，即可得出结果. 【详解】设直线的方程为，与抛物线联立：， ，设，， 由韦达定理得，. 因为是到准线的垂足，所以. 向量，. 对于选项A，因为，且， 所以，所以，故A正确. 对于选项B：是到准线的垂足，所以，，. 若，则有 所以， 又因为，代入上式可得：，解得：，则. 因此点坐标为，所以，B正确. 对于选项C： 由得：，即：， 联立：，消可得：则， 所以，即，代入化简可得：即 解得（均舍去），即. 直线过焦点，所以，因此C错误. 对于选项D：，， 所以 由得，又，， 所以，则，所以 将和代入面积公式： 令，则，代入得： 令，解得（舍去），即. 此时，，所以 因此，的面积最小值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．（2026·安徽宿州·一模）在中，分别是边边的中点，若，则的面积是______. 【答案】 【分析】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解. 【详解】如图，设的三条中线交于点，则点为的重心， 由重心的几何性质有，，， 在中，，所以， 即，解得，所以， 所以； 所以，即的面积是. 故答案为：. 8．（2026·安徽安庆·一模）已知的面积为，，，则___________． 【答案】 【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出. 【详解】 如图所示，过作交于点. 则有， ，. 因为的面积为，， 所以，解得. 所以 . 解得，即. 9．（2026·安徽合肥·一模）已知直线与轴、轴分别交于点，点在曲线上，点在上，点满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】平移直线与曲线相切，求得曲线上的点到直线的最小距离，进而可求得到直线的距离的最小值，取的中点为，进而可求的最小值. 【详解】当直线平移到与曲线相切于点， 此时切点是曲线上的点到直线的距离最小的点， 由，得， 因为直线的斜率为，所以令，整理得， 解得（舍去）或，又，故此时切点， 且此时到直线的距离为， 又，故此时到直线的距离为， 取的中点为，时，的长取得最小值，如图所示： 由直线，可得， 所以，所以， 又 , 故最小时，的最小值，且最小值为. 故答案为：. 10．（2026·安徽芜湖·一模）已知向量，若，则实数_______________. 【答案】6 【分析】由以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】若，则，则， 故答案为：. 四、解答题 11．（2026·安徽宿州·一模）对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若曲线上的每一点绕原点逆时针旋转后得到曲线. （i）求曲线的方程； （ii）已知点在曲线上按逆时针排列，且有，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题目给的旋转角定义可得答案； （2）（i）利用轨迹方程求法里的坐标转移法，以及题目给的旋转定义可得答案；（ii）方法一：利用题目给的旋转的定义，点的坐标用点表示出来，代入到曲线中，运算可得答案；方法二：设直线，分别求出的弦长，利用，列方程，可得答案. 【详解】（1），设，则， 由于逆时针旋转，根据公式有， 解得，即. （2）（i）在曲线上任取点，则有， 因为绕原点旋转，设旋转后得到点， 必有， 故，即曲线的方程为. （ii）方法一：（旋转设点法）设， 利用向量坐标旋转公式，易得， 则直线DE斜率，设点，则点为，点为. 因为点E，F在曲线上，所以， 即，两式相加有， 即， 解得. 方法二：（常规设线法）设点，直线的斜率为， 则直线的方程为， 联立可得， 化简求解得， 同理设直线的方程为，可解得， 由弦长公式可得 因为故， 化简得，平方有， 解得或者. 由于点三点按逆时针排列， 不妨设点在第三象限，即，则有如下三种关系： ①当时有，如图1所示， 必有或， 解得或者，即； ②当时有，如图2所示， 必有或， 解得或者，即； ③当时解得或者， 显然不满足（注：时可以理解为弦长无限长意义下的相等，与题意不符）， 综上，弦所在的直线的斜率k的取值范围是. 12．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出． （2）利用向量的数量积求出的值，设的长为，则，利用三角形的面积公式得到的等式，解出的值，即为的长． 【详解】（1）由． 故，而，得． （2）由， 设的长为，由． 即的长为． ( 平面向量的应用 考点 2 ) 一、多选题 1．（2026·安徽淮北·一模）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量记为，已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B，需要根据向量旋转的定义判断等式是否成立；对于选项C，要根据已知条件逐步计算出，再与右边式子进行比较；对于选项 D，需要找出的规律，进而求出. 【详解】对于选项A， 向量绕起点逆时针旋转角的变换是线性变换， 对应复数乘法中的旋转因子，两次旋转角相当于旋转角， 即，故选项A正确； 对于选项B，旋转矩阵是线性变换，满足可加性，设，， 则， 则， ， ， ， 即，故选项B正确； 对于选项C，， ，，， 故选项C错误； 对于选项D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故是周期为的数列，，又， ，故选项D正确. 故选：ABD. 二、填空题 2．（2026·安徽淮北·一模）已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则__________． 【答案】/ 【分析】易知，所以为等腰三角形，所以连接，延长交于点，则为的中点. 根据三点共线，及三点共线，求得.设，结合勾股定理列出相应的方程，求解得的值，进而得到的值. 【详解】因为点是的外心，所以过作的垂线，交于点，则为的中点. 由题可知，，所以，所以. 因为，所以.所以为等腰三角形. 连接，延长交于点，则为的中点. 设，则. 由，得； 所以； 由，， 得. 所以，解得. 设，则，，所以，. 由，得，所以，所以. 所以. ( 数列 考点 3 ) 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用归纳递推法，结合对数函数性质可得，利用不等式性质判断AC；构造函数并利用导数确定单调性判断CD. 【详解】数列中，，函数是增函数，且当时，， 则，…， ，因此，AC错误； ，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，而，则， 因此，所以，B错误，D正确. 故选：D 2．（2026·安徽芜湖·一模）等差数列的前项和为，满足，则公差（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，满足， 所以，解得， 所以由，即，解得， 故选：C 3．（2026·安徽淮北·一模）记为数列的前项和．若，当时，，则常数的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用等比数列的求和公式求出，利用极限的定义求出常数的值. 【详解】设，则是以为首项，公比的等比数列， 为数列的前项和， ， ， ，当时，， ，. 故选：B. 二、填空题 4．（2026·安徽合肥·一模）已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【分析】先列出等差数列的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式． 【详解】已知是等差数列，设公差为，则， ， ，解得， ． 故答案为：． 5．（2026·安徽淮南·一模）已知等差数列的前项和为，，，则__________． 【答案】1100 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，， 联立解得，， 所以，， 所以. 故答案为：1100. 三、解答题 6．（2026·安徽安庆·一模）设为数列的前n项和，已知，且． (1)求数列的通项公式： (2)设数列满足，证明：，并求的最大项． 【答案】(1) (2)证明见解析，最大项为 【分析】（1）根据题设，结合与的关系可得，，进而得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可； （2）先得到，结合极限的定义求证即可，再根据数列的单调性求解最大项． 【详解】（1）由，得， 当时，， 则， 即，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则. （2）由（1）知，， 则，所以. 由于数列为递减数列，则时，取得最大值，即的最大项为. 7．（2026·安徽宿州·一模）已知各项均不为零的数列，且满足. (1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和； (2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先应用已知转化为得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解； （2）先应用累乘法求出通项公式，再应用裂项相消法计算证明. 【详解】（1）由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； （2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 8．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【详解】（1）当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． （2）由题意，则， 所以， 即． 9．（2026·安徽淮北·一模）已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用等比数列的通项公式和累加法求解. 【详解】（1）由得：， 即，故为等比数列； （2），由（1）得．即， 于是 ． ( 数列的应用 考点 4 ) 一、单选题 1．（2026·安徽安庆·一模）A系列纸张是生活中最常用规格的纸，A系列纸张命名规则：①一张型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张型号纸张；②一张型号的纸张面积是1平方米；③所有型号的纸的长宽比相等．现从到，每种型号的纸各取一张，则所有纸张的周长之和为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由裁剪规则和长宽比建立的递推关系，证明为等比数列，再求通项、求和，最后计算周长总和即可. 【详解】设纸的宽和长分别为， 则，. 因为，又，所以，解得 又，所以，. 根据题意，，，又，即， 所以，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 同理，，是首项为，公比为的等比数列. 因此，， 故所有纸张的周长之和为. 二、多选题 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有（    ） A．函数有且只有一个零点 B．若函数在区间内均存在零点，则 C．若，则数列为递增数列 D．存在实数，使得数列为常数列 【答案】ACD 【分析】利用导数判断函数的单调性即可说明A，由单调性可得，即可求出的范围判断B，当时可得，推导出，再利用函数的单调性判断C，设（常数），则对任意，恒成立，解出即可判断D. 【详解】选项A：因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又时，时， 所以函数有且只有一个零点，A说法正确； 选项B：当时，恒成立，所以在上单调递增， 又， 所以若函数在区间内均存在零点，只需满足即可， 所以对任意成立即可， 易知函数在上单调递减，所以， 所以，B说法错误； 选项C：当时，因为在上单调递增，，， 所以， 当时， 由于是函数在的零点，所以， 所以，则，数列为递增数列，C说法正确； 选项D：若存在实数，使得数列为常数列，设（常数）， 则对任意，恒成立，解得或， 当时，代入得解得， 当时，代入得，因故舍去， 所以当时，数列为常数列，，D说法正确； 故选：ACD 3．（2026·安徽宿州·一模）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（    ） A．数据的平均数是 B．数据的平均数是 C．若，则数据的中位数大于数据的中位数 D．若，则数据的平均数大于数据的平均数 【答案】ACD 【分析】求出数据的平均数可判断A选项：举例可判断B选项；求出、的中位数可判断C选项；求出、的平均数可判断D选项. 【详解】对于A选项,设的前项和为， 所以数据的平均数是，故A选项正确： 对于B选项，当时，取为2，4，8， 平均数为，故B选项错误； 对于C选项，的中位数是，的中位数 是，故C选项正确； 对于D选项，数列的前项和为， 所以数列的前项和的平均数为， 数列是各项均为正数，且公比的等比数列， 所以， 所以的前项和， 所以数列的前项和的平均数小于， 由C选项知，，所以数列的前项和的平均数 比的前项和的平均数大，D选项正确. 故选：ACD. 三、解答题 4．（2026·安徽马鞍山·一模）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比和的等比和数列，且，记． (1)求证：数列是周期数列，并指出其周期； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析，周期为2 (2)6 【分析】（1）根据题干所给条件可得，再据此推出的关系即可； （2）根据，可直接求解． 【详解】（1）由及可得， 由此可得递推关系，所以， 可得，即数列是周期数列，周期为2． （2），， 由（1）知， 周期为 2，所以， 所以． 5．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 【答案】(1) (2)规则不合理、不公平 (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断； （3）（i）找出数列的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明. 【详解】（1）顺子的牌点组合共12种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应种花色组合，故. 顺金要求花色相同且牌点为顺子，共种，故. 由条件概率公式，. （2）分别计算各牌型的概率： ，， ，， ，. 概率从小到大排序：，与规则的牌型大小顺序不一致： 顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型； 顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型. 因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平. （3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率：， 抽到顺子但非顺金的概率：，抽到非顺子的概率：， 初始1次机会，抽1次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜， 故. 初始2次机会，抽1次后剩余1次机会，递推得： 代入，整理得：，即. （i）用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：时，， 因，，，故. （二）归纳推理：假设对任意，都有，即数列前项严格递增. 对任意，递推公式为：， 因此， 由归纳假设，，，且系数均为正，故. 由数学归纳法，对任意，，即数列严格递增. （ii）令，，不等式转化为证明，. 将代入原递推公式，化简得：，边界条件. 令，求导得：，故在上严格递减， 因此对任意. 下面用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：当时，，成立； （二）归纳推理：假设对任意，. 对，由递推公式和归纳假设：， 只需证明，两边除以得：， 代入，右边化简为， 左边减右边得：（因）， 故不等式成立，即. 由数学归纳法，对任意，即，移项得：，得证. 5 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $