专题03 整式的乘除压轴题（期中真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期新教材北师大版

专题03 整式的乘除压轴题 4大高频考点概览 考点01杨辉三角与整式乘法 考点02配方法求最值 考点03完全平方四大金刚的实际应用 地 城 考点01 杨辉三角与整式乘法 一、填空题 1．（（24-25七年级下·辽宁大连·期中我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为__________． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数，的展开式中的各项系数直观地体现出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示： 根据上述材料，的展开式中项的系数应为______________． 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                …………          1     1            …………       1      2      1        …………   1      3       3     1     ………… 代数式的值为1时，则的值为________． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材22页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；写出的第二项的系数是______； (2)结合杨辉三角解决问题：______ (3)运用：______ 地 城 考点02 配方法求最值 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）我将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：∵，∴， ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，则________，________； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 4．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______． (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 地 城 考点03 完全平方四大金刚的实际应用 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）在学习过程中，甲同学认为：如果，那么；乙同学认为：如果，那么．请对两位同学的说法进行判断（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知一个正方形的边长是a，若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，则的值是______． 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）已知，，则______． 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）实践课上，小郑做了一个边长为的正方形，若把这个正方形的边长减少，则其面积减少了___________． 8．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的值是______． 9．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）已知是一个完全平方式，则m的值是：_________． 10．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 11．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）要使成为完全平方式，那么b的值是_____________________ 12．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果是一个完全平方式，那么k的值是 ___________． 13．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为______． 三、解答题 14．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）【知识初探】如图1，正方形是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题： （1）用两种不同的方法可以表示正方形的面积，写成一个等式为________； （2）运用（1）中的等式，解决以下问题： ①已知，，则________； ②已知，，则________； 【拓展延伸】（3）如图2，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【知识迁移】（4）若，求的值． 15．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； (3)对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 16．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）【阅读材料】 在学习完全平方公式时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式：，如图（1），将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：________；由图3可得等式：________； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则________； 【拓展应用】 （4）如图5，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，求的长． 17．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．    【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：　 　；由图3可得等式：　 　； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则　 　； (3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ②　 　； (4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 　 　． 18．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．    19．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：    (1)若，，则的值为______； (2)拓展：若，则______． (3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积，可得到一个关于、、的等量关系式是______． （2）若，，则的值为______． （3）若，，求的值； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为，若，E是的中点，直接写出图中的阴影部分面积的和______． 21．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________； 【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．    22．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． (2)已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (3)直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料：关于x的方程两边同时乘以得：，即 可得：， 所以：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步尝试 已知，，分别计算和的值； (2)拓展应用 ， ． 请利用上述结论，结合阅读材料解答下题． 已知，，求的值． 25．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 26．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，是一个长为4a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系． (2)利用（1）中的结论，请求下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (3)如图3，正方形和正方形重叠，重叠部分是长方形，若正方形的边长为，长方形的面积是，求正方形的面积（若正方形的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFGH的面积不是定值，请用含的代数式表示）． 27．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）【材料阅读】 利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题． 例：若满足，求的值． 解：设，则， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【初步应用】（1）已知，，则___________； 【问题解决】（2），求； 【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次． 【方法应用】（1）在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式___________． （2）如图3是一张“”形的纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则___________． 【方法迁移】（3）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图4是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是___________．（等号两边需化为最简形式） ②已知，利用上面的知识，计算的值 29．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_______； （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_______． 【拓展应用】 （3）如图3，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． （4）时，求的值． 30．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图． (1)观察图请写出、、之间的等量关系是 ； (2)根据中的结论，若，，则 ； (3)知识拓展：若，求的值． (4)知识应用：如图①，已知长方形的周长为，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为． 请直接写出下面两个问题的答案： ①长方形的面积是 ； ②如图②，连接、、，的面积是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年3月20日 七下 杨辉三角与新定义》参考答案 1． 【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出展开的多项式中各项系数之和． 找出展开各项的系数之和的规律为，即可解答． 【详解】解：，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ， 所以，展开各项系数之和是， 所以展开各项的系数之和为， 故答案为：． 2．20 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可得的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，那么把把看做一个整体，可得的展开式中从左往右第三项的系数，据此可得答案． 【详解】解：观察可知的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数， ∴把看做一个整体，的展开式中从左往右第二项的系数为4，第三项的系数为6， ∴的展开式中从左往右第三项的系数为，即第三项为， ∴的展开式中项的系数应为20， 故答案为：20． 3．4或2 【分析】本题考查了数字类规律探索，由规律可得，令，，得出，结合题意可得，求解即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵代数式的值为1， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：4或2． 4．(1)六，6 (2)1 (3) 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是，，，，，，，从而得到答案； （2）通过观察可知，，从而得出答案； （3）由展开式有五项，系数分别是，，，，，从而可得答案； 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是，，，，， 展开式有六项，系数分别是，，，，，， 展开式有七项，系数分别是，，，，，，， ∴的展开式共有六项；写出的第二项的系数是； （2）解： ， （3）解：∵展开式有五项，系数分别是，，，，， . 5．3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 6．（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023 【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解； （2）根据（1）可得，进而整体代入即可求解； （3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值，进而求解； （4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解； 【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为， 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为， ∴， 故答案为，，； （2）①∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴故答案为 ②∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， 故答案为； （3）∵， ∴即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （4）存在， 原式    当，时，原式最小 ，，原式最小值为2023． 【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 7．（1）-4，-4；（2）的周长为9． 【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x和y的值； （2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a和b的值，从而得出c的取值范围，根据c为整数即可得出c的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：（1）由得 ， ， ∴，， ∴， 故答案为：-4，-4； （2）由得： ， ， ∴a-1=0，b-4=0， ∴a=1，b=4， ∴3＜c＜5， ∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数， ∴c=4， ∴的周长为9． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等． 8．(1)； (2)大，19 (3)9 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是； 故答案为：；； （2）解：， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴边长c的范围为．即 ∵a，b，c都是正整数， ∴边长c的值为4， ∴的周长为． 9．(1)见解析 (2)40 (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【详解】（1）证明： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可； （2）就，，得出，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 交换a、b的位置， ∵代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴，， 把代入得： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03整式的乘除压轴题 目目 考点01 杨辉三角与整式乘法 一、填空题 1.128 2.20 3.4或2 二、解答题 4。【详解】（①解：根据题意，可知口+展开式有五项，系数分别是，4,6,4,1， (a+b) 展开式有六项，系数分别是，5,10,10,5,1 (a+b) 展开式有七项，系数分别是，6,15,20,15,61 :(a+b'的展开式共有六项：写出(a+)的第二项的系数是6： (2)解：2-5×24+10×23-10×22+5×2-1 =[2+-1] =15 =1, (3)解：(a+b) 展开式有五项，系数分别是，4,6,4,1， (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 目目 考点02 配方法求最值 一、 解答题 1.【详解】解： (x+33x+a=3xr2+a+9)x+3a .m=a+9, .(3r+2(x+b)=3x2+(3b+2)x+2b .n=3b+2 试卷第1页，共3页 .m+n=17 ∴.a+9+3b+2=17 .a=6-3b :ab=(6-36)b=-362+6励 =-3b2-2b+1+3 =-3(b-1)2+3 :-3b-1)2≤0 -3(b-12+3≤3 .当b=1时，ab的最大值为3， 故答案为：3. 2.【详解】解：（山）将整个图形当作一个正方形，则面积为a+b+c, 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为 a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, :(a+b+c)'=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 故答案为a+b+d,a+B+e2+2ab+2ac+2,(a+h+d=a+2+c+2ab+2ac+2c, (2)①a=7x-5,b=-4x+2,c=-3x+4, :.a+b+c2=(7x-5-4x+2-3x+42=1 a+b+d=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,a2+h+c2=37, ab+bctac=(a+b+c)-a'+b+c 1-37=-18 2 2 .故答案为-18 ②2×4×8=2×2×2=2429=2 试卷第2页，共3页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :x+2y+32=-4 :.（x+2y+3z)°=16即x2+4y2+9z2+4y+6xz+12z=16, r+4y+9z2=40 :2w+3z+6z= 16-x2+4y2+9z-16-40=-12 2 2 故答案为-12； (3)r+2y2-2+4y+4=0 :x+y2-2y+y+4y+4)=0即x-y川'+(y+22=0 :x-y=0,y+2=0 .x=y=-2 y2=(-22=4 故答案为：4 (4)存在， 原武4r-12y+9y2+2-6x+9+2023 =(2x-3y)2+x-3)2+2023 (2x-3y≥0(x-3)2≥0 .当2x-3y=0,x-3=0时，原式最小 ∴.x=3y=2 ,原式最小值为2023 3.【详解】解：(1)由 x2+2y2-2xy+8y+16=0 得 (x2-2.xy+y2)+(y2+8y+16)=0 试卷第3页，共3页 (x-y)2+(y+4)2=0 :X-y=0少+4=0 x=y=-4 故答案为：-4,4： 2a2+b2-4a-8b+18=0 (2)由 得： 2a2-4a+2+b2-8b+16=0, 2(a-1)2+(b-4)2=0 .a-1=0,b-4=0, ∴.a=1,b=4, .3<c<5, :△ABC的三边长a、b、c都是正整数， .c-4, .△ABC的周长为9. 4.【详解】(1)解+6x-15=2+6x+9-24=(x+32-24 x+3)2≥0 “当x=-3时，(x+3 的值最小，最小值是0， :.(x+3)2-24≥-24 :当x+3=0时，(x+3引-24的值最小，最小值是24， :+6r-15的最小值是24 故答案为：-3；-24： (2)解：-r+2x+18=-r2-2x+1+19=-(x-12+19 -x-1)2≤0 试卷第4页，共3页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当x=1时，-(r-的值最大，最大值是0， .-(x-12+19≤19 ÷当x-°=0时，(x-+19的值最大，最大值是19： 故答案为：大，19； (3)解：a+2-2a-86+17=0 :.a-)2+b-42=0 ∴a=1,b=4, .边长c的范围为4-1<c<4+1.即3<c<5 .a,b,c都是正整数， .边长c的值为4， .△ABC的周长为1+4+4=9 5.【详解】(1)证明：(a+ba-ab+b =a-a'b+ab2+a"b-ab2+b =a3+b3; (2)la+b-4+(ab-2°=0， :a+b-4=0ab-2=0 a+b=4,ab=2 :a+b=(a+b2-2ab=16-4=12 :a3+b=(a+ba2-ab+b2)=4x12-2)=40 5 (3).x>y,x+y=3,y= 4, 2+-+-2四号.r=+-4w=4 .x>y, 试卷第5页，共3页 :x-y=2 -x-明4w+列=2×传+》15 6.【详解】(1)解： (ka+3(b-3)=kab-3ka+3b-9 交换a、b的位置饧+3a-3)=kab-3+3a-9 :代数式如+3列6-3引为对称式， .'kab-3ka+3b-9=kab-3kb+3a-9, :3(b-a+3b-a=0 :(3张+3(b-aj=0 .3k+3=0 解得：k=-1: (2)解：x-a(x-b=r+m+9p=4,g=-3 ..x2-ax-bx+ab=x2+4x-3, 即r-(a+br+ab=产+4r-3 ∴.a+b=-4,ab=-3, 把k=-l代入a+3b-3)得： (-a+3)(b-3) =-ab+3a+3b-9 =-ab+3a+b)-9 =-（-3)+3×(-4-9 =3-12-9 =-18 试卷第6页，共3页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 完全平方四大金刚的实际应用 一、单选题 1 2 3 4 B B B 二、填空题 5.13 6.16 7.(4a-4 8.6 9.4 10.8或-4 11.±12 12.16或-20 13.13或-11 三、解答题 14。【详解】解：(1)通过两种表达方式相等，得到等式(a+°=。+2ab+, 故答案为：(a+b)=a2+2ab+b2 x+y=5y=3 (2)① ·.x+y2=(x+y月2-2y=52-2x3=19 故答案为：19： ②：x-y+z=11(x-y)z=9 :.(x-y+z2=(x-y+z2-2z(x-y)=1IP-2×9=103 故答案为：103： (3)由题意得m+n=8,mn=14, -+m+小n方m 试卷第7页，共3页 -wi) -[m+n-2nm] -×8-2x14 =18: (4)设a=2024-m,b=2025-m, .a-b=-l,ab=12, .ai+bi=(a-b)'+2ab =(-1)+2×12 =25. [a b-d+d+be 15.【详解】(1)解：根据cd [2-2]=2+12+3×-2=4+1-6=-1 得31 「ab1 =a2+d2+bc (2)解：根据cd 「xk 得炒y =+少+，是一个完全平方式， 故+广+=(x±2】 解得k=+2」 (3)解：①原式=(2x-+y2+(y-x(3x- =4x2+y2-4y+y2+3xy-y2-3x2+y =x2+y2 试卷第8页，共3页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :x+y=8y=12 .x2+y2=(x+y)2-2y =82-2×12 =40； ②由题意得：AB=GF=x, =5c+5m-8a+5am1=4G-A8+cn-目4G.6f+分4C-c0） 2 1 =nx.x+ny.y- x(x+m)y =2x2+y2-。x2-11 2 y 1 =。n.40--×12 2 2 =20n-6, 四边形ADEF的面积为34， .20n-6=34, 解得：n=2. 16.【详解】解：4)由图2知，大长方形的面积(20+b(a+),大长方形的面积=2个边长为4小正 方形的面积个小长方形的面积'个边长为b的正方形面积a+a+公+3b=20+b+3ab 3 +1 :(2a+b(a+b)=2a2+b2+3ab 由图3知，大正方形的面积=(a+b+c, 大正方形的面积=3个边长分别为、b、c的正方形的面积+2个长和宽分别为a、b小长方形的面积+2个长 和宽分别为a、c小长方形的面积2个长和宽分别为、c小长方形的面积0++c+2b+2ac+2c, :(a+b+e)=a+b+c+2ab+2ac+2bc 试卷第9页，共3页 故答案为： (2a+b)(a+b)=2a2+b2+3ab(a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (2)由图(3)知：(a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2hc :a+b+c=(a+b+c)-(2ab+2ac+2bc) =(a+b+c)--2(ab+ac+bc) 把a+b+c=10,ab+ac+bc=32,代入得， a2+b2+c2=102-2×32=100-64=36. 故答案为：155. (3)解.(3a+(a+3b)=3a2+9ab+ab+36=3a2+10ab+362 3a2+10ab+3b2可以看成3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张边长分别为a、b的长方形纸 片拼成的大长方形的面积， .x=3,y=3,z=10, .x+y+z=16 故答案为：16 (0e=25-3x52x3225=95 2 1 S.ABC S.4BD+S.BDC=BDX5 2 BD=19 17.【详解】()解：由图2知，：大长方形的面积(2a+b(a+) =a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab 大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积 :.(2a+bj(a+b)=2a2+b2+3ab 由图3知，：大正方形的面积=(a+b+c」 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积 试卷第10页，共3页 专题03 整式的乘除压轴题 4大高频考点概览 考点01杨辉三角与整式乘法 考点02配方法求最值 考点03整式乘法与几何图形 地 城 考点01 杨辉三角与整式乘法 一、填空题 1．（24-25七年级下·辽宁大连·期中我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出展开的多项式中各项系数之和． 找出展开各项的系数之和的规律为，即可解答． 【详解】解：，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ， 所以，展开各项系数之和是， 所以展开各项的系数之和为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）杨辉三角（如图）是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数，的展开式中的各项系数直观地体现出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示： 根据上述材料，的展开式中项的系数应为______________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可得的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数，那么把把看做一个整体，可得的展开式中从左往右第三项的系数，据此可得答案． 【详解】解：观察可知的展开式中，从左往右第二项的系数为n，第三项的系数为的展开式中从左往右第二项的系数加上第三项的系数， ∴把看做一个整体，的展开式中从左往右第二项的系数为4，第三项的系数为6， ∴的展开式中从左往右第三项的系数为，即第三项为， ∴的展开式中项的系数应为20， 故答案为：20． 3．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                …………          1     1            ………… 1      2      1        ………… 1      3       3     1     ………… 代数式的值为1时，则的值为________． 【答案】4或2 【分析】本题考查了数字类规律探索，由规律可得，令，，得出，结合题意可得，求解即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵代数式的值为1， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：4或2． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材22页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和，按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；写出的第二项的系数是______； (2)结合杨辉三角解决问题：______ (3)运用：______ 【答案】(1)六，6 (2)1 (3) 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是，，，，，，，从而得到答案； （2）通过观察可知，，从而得出答案； （3）由展开式有五项，系数分别是，，，，，从而可得答案； 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是，，，，， 展开式有六项，系数分别是，，，，，， 展开式有七项，系数分别是，，，，，，， ∴的展开式共有六项；写出的第二项的系数是； （2）解： ， （3）解：∵展开式有五项，系数分别是，，，，， . 地 城 考点02 配方法求最值 一、解答题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，的最大值为， 故答案为：3． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023 【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解； （2）根据（1）可得，进而整体代入即可求解； （3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值，进而求解； （4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解； 【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为， 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为， ∴， 故答案为，，； （2）①∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴故答案为 ②∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， 故答案为； （3）∵， ∴即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （4）存在， 原式    当，时，原式最小 ，，原式最小值为2023． 【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）阅读材料：若，求，的值． 解：∵，∴， ∴，∴，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，则________，________； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1）-4，-4；（2）的周长为9． 【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x和y的值； （2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a和b的值，从而得出c的取值范围，根据c为整数即可得出c的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：（1）由得 ， ， ∴，， ∴， 故答案为：-4，-4； （2）由得： ， ， ∴a-1=0，b-4=0， ∴a=1，b=4， ∴3＜c＜5， ∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数， ∴c=4， ∴的周长为9． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等． 4．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______． (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)大，19 (3)9 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是； 故答案为：；； （2）解：， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴边长c的范围为．即 ∵a，b，c都是正整数， ∴边长c的值为4， ∴的周长为． 5．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)40 (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【详解】（1）证明： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可； （2）就，，得出，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 交换a、b的位置， ∵代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴，， 把代入得： ． 地 城 考点03 完全平方四大金刚的实际应用 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）在学习过程中，甲同学认为：如果，那么；乙同学认为：如果，那么．请对两位同学的说法进行判断（   ） A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，完全平方公式，掌握平方的非负性是解题关键．根据平方的非负性分别计算甲、乙同学的结论判断即可． 【详解】解：甲同学的判断： 由，可得或， ①当时，，而，等式成立； ②当时，，但，此时等式不成立（除非）． 因此，甲同学的结论不总成立； 乙同学的判断： 由，移项得，即，故， 此时必然成立． 因此，乙同学的结论正确． 综上，仅乙正确， 故选B． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）已知一个正方形的边长是a，若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，解决问题的关键是掌握完全平方公式．依据新正方形的边长为，再列式计算即可． 【详解】解：新正方形的边长为， ∴这个正方形的面积增加， 故选：B． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得：， ∴， 故选：． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）设，则M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用；，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，则的值是______． 【答案】13 【分析】将变形为，代入数据求值即可． 【详解】 故答案为：13． 【点睛】本题考查完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）已知，，则______． 【答案】16 【分析】此题考查了完全平方公式的变形，，熟记公式是解题的关键．利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：16 7．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）实践课上，小郑做了一个边长为的正方形，若把这个正方形的边长减少，则其面积减少了___________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，列代数式，边长减少以后的正方形的边长是，原来正方形的面积减去边长减少后的面积就是减少的面积，然后利用乘法公式计算即可． 【详解】解：正方形减少的面积是． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的值是______． 【答案】6 【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了公式法因式分解，正确运用完全平方公式是解题关键． 9．（24-25七年级下·辽宁营口·期中）已知是一个完全平方式，则m的值是：_________． 【答案】4 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是和．根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ， 故答案为：4． 10．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， 故答案为：或； 11．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）要使成为完全平方式，那么b的值是_____________________ 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的形式是解题的关键．根据完全平方公式的形式即可解答． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果是一个完全平方式，那么k的值是 ___________． 【答案】16或 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，则，求出k的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：16或． 13．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为______． 【答案】13或−11 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：13或−11． 三、解答题 14．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）【知识初探】如图1，正方形是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题： （1）用两种不同的方法可以表示正方形的面积，写成一个等式为________； （2）运用（1）中的等式，解决以下问题： ①已知，，则________； ②已知，，则________； 【拓展延伸】（3）如图2，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【知识迁移】（4）若，求的值． 【答案】（1）；（2）①19；②103；（3）18；（4）25． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）观察图形，根据面积的关系即可得出结论； （2）①根据代入计算即可； ②根据代入计算即可； （3）由题意得，，根据割补法求出，然后根据代入计算即可； （4）设，，由题意得，， 由代入计算即可． 【详解】解：（1）通过两种表达方式相等，得到等式：， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 故答案为：19； ②∵，， ∴， 故答案为：103； （3）由题意得，， ∴ ； （4）设，， ∴，， ∴ ． 15．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； (3)对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，然后根据完全平方公式变形计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． （3）解：①原式 ， ，， ； ②由题意得：， ， 四边形的面积为， ， 解得：． 【点睛】本题考查了有理数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 16．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）【阅读材料】 在学习完全平方公式时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式：，如图（1），将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：________；由图3可得等式：________； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则________； 【拓展应用】 （4）如图5，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点，，均在格点上，是与网格线的交点，求的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论； （2）由图（3）可得，代入数据进行求解即可； （3）根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，可知的值，代入求解即可； （4）根据等面积法，即可求解． 【详解】解：（1）由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为a小正方形的面积个小长方形的面积个边长为b的正方形面积， ∴； 由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为a、b、c的正方形的面积个长和宽分别为a、b小长方形的面积个长和宽分别为a、c小长方形的面积个长和宽分别为b、c小长方形的面积， ∴； 故答案为：，． （2）由图（3）知：， ∴， ， 把，，代入得， ． 故答案为：155． （3）解：， 可以看成3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， ∴，，， ∴． 故答案为：． （4） 由∵ ∴ 17．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：　 　；由图3可得等式：　 　； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则　 　； (3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ②　 　； (4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 　 　． 【答案】(1) (2)155 (3)①见解析；②9 (4) 【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）①根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，画图即可；②根据①可知的值，代入求解即可； （4）根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积， 大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积， ∴； 由图3知，∵大正方形的面积， 大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积， ∴； 故答案为：，． （2）∵由（1）知：， ∴， ， 把代入， ． 故答案为：155． （3）①∵， 可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， 如图： ②由①知：， ∴． 故答案为：9． （4）3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， 也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， ∴拼成的正方形的边长最长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 18．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】[教材原题] ；[类比探究] ； [应用]（1）90；（2）5；[拓展]12 【分析】[教材原题]由题意知，； [类比探究]由题意知，； [应用]解：（1）将，代入，计算求解即可； （2）由题意知，，根据，计算求值即可； [拓展]由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可． 【详解】[教材原题]解：由题意知，， 故答案为：； [类比探究]解：由题意知，， 故答案为：； [应用]解：（1）， 故答案为：90； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：5； [拓展]解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因，所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为______； (2)拓展：若，则______． (3)应用：如图，在长方形中，，，点E、F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)12 (2)10 (3)384 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后完全平方公式进行计算，即可解答； （3）根据题意可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ，， ， ． （2）解：设，， ， ， ， ． （3）解：四边形是长方形， ，， ， ，， 设，， ， 长方形的面积为160， ， 正方形的面积正方形的面积 ， 图中阴影部分的面积和为384． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式变形的计算是解题的关键． 20．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积，可得到一个关于、、的等量关系式是______． （2）若，，则的值为______． （3）若，，求的值； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为，若，E是的中点，直接写出图中的阴影部分面积的和______． 【答案】（1）（2）；（3）92；（4）5 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式； （2）根据完全平方公式变形求值即可求解． （3）根据完全平方公式变形求值即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； 则； 故答案为：； （2）由（1）得 把，代入， 得， ∴， 则的值为； （3）与同理得， 即 ∵，， ∴ ∴， （4）阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 故答案为：5 21．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________； 【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）48 【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系； （2）利用（1）中关系，整体代入求值即可； （3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得影音部分的面积即可． 【详解】解：（1）图2中，阴影部分的边长为的正方形，因此面积为， 也可以从边长为的正方形面积减去图1的面积，即,则 故答案为：，； （2）由（1）可得 ∴， ∴，解得：； （3）∵两块直角三角板全等， ∴， ∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ∴， 设， ∴， ∵，即 ∴ ∵， ∴，解得：， ∴, ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的性质等知识点，熟练地运用完全平方公式的几何变形是解答本题的关键． 22．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1：___________； 图2：___________． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是__________． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为25，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是__________．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）6；（4） 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）图1阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； 图2阴影的面积等于边长为的正方形的面积， 即； （2）图3阴影的面积等于边长为的正方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去4个长方形的面积 即； （3）由题意可知，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 23．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． (1)已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． (2)已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； (3)直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 【答案】(1)9 (2)9 (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是关键． （1）根据新定义解答即可； （2）根据一组完美数之间的关系进行解答即可； （3）设a、b、c的完美因子为常数M，则有，整理令x的系数为0即可得到完美数之间的关系． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：根据题意得： ； （3）解：当时，a，b，c是一组完美数，理由如下： 设a、b、c的完美因子为常数M，则有：， ∴， 当时，M为常数． ∴． 24．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料：关于x的方程两边同时乘以得：，即 可得：， 所以：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步尝试 已知，，分别计算和的值； (2)拓展应用 ， ． 请利用上述结论，结合阅读材料解答下题． 已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、求代数式，掌握完全平方公式是关键． （1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值； （2）根据题意给出的公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________． （2）若，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）16；（3）22 【分析】本题考查了平方差公式、一元一次方程的应用． （1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）延长、交于点H，根据题意，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是56，得出方程：，求出，根据，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或， ∴， 故答案为：； （2）若， 则 ； （3）如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得： ， ， ， 即， ， ， 即 ． 答：图中阴影部分的面积是22． 26．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图1，是一个长为4a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系． (2)利用（1）中的结论，请求下列问题： ①若，求的值； ②若，求的值． (3)如图3，正方形和正方形重叠，重叠部分是长方形，若正方形的边长为，长方形的面积是，求正方形的面积（若正方形的面积是定值，请求出这个定值；若正方形EFGH的面积不是定值，请用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①16；②13 (3)401 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键． （1）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，由此即可得解； （2）①利用（1）中的结论计算即可得解； ②设，，可知，，再运用完全平方公式计算即可得解； （3）由题意易求，，，设，，则有，，，再根据正方形的面积为解答即可． 【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积可以表示为， 还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即， ∴之间的等量关系是． （2）解：①∵， ∴； ②设，，则， ∵， ∴， ∴ ． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵长方形的面积是， ∴，即， 设，，则，， ∴， ∴正方形的面积为． 27．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）【材料阅读】 利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题． 例：若满足，求的值． 解：设，则， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【初步应用】（1）已知，，则___________； 【问题解决】（2），求； 【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）22；（2）；（3）阴影部分的面积为16． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）先利用完全平方公式求得，再根据，代入计算即可； （2）设，，根据题意可求出，，再求出的值，即可求出答案； （3）长方形的长，宽，则有，因此有，求出x的值，再代入阴影部分的面积中计算即可求出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，， 则， ， ∵， ∴， ∴； （3）由题意得，长方形的长，宽， 则有， 由题意得， 即， ∴， ∴或（舍去）． ∴阴影部分的面积为：， 答：阴影部分的面积为16． 28．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次． 【方法应用】（1）在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1），沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形，由上述操作可以得到等式___________． （2）如图3是一张“”形的纸片，其面积为27，各边长度如图所示，则___________． 【方法迁移】（3）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图4是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式是___________．（等号两边需化为最简形式） ②已知，利用上面的知识，计算的值 【答案】（1）；（2）9；（3）①② 【分析】此题考查了完全平方公式的拓展应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和数形结合思想． （1）分别根据两个正方形面积做差和直接求所拼接长方形面积两个方法进行列式、表示； （2）运用以上所归纳的等式进行求解； （3）①通过正方体体积的直接求解和所分割各部分的体积求和两个方式列式、求解； ②把代入上面公式进行计算、求解． 【详解】（1）由题意得，用大正方形面积剪去小正方形面积后的面积是， 沿虚线将阴影部分剪开拼成图2所示的长方形的面积为， ∴可得公式为：， 故答案为： ； （2）由题意得， 解得， ∴ 故答案为： 9 ； （3）①∵该正方体的体积可表示为，其被分成 8 部分的体积之和可表示为： ， ∴可得等式， 故答案为：； ②当时，将代入等式可得： ， 即， ， 解得． 29．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_______； （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_______． 【拓展应用】 （3）如图3，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． （4）时，求的值． 【答案】（1），（2），（3），（4） 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．灵活利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和，结合（2）的结论求解即可得到答案； （4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）由图1的面积可得：； （2）由图2阴影的面积可得：； （3）由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 30．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图． (1)观察图请写出、、之间的等量关系是 ； (2)根据中的结论，若，，则 ； (3)知识拓展：若，求的值． (4)知识应用：如图①，已知长方形的周长为，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为． 请直接写出下面两个问题的答案： ①长方形的面积是 ； ②如图②，连接、、，的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)①② 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解此题的关键． （1）大正方形的面积可以表示为，还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即，由此即可得解； （2）利用（1）中的结论计算即可得解； （3）运用完全平方公式计算即可得解； （4）①设，，则，，再由完全平方公式计算即可得解；②根据，结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积可以表示为， 还可以表示为中间小正方形的面积加上四个长方形的面积，即， ∴、、之间的等量关系是； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：①设，， ∵长方形的周长为14， ∴， ∴， ∵分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为29， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； ②由题意可得： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $