第01讲 概率初步（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

该初中数学概率初步复习讲义通过知识框架图系统梳理了事件类型、概率定义及求概率常用方法的核心内容，用对比表格清晰呈现必然事件、不可能事件与随机事件的区别及概率取值，标注事件分类、概率公式、求概率方法等重点，突出等可能结果判断、放回/不放回区分等难点，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，如事件类型判断（典例1及3个变式）、概率公式应用（典例4及变式）、频率估计概率（典例6及变式），培养学生数学思维与数据意识。通过“游戏公平性”题型（典例8）引导用数学语言分析问题，基础题巩固概念，变式题提升能力，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第01讲 概率初步 考点1：事件的类型 考点2：概率 考点3：求概率的常用方法 重点： （1）事件分类 （2）概率核心公式 （3）求概率的常用方法 难点★： （1）正确判断等可能结果 （2）分清放回/不放回 （3）区分有序/无序 （4）理解频率≈概率（试验次数越多越接近） 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一多边形，其外角和是 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【分析】先明确不可能事件的定义，即在一定条件下一定不发生的事件，再逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项，经过红绿灯路口，可能遇到绿灯也可能遇到其他灯，属于随机事件，该选项不符合题意； B选项，射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中，属于随机事件，该选项不符合题意； C选项，任意多边形的外角和恒为，该事件一定发生，属于必然事件，该选项不符合题意； D选项，袋中只装有白球和红球，没有黄球，∴一定不可能摸出黄球，该事件属于不可能事件，该选项符合题意． 【变式1】下列事件为必然事件的是（    ） A．小王参加本次数学考试，成绩是120分 B．某射击运动员射击一次，射中靶心 C．通常加热到时，水沸腾 D．打开电视机，正在播放电视剧 【答案】C 【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的定义，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、小王考试得120分是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件， B、射击一次射中靶心是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件， C、通常情况下，加热到时水沸腾是一定发生的事件，属于必然事件， D、打开电视机正在播放电视剧是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件． 【变式2】下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【分析】根据确定事件包括一定发生的必然事件和一定不发生的不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件来判断各选项即可． 【详解】解：A、太阳一定从东方升起，不可能从西边升起，该事件一定不发生，故是确定事件，符合题意； B、两个非零实数相乘，同号得正异号得负，积可能为正也可能为负，故是随机事件，不符合题意； C、抛掷质地均匀的硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故是随机事件，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，非平行直线被截时同位角不相等，故是随机事件，不符合题意． 【变式3】下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【答案】B 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件.结合概念判断各选项即可. 【详解】解：A 、从地面向上抛的硬币会落下，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； B 、射击运动员射击一次，可能命中环，也可能不命中环，是否发生无法预先确定，属于随机事件，符合题意； C 、太阳从东边升起，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； D 、马奔跑的速度不可能达到米/秒，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合题意； 故选：B. 【题型2 可能性大小】 【典例2】袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【答案】 白 【分析】本题主要考查了可能性的大小，根据数量多则可能性大，即可解答． 【详解】解：袋中有红球15个，白球20个， ∵， ∴摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 【变式1】在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 【答案】白 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 通过比较各种颜色球的数量，数量最少的球被摸到的概率最小，据此计算即可． 【详解】解；布袋中总球数为个， 红球的概率为，黄球的概率为，白球的概率为，蓝球的概率为， 其中白球的概率最小， 因此摸到白球的可能性最小。 故答案为：白． 【变式2】在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小，根据球的数量决定事件发生可能性大小解答即可． 【详解】解：∵白球数量（1个）＜黄球数量（2个）＜红球数量（3个）， ∴这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①②③， 故选：C． 【变式3】东东投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上．那么他投掷第4次时（    ）． A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正、反两面朝上的可能性相同 D．无法判断哪个面朝上的可能性大 【答案】C 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，熟练掌握简单事件发生的可能性是解题的关键．硬币有两面，每一面出现的可能性相同，据此解答即可． 【详解】解：因为投掷硬币每一面出现的可能性相同，所以东东投掷第4次时正、反两面朝上的可能性相同． 故选：C． 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【题型3 概率的意义】 【典例3】抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为，下列说法正确的是（   ） A．抛掷100 次，一定有90次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上 C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷10次，一定有9次正面朝上 【答案】C 【详解】解：∵概率只反映事件发生的可能性，不能确定每次抛掷的必然结果， ∴抛掷100次，不一定有90次正面朝上，抛掷10次，不一定有9次正面朝上，选项A、D错误； ∵“正面朝上”的概率为，概率不为1，说明不是必然事件， ∴抛掷1次，不一定是正面朝上，选项B错误，选项C正确． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【分析】本题考查概率的基本概念，包括概率的含义、随机事件的独立性以及概率的取值范围．根据概率的意义进行解答即可． 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是， ∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次， ∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到，不可能为， ∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率并不保证买100张一定中奖， ∴ D错误． 故选：A． 【变式2】下面说法正确的是（　　） A．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，一定有100次正面朝上 B．天气预报说“明天降水概率为”表示明天有的时间在下雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，”是不可能事件 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义理解，事件的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据掷硬币是随机事件，不一定正好一半正面，可判断A； 根据降水概率表示可能性，不是时间比例，可判断B； 根据投篮投中是随机事件，可判断C； 根据对实数是必然事件，可判断D． 【详解】解：掷硬币正面朝上的概率为，但200次不一定正好100次正面， 故A错误； 降水概率表示下雨的可能性为，不是时间比例， 故B错误； ∵篮球队员投篮可能投中也可能不中， ∴投中是随机事件， 故C正确； ∵对于任何实数a，总是成立， ∴这是必然事件，不是不可能事件， 故D错误． 故选：C． 【变式3】小张进行投壶训练，经过大量重复的练习后，他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（   ） A．小张投壶1次，一定投不中 B．小张投壶10次，一定可以投中4次 C．小张投壶6次，至少可以投中2次 D．小张投壶3次，不一定能投中 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：A、小张投壶1次，不一定投不中，故不符合题意； B、小张投壶10次，不一定投中4次，故不符合题意； C、小张投壶6次，不一定至少可以投中2次，故不符合题意； D、小张投壶3次，不一定能投中，故符合题意； 故选：D． 【题型4 概率公式】 【典例4】一个不透明的袋中，装有1个黄球、2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵袋中共有1个黄球，2个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同 ∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为． 【变式1】在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式，事件A的概率等于事件A发生的可能结果数与所有可能结果数的比值，代入计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同， ∴球的总个数为 (个)，摸出红球的可能结果数为3， ∴摸出红球的概率为 ． 【变式2】有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5，6，7，8，9，把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式的应用，解题的关键是准确识别奇数的个数，熟练运用概率公式进行计算． 先确定总情况数与抽出数字为奇数的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵总共有5张卡片，总情况数为5， 又∵正面数字是奇数的卡片有5、7、9，共3张，符合条件的情况数为3， ∴根据概率公式“概率所求情况数总情况数”，可得抽出数字是奇数的概率为， 故选：A． 【变式3】第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地联合举办，某比赛场馆开设了、、、四个安检通道．若甲随机选择一个通道进入比赛场馆，则 甲从通道进入比赛场馆的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键． 直接利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：场馆开设了、、、四个安检通道，甲随机选择一个安检通道进入场馆， 总共有4种等可能的结果，甲从通道进入比赛场馆的可能有1种， 则甲从通道进入比赛场馆的概率是． 故选：A． 【题型5 几何概率】 【典例5】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的基本概念及几何概型的应用，利用几何概率的计算方法，即指针落在阴影部分的概率等于阴影部分面积除以正八边形总面积，通过分析正八边形被分成的三角形个数以及阴影部分三角形个数来求解． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为4个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：A． 【变式1】如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 【变式2】如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了几何概率，击中白色区域的概率等于白色区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：随意投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是： ． 故选：D． 【变式3】如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率的知识．根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】解：设正方形的边长为2，则圆的直径为2， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为， 故选：C． 【题型6 频率估计概率】 【典例6】学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【答案】C 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 【变式1】2023年石家庄市举办了首届业余羽毛球公开赛：小明为打好比赛到运动场练球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率可近似估计概率，通过计算有效发球的频率来估计概率即可． 【详解】∵小明发球1000次，有效951次， ∴有效发球的频率为， ∵当试验次数足够多时，频率可近似代替概率， ∴估计他有效发球的概率大约为0.95， 故选：A 【变式2】漳州市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了如下的统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，关键是理解“在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值”．通过观察树苗移植成活的统计数据，随着移植棵数增加，成活频率稳定在附近，因此可估计该树苗成活的概率为． 【详解】解：∵根据统计数据，当移植棵数足够多时，成活频率稳定在左右， ∴估计该树苗成活的概率为． 故选：C． 【变式3】如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 【题型7 用列举法求概率】 【典例7】某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算公式，用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是关键． （1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先列表列举所有等可能结果，再根据概率的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：共有35种等可能结果，其中两个社团都未参加的等可能结果有20种， 所以从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率是； （2）解：列表如下： 共有8种等可能结果，其中未被选中但被选中的等可能结果有3种， 所以未被选中但被选中的概率． 【变式1】一张圆桌旁设有四个座位，先坐在如图所示的座位上，、、三人等可能地坐到其他三个座位上． (1)与不相邻而坐的概率为 ； (2)求与、均相邻而坐的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列举法求概率，正确列举出所有情况是解题的关键； （1）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． （2）先列举出所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由于的位置已经确定，、、随机而坐的情况共有6种（如图所示）： 6种情况出现的可能性相同．其中与不相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：； （2）与、均相邻而坐的情况共有2种，所以所求概率是：． 【变式2】一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了已知频率求概率，已知概率求数量，列举法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）已知摸出白球的频率，即摸出白球的概率，然后用白球的个数除以摸出白球的概率即可求出球的总个数，进而可得答案； （2）列出从布袋一次性摸出2个球的等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个）， ∴布袋中红球的个数为（个）， 答：布袋中红球的个数为3个． （2）解：设白球为白，3个红球分别为红1，红2，红3， 从布袋一次性摸出2个球的等可能结果有：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3）， 共有6种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有3种结果， 所以一次性摸出2个球都是红球的概率为． 【变式3】如图，从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3（A看成1），将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张． (1)用列举法列举出所有可能出现的结果． (2)求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率． 【答案】(1)种结果 (2) 【分析】本题考查了列举法，通过列举法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式求事件的概率． （1）通过列举法展示所有9种等可能的结果数； （2）找出两张牌的牌面数字之和不小于5的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，共9种结果． （2）解：摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的有，共3种结果， （摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5）． 【题型8 游戏的公平性】 【典例8】如图，甲、乙分别是4等分、3等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字． (1)直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率； (2)小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后，指针各指向一个数字，若两数字之和为正数则小华胜；若两数字之和为负数则小明胜．你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平；理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）利用列举法列出所有符合题意的情况数，再分别求出小明和小华获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知转盘中共有四个数，其中“”只有一种， ∴转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率为； （2）解：不公平，理由如下： 两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后的情况有，由两个转盘各转出一数字之和的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之和正数有4个，负数有5个， ∴小华胜的概率为，小明胜的概率为， ∴小华胜和小明胜的概率不一样， ∴不公平． 【变式1】如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【变式2】垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， (1)求抽到印有4的卡片的概率； (2)你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 【答案】(1) (2)不公平，理由及修改规则见解析 【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平，再修改出公平的规则即可． 【详解】（1）解：因为8张卡片中，有2张是印有4的， 所以（抽到印有4的卡片）． （2）不公平． 理由：根据题意，得（小明去），（小亮去）． 因为，所以不公平． 修改规则如下：从印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；抽到所印数字比4小的卡片，小亮去；抽到印有4的卡片重新抽．（答案不唯一） 【变式3】如图，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．小明和小颖拿这个骰子玩游戏； (1)若随机将这枚骰子掷出后，数字“6”朝上的概率为_______； (2)小明和小颖约定，掷出的数字是奇数时，小明胜；掷出的数字是偶数时，小颖胜；请你通过计算判断此游戏规则公平吗？ 【答案】(1)； (2)此游戏规则不公平； 【分析】（1）根据题意得到“6”朝上的面数，利用“6”朝上的面数除以总面数即可得到答案； （2）把所有奇数的面数加起来，再求出偶数的面数，分别求出概率比较即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 数字“6”朝上的面数为：（面）， ∴数字“6”朝上的概率为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 数字是奇数的面有：（面），数字是偶数的面有：（面）， ∴，， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【点睛】本题主要考查概率知识，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 1．“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】B 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 2．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ） A．10 B．0.3 C．3 D．7 【答案】C 【分析】在大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，用总球数乘稳定的频率即可得到红球个数的估计值． 【详解】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右， ∴可估计摸出红球的概率为0.3， ∵袋子中共有10个球， ∴红球个数约为 （个）， 因此袋子中红球的个数最有可能是3个． 3．遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 4．如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：甲手中的牌为2，5，8，乙手中有4张牌，分别为4，5，8，9， 当甲从乙手中抽到4和9的时候，则恰好与自己手中牌是相邻数， 故恰好与自己手中牌是相邻数的概率是． 5．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中装有个球，其中有个黑球、个白球、个红球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球 【答案】B 【分析】本题考查了简单的概率计算、用频率估计概率，关键是频率的稳定值即为概率；根据大量反复试验下频率的稳定值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， ∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故选：B ． 6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，玻璃球除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识，先根据已知的红、黑球频率求出白球的频率，再用总球数乘以白球频率得到白球个数. 【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， ∴摸到白色球的频率为， 又∵总球数为个， ∴白色球的个数为（个）， 故选：C． 7．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的六面骰子，向上的面点数是 D．暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．解题的关键是掌握：频率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故此选项不符合题意； B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，故此选项不符合题意； C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为：，故此选项符合题意； D．暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 【答案】/ 【分析】本题考查概率的计算，正确理解概率的意义，找出所有等可能的结果总数与所求事件包含的结果数是解题关键，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中共有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球有1个， ∴从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为． 9．在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 设区域的半径为，区域的面积为，即可得. 【详解】解：由图可知最大的圆的面积为， 设区域的半径为，区域的面积为， ∵把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率， ∴ ，解得， 故答案为：2． 10．在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； (2)试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 【答案】(1)①，；②； (2)估算这个不透明的盒子中红球有个 【分析】（1）①根据频率频数样本总数，即可求解； ②利用频率估计概率可得摸到白球的概率； （2）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数． 【详解】（1）解：①，； 故答案为：，； ②根据上表估计，摸到白球的概率是； 故答案为：； （2）解：由题意得，摸到白球的概率为， 因此球的总个数为：个， 红球个数为：个， 所以估算这个不透明的盒子中红球有个． 11.黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 概率初步 考点1：事件的类型 考点2：概率 考点3：求概率的常用方法 重点： （1）事件分类 （2）概率核心公式 （3）求概率的常用方法 难点★： （1）正确判断等可能结果 （2）分清放回/不放回 （3）区分有序/无序 （4）理解频率≈概率（试验次数越多越接近） 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一多边形，其外角和是 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【变式1】下列事件为必然事件的是（    ） A．小王参加本次数学考试，成绩是120分 B．某射击运动员射击一次，射中靶心 C．通常加热到时，水沸腾 D．打开电视机，正在播放电视剧 【变式2】下列事件中，确定事件是（   ） A．上海明天太阳从西边升起 B．任意两个非零实数，它们的积为正 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【变式3】下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．从地面向上抛的硬币会落下 B．射击运动员射击一次，命中环 C．太阳从东边升起 D．有一匹马奔跑的速度是米秒 【题型2 可能性大小】 【典例2】袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【变式1】在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸到___________球的可能性最小． 【变式2】在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【变式3】东东投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上．那么他投掷第4次时（    ）． A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正、反两面朝上的可能性相同 D．无法判断哪个面朝上的可能性大 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 【题型3 概率的意义】 【典例3】抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为，下列说法正确的是（   ） A．抛掷100 次，一定有90次正面朝上 B．抛掷1次，一定是正面朝上 C．抛掷1次，不一定是正面朝上 D．抛掷10次，一定有9次正面朝上 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C．一个事件发生的概率可能为200% D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【变式2】下面说法正确的是（　　） A．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，一定有100次正面朝上 B．天气预报说“明天降水概率为”表示明天有的时间在下雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，”是不可能事件 【变式3】小张进行投壶训练，经过大量重复的练习后，他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（   ） A．小张投壶1次，一定投不中 B．小张投壶10次，一定可以投中4次 C．小张投壶6次，至少可以投中2次 D．小张投壶3次，不一定能投中 【题型4 概率公式】 【典例4】一个不透明的袋中，装有1个黄球、2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字5，6，7，8，9，把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3】第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地联合举办，某比赛场馆开设了、、、四个安检通道．若甲随机选择一个通道进入比赛场馆，则 甲从通道进入比赛场馆的概率是（ ） A． B． C． D．1 【题型5 几何概率】 【典例5】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型6 频率估计概率】 【典例6】学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【变式1】2023年石家庄市举办了首届业余羽毛球公开赛：小明为打好比赛到运动场练球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（    ） A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05 【变式2】漳州市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了如下的统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1 【变式3】如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A． B． C． D． 【题型7 用列举法求概率】 【典例7】某班共有35名同学，其中参加音乐社团和美术社团的情况统计如下表（单位：人）．例如，表中数据6表示同时参加两个社团的同学有6人． 参加美术社团 未参加美术社团 参加音乐社团 6 5 未参加音乐社团 4 20 (1)从该班随机选1名同学，该同学两个社团都未参加的概率； (2)在同时参加两个社团的6名同学中，有4名男同学、、、，2名女同学、，现从中随机选取男、女同学各1人，求未被选中但被选中的概率． 【变式1】一张圆桌旁设有四个座位，先坐在如图所示的座位上，、、三人等可能地坐到其他三个座位上． (1)与不相邻而坐的概率为 ； (2)求与、均相邻而坐的概率． 【变式2】一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)求布袋中红球的个数． (2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？ 【变式3】如图，从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3（A看成1），将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张． (1)用列举法列举出所有可能出现的结果． (2)求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率． 【题型8 游戏的公平性】 【典例8】如图，甲、乙分别是4等分、3等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字． (1)直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“0”的概率； (2)小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后，指针各指向一个数字，若两数字之和为正数则小华胜；若两数字之和为负数则小明胜．你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由． 【变式1】如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式2】垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， (1)求抽到印有4的卡片的概率； (2)你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 【变式3】如图，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．小明和小颖拿这个骰子玩游戏； (1)若随机将这枚骰子掷出后，数字“6”朝上的概率为_______； (2)小明和小颖约定，掷出的数字是奇数时，小明胜；掷出的数字是偶数时，小颖胜；请你通过计算判断此游戏规则公平吗？ 1．“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 2．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ） A．10 B．0.3 C．3 D．7 3．遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（    ） A． B． C． D．1 5．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中装有个球，其中有个黑球、个白球、个红球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球 6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，玻璃球除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（    ） A．6 B． C． D． 7．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的六面骰子，向上的面点数是 D．暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 8．一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 9．在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 10．在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； (2)试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 11.黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $