专题01 二元一次方程组的解法（8大题型）（专项训练）数学新教材人教版五四制七年级下册

专题01 二元一次方程组的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、代入消元法解二元一次方程组 1 题型二、加减消元法解二元一次方程组 6 题型三、二元一次方程组的错解复原问题 9 题型四、已知二元一次方程组的解求参数 13 题型五、已知二元一次方程组解的情况求参数 15 题型六、构造二元一次方程组求解 17 题型七、利用同解方程组的问题求解 19 题型八、二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、代入消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）该方程组可以通过第一个方程，将用含的式子表示，再代入第二个方程消元求解； （2）该方程组中两个方程都含有，可以先将用含的式子表示，再代入另一个方程消元求解． 【详解】（1）解： 由①，得③． 把③代入②，得，解得：． 把代入③，得， 这个方程组的解为 （2）解： 由①，得③． 把③代入②，得．解得． 把代入③，得， ， 原方程组的解为 2．（25-26八年级上·全国·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ， ∴， ． 将代入， 得． 原方程组的解为． （2）解：由， 得， 把代入， 得， ∴， ． 将代入， 得． 原方程组的解为． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 【详解】（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法，熟练掌握代入消元法的步骤（变形、代入、求解、回代、写解）是解题的关键． （1）直接将方程组中已用含的式子表示的代入另一个方程，消去求出，再回代求出． （2）先将方程组中其中一个方程变形，用含的式子表示，再代入另一个方程消元，依次求出和的值． （3）先将方程组中系数较简单的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消去求出，再回代求出． （4）先将方程组中的方程变形，用含的式子表示，代入另一个方程消元求解，再回代得到另一个未知数的值． 【详解】（1）解：把①代入②，得， 解得． 把代入①，得． 所以方程组的解为 （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （3）解：由②，得③， 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 （4）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得． 所以方程组的解为 题型二、加减消元法解二元一次方程组 5．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）先化简方程组，再利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1）解：， 得： ， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为； （2）原方程组可变形为， 得：， 解得， 将代入得， 则该方程组的解为． 6．（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 对于（1），由消去x求出y，再将y值代入求出x，即可得出答案； 对于（2），由消去y求出x，再代入求出y得出答案． 【详解】（1）解：原方程可化为， ，得， 解得； 把代入①得，解得． 所以原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得； 将代入①，得， 解得． 所以原方程组的解是． 7．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：，         将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：，         得：， 解得：，         把代入得， 解得：， 原方程组的解为． 8．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好二元一次方程组的解法是关键． （1）使用加减消元法解方程即可； （2）使用加减消元法解方程即可； 【详解】（1）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 题型三、二元一次方程组的错解复原问题 9．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义解答即可得； （2）利用方程②减去方程③的时候出现错误，由此即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减． （2）解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是， 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二． （3）解：， 由①，得③， ②③，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如表所示是嘉嘉求解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，得③，……第一步 ，得，……第二步 解得：，……第三步 把代入①，得 ，……第四步 所以方程组的解为．……第五步 (1)嘉嘉的方法是________消元法． (2)以上解法从第________步开始出现错误． (3)请你从出现错误的那步开始，写出正确的解题过程． 【答案】(1)加减 (2)二 (3)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． （1）根据加减消元法的特征即可解答； （2）根据得判断即可； （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法． 故答案为：加减． （2）解：由，得，故从第二步开始出现错误． （3）故答案为：二． 解：，得，解得：， 把代入①，得：， 所以方程组的解为． 11．（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 12．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 【答案】（1）A；（2）二，；（3） 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 故选A； （2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为； 故答案为二，； （3）． 由①，得，③ 把③代入②，得， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 故答案为． 题型四、已知二元一次方程组的解求参数 13．（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及负整数指数幂的运算，将方程组的解代入方程求出a和b，再计算的值． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入得：， 解得：，即， 将，代入得：， 即， ∴． 故答案为：． 14．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）方程组的解为，、代表两个常数，则_________，_________ 【答案】 8 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键，将 代入方程 可求得 的值，再将 和 的值代入方程 可求得 的值。 【详解】解：把 代入，得，即 ， 解得 ， ∴； 把 代入，得 ， ∴， 故答案为 ：8，． 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知关于，的二元一次方程组的解是，则代数式________． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，需熟悉相关的运算法则是解此题的关键． 将解代入方程组，得到关于a和b的方程，通过方程相加直接求出． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴， 由得：， ∴． 故答案为：3 16．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组的解为，那么的解为___． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 题型五、已知二元一次方程组解的情况求参数 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若关于的方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 【答案】 【分析】直接两个方程相加，结合解互为相反数得到，整理代入列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴两个方程相加得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴， 解得， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·四川成都·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为_____ 【答案】7 【分析】本题考查二元一次方程组的解与整体代入法．解题的关键是将两个方程相加， 得到与的关系式， 再代入求解． 【详解】解：将两个方程相加： 简化得： 即： 代入： 移项得： 解得： 故答案为：7． 20．（25-26八年级上·四川成都·期末）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型六、构造二元一次方程组求解 21．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则________， ________． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义列出关于，的方程组，求出，的值即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得． 故答案为：1，1． 22．（25-26八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据绝对值和算术平方根的非负性，列出方程组并求解． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ， ， 即 ， 得：， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 23．（25-26九年级上·河南周口·期末）若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念得出答案． 【详解】解：， ， 得：， 即， 的平方根是． 24．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）若，则的立方根为________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 由绝对值和算术平方根的非负性即可得到x、y的方程组，解方程组求出x、y的值，再求立方根即可． 【详解】解：因为且，且它们的和为零， 所以且，即和． 解方程组：，得， 所以， ∵， ∴的立方根为． 故答案为：． 题型七、利用同解方程组的问题求解 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与的解相同，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵两个方程组的解相同， ∴将，代入，得， 解得， 故答案为：，． 26．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 27．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 28．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八、二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题 29．（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 30．（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 31．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 32．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 【详解】解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东河源·月考）由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代入消元法消去参数m，整理即可得到x与y的关系. 【详解】解： 把①代入②，得， 整理，得. 3．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 4．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 5．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 6．（26-27八年级上·陕西西安·期末）已知x，y满足方程组，则的值为_____ ． 【答案】6 【分析】本题可运用加减消元的思路，将方程组中的两个方程直接相加，即可直接得出的值，无需单独求解． 【详解】解：， ①②得：， 合并同类项得：， 故答案为：6． 7．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【详解】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知和互为相反数，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求平方根．根据非负数的性质，互为相反数的两个非负数之和为零，可求出x，y的值，然后代入，即可求解． 【详解】解：由题意，， 因为，， 所以且， 解得：， 所以， 所以的平方根为． 故答案为： 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 10．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 11．（2026七年级下·广东广州·专题练习）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用代入消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解： 得：， 将代入②得： ∴方程组的解为； （2）解：由①得： 将③代入②得： 解得 将代入③得： ∴原方程组的解为． 12．（25-26八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得，， 解得， 把代入③得，， ∴方程组的解是； （2）解：， 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解是． 13．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 【答案】(1) (2)①加减消元法，等式的基本性质2；②第二步， 【分析】（1）加减消元法解方程组即可； （2）①根据等式的性质，作答即可；②根据加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴； （2）解：①这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步这样做的依据是等式的基本性质2； ②第二步出错； 得：③ 得：，解得； 将代入②得，解得． 所以该方程组的解是． 14．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 解得： 把代入得：， ∴相同的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 15．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 16．（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 17．（25-26八年级上·江西吉安·期末）关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)具有“友好关系”；理由见解析 (3)2 【分析】（1）根据方程组的解得 ，可判定不是“友好关系”； （2）先求方程组的解，再计算看是否满足，求解即可； （3）两式相减，再根据定义，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，不具有“友好关系”； （2）解：与具有“友好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，， 将代入①得，， ， ， 与具有“友好关系”； （3）解：， 由得，， 与具有“友好关系”， ， 解得，， 的值为2． 18．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组的解法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、代入消元法解二元一次方程组 1 题型二、加减消元法解二元一次方程组 6 题型三、二元一次方程组的错解复原问题 9 题型四、已知二元一次方程组的解求参数 13 题型五、已知二元一次方程组解的情况求参数 15 题型六、构造二元一次方程组求解 17 题型七、利用同解方程组的问题求解 19 题型八、二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、代入消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 2．（25-26八年级上·全国·期末）解方程组： (1) (2) 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组： (1) (2) (3) (4) 题型二、加减消元法解二元一次方程组 5．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）解方程组 (1) (2) 6．（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解下列方程组： (1) (2) 7．（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 8．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： (1)； (2)． 题型三、二元一次方程组的错解复原问题 9．（25-26八年级上·河北保定·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如表所示是嘉嘉求解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：，得③，……第一步 ，得，……第二步 解得：，……第三步 把代入①，得 ，……第四步 所以方程组的解为．……第五步 (1)嘉嘉的方法是________消元法． (2)以上解法从第________步开始出现错误． (3)请你从出现错误的那步开始，写出正确的解题过程． 11．（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 12．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读下列解题过程，完成相应任务． 解方程组：． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，．．．第一步 去括号，得，．．．第二步 解得．．．．第三步 将代入③，得．．．．第四步 所以原方程组的解为．．．．第五步 任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________． A．代入消元法 B．加减消元法 任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________； 任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________． 题型四、已知二元一次方程组的解求参数 13．（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，的值为________． 14．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）方程组的解为，、代表两个常数，则_________，_________ 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知关于，的二元一次方程组的解是，则代数式________． 16．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组的解为，那么的解为___． 题型五、已知二元一次方程组解的情况求参数 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若关于的方程组的解满足，则________． 18．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 19．（25-26八年级上·四川成都·期末）若关于的方程组的解满足，则的值为_____ 20．（25-26八年级上·四川成都·期末）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 题型六、构造二元一次方程组求解 21．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则________， ________． 22．（25-26八年级上·广东深圳·期末）若，则的值为________． 23．（25-26九年级上·河南周口·期末）若，则的平方根是__________． 24．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）若，则的立方根为________． 题型七、利用同解方程组的问题求解 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）若方程组与的解相同，则__________，__________． 26．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 27．（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 28．（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 题型八、二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题 29．（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 30．（25-26八年级上·陕西西安·月考）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 31．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 32．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东河源·月考）由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 4．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 5．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．（26-27八年级上·陕西西安·期末）已知x，y满足方程组，则的值为_____ ． 7．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知和互为相反数，则的平方根为______． 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 10．（25-26七年级上·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 11．（2026七年级下·广东广州·专题练习）解下列方程组． (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·四川成都·期末）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法： (1)； (2) 13．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 14．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 15．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 16．（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 17．（25-26八年级上·江西吉安·期末）关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 18．（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $