第十章 二元一次方程组（单元自测·培优卷）数学新教材人教版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第十章 二元一次方程组·培优卷 建议用时：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 4．明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有人，分两银子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 6．已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 7．实验中学组织七年级400名学生到山东省科技博物馆研学，计划租用40座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 9．如图，把50张形状、大小完全相同的小长方形砖块（长是宽的3倍），既不重叠又无空隙地围成一个长方形花坛，花坛的长与宽之比为．则花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于x，y的方程，是关于，的二元一次方程，则的值是________． 12．已知是二元一次方程的一组解，则_________． 13．若是方程组 的解，则_____． 14．如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 15．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 16．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 18．（6分）对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 19．（8分）解方程、求值 (1)解方程组：； (2)已知关于，的方程组的解为，求，的值． 20．（8分）2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 21．（10分）为传承运河文化，某中学购买运河主题笔记本和帆布袋作为奖品．已知购买1本笔记本和2个帆布袋共需48元；购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元． (1)求笔记本和帆布袋的单价各是多少元？ (2)若七年级二班计划用200元购买这两种奖品（两种都买，钱恰好用完），则共有几种购买方案？写出所有方案． 22．（10分）已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 23．（12分）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 24．（12分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第十章 二元一次方程组·培优卷 建议用时：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 4．明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有人，分两银子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 6．已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 7．实验中学组织七年级400名学生到山东省科技博物馆研学，计划租用40座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 8．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 9．如图，把50张形状、大小完全相同的小长方形砖块（长是宽的3倍），既不重叠又无空隙地围成一个长方形花坛，花坛的长与宽之比为．则花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于x，y的方程，是关于，的二元一次方程，则的值是________． 12．已知是二元一次方程的一组解，则_________． 13．若是方程组 的解，则_____． 14．如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 15．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 16．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 18．（6分）对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 19．（8分）解方程、求值 (1)解方程组：； (2)已知关于，的方程组的解为，求，的值． 20．（8分）2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 21．（10分）为传承运河文化，某中学购买运河主题笔记本和帆布袋作为奖品．已知购买1本笔记本和2个帆布袋共需48元；购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元． (1)求笔记本和帆布袋的单价各是多少元？ (2)若七年级二班计划用200元购买这两种奖品（两种都买，钱恰好用完），则共有几种购买方案？写出所有方案． 22．（10分）已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 23．（12分）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 24．（12分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第十章 二元一次方程组·培优卷 建议用时：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． A、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； B、选项中方程中，项的次数是2，不满足次数为1的要求，不是二元一次方程组，符合题意； C、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； D、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． 2．方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 得 解得 把代入，得 解得 因此原方程组的解为 3．运用加减法解方程组较简单的方法是（    ） A．先消去，再解 B．先消去，再解 C．先消去，再解 D．三个方程相加得再解 【答案】B 【详解】解：∵原方程组为 方程①不含未知数y，方程②中y的系数是2，方程③中y的系数是， ∴将 ，即可直接消去y，得到 ， 再和方程①组成二元一次方程组，计算最简便， 因此先消去y再求解是较简单的方法． 4．明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两．设有人，分两银子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有人，分两银子， ∵每人分七两，剩余四两，总银子数等于分掉的银子加上剩余的银子， ∴可得， 又∵每人分九两，还差八两，总银子数比需要分的银子少八两， ∴可得， 因此所列方程组为 ． 5．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 6．已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 【答案】C 【详解】解：根据题意联立得：， 得：， 解得：， 把代入②得， 解得：， 把代入和得：， 解得：， ． 7．实验中学组织七年级400名学生到山东省科技博物馆研学，计划租用40座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【详解】解：设租用40座客车辆，租用60座客车辆，其中均为正整数， 由题意，得， 整理得， 是正整数， 为正偶数， 是偶数，偶数减偶数为偶数，因此是偶数，即为偶数， ∴的取值为 对应的取值为，均为正整数，符合两种车都租的要求， 因此共有3种租车方案. 8．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 9．如图，把50张形状、大小完全相同的小长方形砖块（长是宽的3倍），既不重叠又无空隙地围成一个长方形花坛，花坛的长与宽之比为．则花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设在长方形花坛的长上放了x张小长方形砖块，在宽上放了y张小长方形砖块，设小长方形砖块的宽为，则长为，则，即， 依题意，得：， 解得：， ∴花坛内部长方形种植区域的长与宽的比为． 10．下列说法正确的有（   ） ①若与的和为，且，则； ②若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③若方程组的解为，则方程组的解为； ④已知关于，的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：逐一判断各说法： ① ∴， 整理得， 联立， 解得，即. 故①错误； ② 解方程组， 两式相加得， ∴， 代入得：， ∵是整数，均为整数， ∴是和的公约数，即， 解得， 所有满足条件的的值的和为， 故②正确； ③ 令， 由已知原方程组的解为， 可得， 解得，与题目给出的解不符， 故③错误； ④ 解方程组， 解得， 若互为相反数，则，即，等式不成立. 故无论取何值，和都不可能互为相反数， 故④正确； 综上，正确的说法有个， 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于x，y的方程，是关于，的二元一次方程，则的值是________． 【答案】3 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴ ， 解得，， ∴． 12．已知是二元一次方程的一组解，则_________． 【答案】2025 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 13．若是方程组 的解，则_____． 【答案】3 【详解】解：∵是方程组 的解， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 【答案】8 【详解】解：设小长方形的较长边长为x，另一边长为y， 由题意得：， 解得：， ∴， 即小长方形的周长为8． 15．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 【答案】574 【详解】解：设把手绘团扇的价格为元，枚非遗书签的价格为元， 根据题意得： 解得 计算方案一的总费用： 购买把手绘团扇和枚非遗书签，可凑成套把团扇枚书签的套装，剩余把团扇和枚书签按原价购买， 总费用为：（元） 计算方案二的总费用： 原价总费用为（元）， 因为，可享受满减优惠， 总费用为（元） 因为，所以成本总和最少为元． 16．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【答案】或 【详解】解：由题意， 解得或， 把代入，得， 整理，得， ∵对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组， ∴，解得， ∴； 把代入，得， 整理，得， ∴，解得， ∴； 综上：或． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：；……（3分） （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：．……（6分） 18．（6分）对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得：， ∴的值为，的值为；……（3分） （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴的值为．……（6分） 19．（8分）解方程、求值 (1)解方程组：； (2)已知关于，的方程组的解为，求，的值． 【详解】（1）解： (1) ①＋②得 解得 ， 把代入①得 ， 解得 ， 原方程组的解为；……（4分） （2）把代入得， ， ①＋②得， 解得， ， 把代入①得， ， 解得 ， ，……（8分） 20．（8分）2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【详解】（1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据题意，得 ，解得， 答：小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份．……（4分） （2）解：小宇的脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）可知小宇食用A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从两款食品中摄入的脂肪总量为， ∴小宇这天总脂肪摄入量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，且， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标．……（8分） 21．（10分）为传承运河文化，某中学购买运河主题笔记本和帆布袋作为奖品．已知购买1本笔记本和2个帆布袋共需48元；购买3本笔记本和1个帆布袋共需44元． (1)求笔记本和帆布袋的单价各是多少元？ (2)若七年级二班计划用200元购买这两种奖品（两种都买，钱恰好用完），则共有几种购买方案？写出所有方案． 【详解】（1）解：设笔记本单价为元，帆布袋单价为元， ， 解得， 答：笔记本单价8元，帆布袋单价20元……（4分） （2）解：设购买笔记本本，帆布袋个（，为正整数）， ， 化简：， ∵，为正整数， ∴；；；． 则共有4种方案： 方案一：笔记本20本，帆布袋2个； 方案二：笔记本15本，帆布袋4个； 方案三：笔记本10本，帆布袋6个； 方案四：笔记本5本，帆布袋8个．……（10分） 22．（10分）已知关于x，y的方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)当每取一个值时，就对应一个方程，这些方程是否有公共解？如果有，请求出它们的公共解；如果没有，请说明理由． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，；……（3分） （2）解：联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得；……（6分） （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为．……（10分） 23．（12分）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．……（4分） （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案．……（8分） （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元．……（12分） 24．（12分）对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值； (3)若对于任意的有理数，未知数为的方程组的解与具有“邻好关系”，请求出的值． 【详解】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”；……（4分） （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或；……（8分） （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或．……（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测卷 第十章 二元一次方程组·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B A C C C A D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．3 12．2025 13． 3 14．8 15. 574 16. 或 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：；……（3分） （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：．……（6分） 18．（6分） 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得：， ∴的值为，的值为；……（3分） （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴的值为．……（6分） 19．（8分） 【详解】（1）解： (1) ①＋②得 解得 ， 把代入①得 ， 解得 ， 原方程组的解为；……（4分） （2）把代入得， ， ①＋②得， 解得， ， 把代入①得， ， 解得 ， ，……（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据题意，得 ，解得， 答：小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份．……（4分） （2）解：小宇的脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）可知小宇食用A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从两款食品中摄入的脂肪总量为， ∴小宇这天总脂肪摄入量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，且， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标．……（8分） 21．（10分） 【详解】（1）解：设笔记本单价为元，帆布袋单价为元， ， 解得， 答：笔记本单价8元，帆布袋单价20元……（4分） （2）解：设购买笔记本本，帆布袋个（，为正整数）， ， 化简：， ∵，为正整数， ∴；；；． 则共有4种方案： 方案一：笔记本20本，帆布袋2个； 方案二：笔记本15本，帆布袋4个； 方案三：笔记本10本，帆布袋6个； 方案四：笔记本5本，帆布袋8个．……（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，；……（3分） （2）解：联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得；……（6分） （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为．……（10分） 23．（12分） 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．……（4分） （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案．……（8分） （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元．……（12分） 24．（12分） 【详解】（1）解：方程组的解x与y不具有“邻好关系”， 理由如下：， 得，， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y不具有“邻好关系”；……（4分） （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得或；……（8分） （3）解：， ∵该方程组的解x与y具有“邻好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，即， ∵对于任意的有理数，方程成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或．……（12分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $