专题01 整式的乘法（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材北师大版

专题01 整式的乘法 幂的运算 1. 同底数幂相乘 · 公式：（为正整数） · 要点：底数不变，指数相加；可推广到多个幂相乘： 2. 幂的乘方 · 公式：（为正整数） · 要点：底数不变，指数相乘；可推广： 3. 积的乘方 · 公式：（为正整数） · 要点：积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；可推广： 4. 同底数幂相除 · 公式：（为正整数） · 拓展： · 零指数幂：（，任何非零数的0次幂都是1） · 负整数指数幂：（为正整数，负指数表示取倒数再正指数幂） 5. 科学记数法（含负指数） · 形式： · 大数：（，为正整数，等于整数位数减1） · 小数：（，为正整数，等于小数点后第一个非零数字前的0的个数） · 要点：将数写成“1到10之间的数×10的幂”，负指数用于表示小于1的正数 整式乘法 1. 单项式 × 单项式 · 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同指数照写。 · 易错点：不要漏乘系数，单独字母要保留。 2. 单项式 × 多项式 · 法则：利用乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 · 公式： · 易错点：符号问题（负号要带进去），不要漏乘多项式的常数项。 3. 多项式 × 多项式 · 法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 · 通用公式： 乘法公式 1. 平方差公式 · 公式： · 特征：两数和 × 两数差，结果为“同号项平方 - 异号项平方”。 2. 完全平方公式 · 公式： · 和的平方： · 差的平方： · 口诀：首平方，尾平方，首尾乘积 2 倍放中央，符号看前方。 整式化简与除法 1. 整式化简顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同类项及时合并。 2. 单项式÷单项式 系数、同底数幂分别相除，独有字母连同指数保留。 3. 多项式÷单项式 利用分配律，多项式每一项分别除以单项式，再将商相加。 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算 【例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，，则______． 【变式1-3】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）计算：__． 单项式乘单项式 【例2】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知单项式与的积为，则的值为__________． 【变式2-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）__________． 【变式2-2】（25-26七年级下·湖南永州·期中）__________ 【变式2-3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）化简：_________． 单项式乘多项式 【例3】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：__________． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算：______． 【变式3-2】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为______． 【变式3-3】（25-26七年级下·北京通州·期中）计算的正确结果是_______． 多项式乘多项式 【例4】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果为__________ 【变式4-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知的展开式中不含的一次项，则_____． 【变式4-2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________． 【变式4-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值是___________． 平方差公式 【例5】（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江·期中）观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·河北保定·模拟预测）计算：______． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知，则______． 完全平方公式 【例6】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为_______． 【变式6-1】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式6-2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 【变式6-3】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）计算： _________． 同底数幂的除法 【例7】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 【变式7-1】（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）若、，则的值为______． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）若，则_____________ 【变式7-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）若，则的值为__________． 用科学计数法表示绝对值小于1的数 【例8】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将0.000000022用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期中）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·山东济宁·二模）2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知，将用科学记数法表示为________． 【变式8-3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）在2024年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为______． 整式的除法 【例9】（2026·天津河西·一模）计算的结果为______． 【变式9-1】（2026·天津红桥·一模）计算的结果为________． 【变式9-2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【变式9-3】（25-26七年级下·浙江·期中）计算：________． 易错1：幂的运算类 · 混淆 “指数加/乘”； · 符号处理错误； · 零指数/负指数误区； · 底数不同强行运算。 易错2：整式乘法类 · 单项式×多项式漏乘项； · 多项式×多项式漏乘、重复乘； · 符号错误：每一项要 “带符号搬家”。 易错3：乘法公式类（最易错） · 平方差公式误用； · 完全平方公式漏“2倍项”； · 系数不为1时漏平方。 易错4：整式除法类 · 系数带符号相除时漏符号； · 只在被除式中出现的字母保留，不要漏掉； · 多项式÷单项式漏除某一项。 不含某项求字母的值 【例10】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）把代数式展开，若整理后不含的一次项，则的值为________． 【变式10-3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）若的展开式中不含的一次项，则_____． 整式化简求值 【例11】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式11-2】（25-26七年级下·江西抚州·期中）先化简，再求值：．其中是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数． 【变式11-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 求完全平方式中的字母系数 【例12】（25-26七年级下·河北保定·期中）已知多项式可以写成某个多项式的平方的形式，则常数k的值为________． 【变式12-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的二次三项式．是完全平方式，则m的值为________． 【变式12-2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【变式12-3】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若是一个完全平方式，则______________． 技巧1：幂的运算技巧 · 统一底数法：底数互为相反数时，先化为同底 · 逆用公式（高频）：am+n=am⋅an、amn=(am)n、anbn=(ab)n · 负指数转正：a−p=1/ap；(a/b)−p=(b/a)p 技巧2：乘法公式速用技巧 · 平方差识别口诀：一项同、一项反，结果平方差 · 完全平方口诀：首平方、尾平方，首尾乘积2倍放中央，符号看前方 · 整体代入：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2=(a+b)2−2ab=25−6=19 技巧3：整式乘除通用方法 · 符号优先：先定符号，再算数值与字母 · 分步运算：乘方→乘除→加减；多项式乘法按顺序展开，不漏项 · 结果化简：最后必须合并同类项、按降幂排列 · 除法转化：多项式÷单项式→分项÷单项式→相加 技巧4：常见题型快速解法 · 比较幂大小：化为同底数或同指数 · 化简求值：先化简，再代入（避免直接代入大数） · 配方变形：x2−4x+5=(x−2)2+1（用于求最值/非负性） 同底数幂乘法的逆用 【例13】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知，，则是（    ） A． B．15 C．25 D．50 【变式13-2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【变式13-3】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知：，，则的值为________． 幂的乘方逆用 【例14】（25-26九年级下·湖南株洲·期中）的计算结果为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式14-1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）计算的结果是（　） A．1.5 B． C． D． 【变式14-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则的值是______． 【变式14-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算的结果是______． 运用乘法公式简便计算 【例15】（25-26七年级下·山东青岛·期中）设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 【变式15-1】（25-26七年级下·湖南张家界·期中）运用乘法公式简便计算：______． 【变式15-2】（2026·天津河北·二模）计算的结果为______． 通过完全平方公式变形求值 【例16】（25-26七年级下·四川达州·期中）已知，则____________． 【变式16-1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则的值是________． 【变式16-2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知，，则_________． 【变式16-3】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则的值为______． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘法 幂的运算 1. 同底数幂相乘 · 公式：（为正整数） · 要点：底数不变，指数相加；可推广到多个幂相乘： 2. 幂的乘方 · 公式：（为正整数） · 要点：底数不变，指数相乘；可推广： 3. 积的乘方 · 公式：（为正整数） · 要点：积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；可推广： 4. 同底数幂相除 · 公式：（为正整数） · 拓展： · 零指数幂：（，任何非零数的0次幂都是1） · 负整数指数幂：（为正整数，负指数表示取倒数再正指数幂） 5. 科学记数法（含负指数） · 形式： · 大数：（，为正整数，等于整数位数减1） · 小数：（，为正整数，等于小数点后第一个非零数字前的0的个数） · 要点：将数写成“1到10之间的数×10的幂”，负指数用于表示小于1的正数 整式乘法 1. 单项式 × 单项式 · 法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独含有的字母连同指数照写。 · 易错点：不要漏乘系数，单独字母要保留。 2. 单项式 × 多项式 · 法则：利用乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 · 公式： · 易错点：符号问题（负号要带进去），不要漏乘多项式的常数项。 3. 多项式 × 多项式 · 法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 · 通用公式： 乘法公式 1. 平方差公式 · 公式： · 特征：两数和 × 两数差，结果为“同号项平方 - 异号项平方”。 2. 完全平方公式 · 公式： · 和的平方： · 差的平方： · 口诀：首平方，尾平方，首尾乘积 2 倍放中央，符号看前方。 整式化简与除法 1. 整式化简顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同类项及时合并。 2. 单项式÷单项式 系数、同底数幂分别相除，独有字母连同指数保留。 3. 多项式÷单项式 利用分配律，多项式每一项分别除以单项式，再将商相加。 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算 【例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算规则与同类项合并规则，根据积的乘方、同底数幂的乘除法、同类项的概念逐个判断即可． 【详解】解：A．，该项错误． B．同底数幂相除，底数不变，指数相减，得，该项正确． C．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，该项错误． D．与不是同类项，不能合并，该项错误． 【变式1-1】（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，∴A错误； 选项B，，∴B错误； 选项C，，∴C错误； 选项D，，∴D正确． 【变式1-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，，则______． 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法和幂的乘方逆运算对所求式子变形，将已知代入计算即可． 【详解】解：． 【变式1-3】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）计算：__． 【答案】 【详解】解：原式. 单项式乘单项式 【例2】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知单项式与的积为，则的值为__________． 【答案】 【分析】先计算与的积，再跟比较得到m、n的值，进而可知的值． 【详解】解：， ∵单项式与的积为， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）__________． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数的乘积与同底数幂的乘积即可得到结果． 【详解】解：． 【变式2-2】（25-26七年级下·湖南永州·期中）__________ 【答案】 【详解】解： 【变式2-3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）化简：_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 单项式乘多项式 【例3】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：__________． 【答案】/ 【分析】用单项式乘多项式的每一项，再将所得的积相加计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3-2】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了计算单项式乘多项式及求值，已知式子的值，求代数式的值，掌握整体代入法是解题的关键．将已知式子变形为，然后将待求式子变形后整体代入求值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式3-3】（25-26七年级下·北京通州·期中）计算的正确结果是_______． 【答案】 【分析】用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可. 【详解】解： . 多项式乘多项式 【例4】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果为__________ 【答案】 【详解】解：． 【变式4-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知的展开式中不含的一次项，则_____． 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据不含的一次项，即的一次项的系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 又 的展开式中不含的一次项， ， 解得，． 【变式4-2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 平方差公式 【例5】（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意，，再表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江·期中）观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可． 【详解】解：第一个图阴影部分的面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴． 【变式5-2】（2026·河北保定·模拟预测）计算：______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，再去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知，则______． 【答案】1 【分析】先由积的乘方逆运算将原式变形为，再结合平方差公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 完全平方公式 【例6】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 【变式6-1】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 【变式6-2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 【答案】B 【分析】先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式． 【变式6-3】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）计算： _________． 【答案】 【分析】观察式子结构，可先对前三项利用完全平方公式化简，再进行计算． 【详解】解：． 同底数幂的除法 【例7】（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式7-1】（25-26七年级下·江西鹰潭·期中）若、，则的值为______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的除法将进行变形后计算即可． 【详解】解：、， ． 【变式7-2】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）若，则_____________ 【答案】 【分析】先根据已知等式求出的值，再将原式变形为同底数幂的形式，利用幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则化简后代入计算即可． 【详解】解：由得， 原式． 【变式7-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）若，则的值为__________． 【答案】64 【分析】由得，再根据同底数幂除法法则计算． 【详解】解：， ， ． 用科学计数法表示绝对值小于1的数 【例8】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将0.000000022用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 【变式8-1】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期中）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式8-2】（2026·山东济宁·二模）2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展．已知，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 【变式8-3】（25-26七年级下·江西抚州·期中）在2024年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于的正数，根据科学记数法的定义，确定形式中和的值即可. 【详解】解： 整式的除法 【例9】（2026·天津河西·一模）计算的结果为______． 【答案】/ 【分析】根据单项式除以单项式的计算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【变式9-1】（2026·天津红桥·一模）计算的结果为________． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，分别对系数和同底数幂进行运算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式9-2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可． 【详解】解：． 【变式9-3】（25-26七年级下·浙江·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 易错1：幂的运算类 · 混淆 “指数加/乘”； · 符号处理错误； · 零指数/负指数误区； · 底数不同强行运算。 易错2：整式乘法类 · 单项式×多项式漏乘项； · 多项式×多项式漏乘、重复乘； · 符号错误：每一项要 “带符号搬家”。 易错3：乘法公式类（最易错） · 平方差公式误用； · 完全平方公式漏“2倍项”； · 系数不为1时漏平方。 易错4：整式除法类 · 系数带符号相除时漏符号； · 只在被除式中出现的字母保留，不要漏掉； · 多项式÷单项式漏除某一项。 不含某项求字母的值 【例10】（25-26七年级下·湖南郴州·阶段检测）若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含项，可得项的系数为，据此求解的值即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含项， ∴项的系数等于，即， 解得． 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 【变式10-2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）把代数式展开，若整理后不含的一次项，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， 由题意，， 解得. 【变式10-3】（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）若的展开式中不含的一次项，则_____． 【答案】 【详解】解：， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴． 整式化简求值 【例11】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【分析】括号内先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项，然后计算多项式除以单项式即可化简，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式11-1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项化简，最后代入、的值计算结果即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【变式11-2】（25-26七年级下·江西抚州·期中）先化简，再求值：．其中是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数． 【答案】 ， 【分析】先根据平方差公式、完全平方公式进行化简，再根据倒数及绝对值定义求出，然后代入化简后的代数式中求解即可. 【详解】解：原式 ， ∵是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数， ∴， ∴上式 . 【变式11-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ． 当，时，代入上式得， ． 求完全平方式中的字母系数 【例12】（25-26七年级下·河北保定·期中）已知多项式可以写成某个多项式的平方的形式，则常数k的值为________． 【答案】 【分析】根据完全平方式的结构求解即可. 【详解】解：多项式可以写成某个多项式的平方的形式， ，即， 解得. 【变式12-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）若关于x的二次三项式．是完全平方式，则m的值为________． 【答案】7或 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键，利用完全平方式的结构特征即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故答案为7或． 【变式12-2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据在完全平方式中，两项是两个数或式的平方且符号相同，另一项是这两个数或式乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴，即． 【变式12-3】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若是一个完全平方式，则______________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，将原式变形后对应完全平方的展开形式，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ， ． 技巧1：幂的运算技巧 · 统一底数法：底数互为相反数时，先化为同底 · 逆用公式（高频）：am+n=am⋅an、amn=(am)n、anbn=(ab)n · 负指数转正：a−p=1/ap；(a/b)−p=(b/a)p 技巧2：乘法公式速用技巧 · 平方差识别口诀：一项同、一项反，结果平方差 · 完全平方口诀：首平方、尾平方，首尾乘积2倍放中央，符号看前方 · 整体代入：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2=(a+b)2−2ab=25−6=19 技巧3：整式乘除通用方法 · 符号优先：先定符号，再算数值与字母 · 分步运算：乘方→乘除→加减；多项式乘法按顺序展开，不漏项 · 结果化简：最后必须合并同类项、按降幂排列 · 除法转化：多项式÷单项式→分项÷单项式→相加 技巧4：常见题型快速解法 · 比较幂大小：化为同底数或同指数 · 化简求值：先化简，再代入（避免直接代入大数） · 配方变形：x2−4x+5=(x−2)2+1（用于求最值/非负性） 同底数幂乘法的逆用 【例13】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）已知，，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则求解，将已知变形后整体计算即可得到结果，用到幂的乘方和同底数幂乘法的性质． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 【变式13-1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知，，则是（    ） A． B．15 C．25 D．50 【答案】D 【分析】将所求代数式变形为与已知条件同底数的幂，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∵． 【变式13-2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法逆运算将原式变形为，再由积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 【变式13-3】（25-26七年级下·湖南郴州·期中）已知：，，则的值为________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则与幂的乘方运算法则，将所求式子变形为含有、的形式，再代入数值计算． 【详解】解：根据幂的运算法则： ， 已知，， 代入上式：． 幂的乘方逆用 【例14】（25-26九年级下·湖南株洲·期中）的计算结果为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方的逆运算将原式变形，简化计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式14-1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）计算的结果是（　） A．1.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ． 【变式14-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则的值是______． 【答案】 【分析】直接利用已知得出，再利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：， ， ． 【变式14-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）计算的结果是______． 【答案】 【分析】利用同底数幂的逆运算法则和积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： ． 运用乘法公式简便计算 【例15】（25-26七年级下·山东青岛·期中）设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【分析】根据平方差公式和完全平方公式将与化简，再进行比较即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 【变式15-1】（25-26七年级下·湖南张家界·期中）运用乘法公式简便计算：______． 【答案】 【分析】将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 【变式15-2】（2026·天津河北·二模）计算的结果为______． 【答案】40 【详解】解：原式． 通过完全平方公式变形求值 【例16】（25-26七年级下·四川达州·期中）已知，则____________． 【答案】21 【分析】本题利用换元法简化式子，结合完全平方公式进行整体求值，先求出换元后两个变量的和，再通过完全平方公式变形计算所求乘积． 【详解】解：设，由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式16】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则的值是________． 【答案】10 【分析】利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出的值． 【详解】解：， ∴，， ， 整理得， ∴． 【变式16-2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式16-3】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则的值为______． 【答案】17 【分析】将两个已知等式利用完全平方公式展开，再将两个展开式相加，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴根据完全平方公式得： ①， ②， 得：， 两边同除以得：． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $