专题03：长方体和正方体（4种类型45道题）（期中专项训练）五年级数学下学期（冀教版）

专题03：长方体和正方体 （4种类型45道题） 目录概览 题型1 长方体和正方体有关棱长的应用 题型2长方体和正方体的展开图 题型3长方体和正方体的表面积 题型4 长方体和正方体的拼切 题型演练 题型1 长方体和正方体有关棱长的应用 1．如图，一件礼品装在一个长方体盒子里，哪种包装方法最节省包装带？（    ） A． B． C． D．一样长 【答案】A 【分析】①需要包装带的长度＝2个长＋2个宽＋4个高，结合题中的数据计算即可；利用同样的方法求出②和③需要包装带的长度，比较即可解答。 【详解】12×2＋8×2＋6×4 ＝24＋16＋24 ＝40＋24 ＝64（厘米） 12×2＋6×2＋8×4 ＝24＋12＋32 ＝36＋32 ＝68（厘米） 12×4＋8×2＋6×2 ＝48＋16＋12 ＝64＋12 ＝76（厘米） 64＜68＜76 第一种包装方法最节省包装带。 故答案为：A 【点睛】本题是一道关于长方体的题目，关键是求出每种包装方法需要包装带的长度。 2．用一根长是（    ）的铁丝正好可以做一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体框架。 A．28厘米 B．56厘米 C．90厘米 D．128厘米 【答案】B 【分析】根据题意，用一根铁丝做一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 【详解】（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 用一根长是56厘米的铁丝正好可以做一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体框架。 故答案为：B 3．有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此求出铁丝的长度，铁丝的长度也是正方体框架的总棱长，再根据正方体的总棱长公式：L＝12a，用铁丝的长度除以12即可求出正方体框架的棱长。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 则围成的正方体框架的棱长是4厘米。 故答案为：B 4．一个正方体的棱长扩大为原来的4倍，则表面积扩大为原来的（    ）倍。 A．4 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】正方体表面积公式为（其中S表示表面积，a表示正方体的棱长）。当棱长扩大4倍时，新棱长为4a，此时新表面积为，用新表面积除以原表面积即可解答。 【详解】原表面积为 扩大后的表面积为 正方体棱长扩大为原来的4倍，表面积扩大为原来的16倍。 故答案为：B 5．用一根长48厘米的铁丝正好围成一个正方体框架，则这个正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体框架的棱长的长度，据此解答。 【详解】48÷12＝4（厘米） 用一根长48厘米的铁丝正好围成一个正方体框架，则这个正方体框架的棱长是4厘米。 故答案为：D 6．一个正方体的棱长是3厘米，它的棱长总和是 ( )厘米，表面积是 ( )平方厘米。 【答案】 36 54 【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，6个面是完全相同的正方形，6个面的面积都相等，正方体的棱长总和＝棱长×12，表面积公式S＝6a2，据此解答。 【详解】一个正方体的棱长是3厘米，它的棱长总和是：3×12＝36（厘米），表面积是：3×3×6＝54（平方厘米）。 【点睛】此题主要考查正方体的特征，以及棱长总和、表面积的计算，直接根据棱长总和公式、表面积公式解答。 7．一根铁丝可以做一个棱长是4厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体框架的高是( )厘米。 【答案】3 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用4×12即可求出铁丝的长度；再根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用铁丝的长度÷4－6－3即可求出长方体框架的高。 【详解】4×12＝48（厘米） 48÷4－6－3＝3（厘米） 长方体框架的高是3厘米。 【点睛】本题主要考查了正方体棱长和公式、长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 8．把一根铁丝折成长是9厘米、宽是7厘米、高是4厘米的一个长方体框架正好没有剩余。这根铁丝的长是( )厘米。 【答案】80 【分析】长方体的长、宽、高个各有4条，长方体的棱长总和是就是铁丝的长度，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4进行计算即可。 【详解】（9＋7＋4）×4 ＝20×4 ＝80（厘米） 所以，这根铁丝的长是80厘米。 9．一根长64厘米的铁丝正好可以焊接成一个宽2厘米、高7厘米的长方体框架，这个框架的长是( )厘米（损耗忽略不计）。若在这个长方体框架的外面糊一层彩纸，则至少要准备( )平方厘米的彩纸。 【答案】 7 154 【分析】由题意知，这个铁丝的长度等于长方体的棱长总和，根据公式：长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可得：长方体的长＝棱长总和÷4－宽－高，代入数据计算，即可求出这个框架的长是多少厘米。求所需的彩纸面积就是求这个长方体的表面积，根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出至少要准备多少平方厘米的彩纸。 【详解】64÷4－2－7 ＝16－2－7 ＝7（厘米） （7×2＋7×7＋2×7）×2 ＝（14＋49＋14）×2 ＝77×2 ＝154（平方厘米） 即这个框架的长是7厘米（损耗忽略不计）。若在这个长方体框架的外面糊一层彩纸，则至少要准备154平方厘米的彩纸。 10．为了迎接元旦，康复医院要在医院娱乐休闲中心房子的四周装上彩灯（底面的四周不装）。娱乐休闲中心房子的长是80米，宽是40米，高是4.5米，布置人员至少要准备( )米的彩灯。 【答案】258 【分析】医院娱乐休闲中心房子的四周（底面的四周不装）。这意味着彩灯主要围绕房子的顶面四周和四条竖棱（高）进行布置。房子为长方体结构，长80米，宽40米，高4.5米。顶面四周的彩灯长度＝长方体顶面长方形的周长，即（长＋宽）×2。四条竖棱的彩灯长度＝4条高的总长度，即高×4。据此把数据代入计算即可。 【详解】（80＋40）×2 ＝120×2 ＝240（米） 4.5×4＝18（米） 240＋18＝258（米） 所以布置人员至少要准备258米的彩灯。 11．两根同样长的铁丝，一根正好围成一个长8厘米、宽3厘米、高1厘米的长方体框架，另一根正好围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】长方体有4条长，4条宽，4条高，所以长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，已知长方体的长是8厘米、宽是3厘米、高是1厘米，代入求出长方体的棱长总和；因为两根铁丝同样长，所以正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和，正方体有12条棱，且每条棱的长度都相等，所以正方体的棱长总和＝棱长×12，求出这个正方体的棱长。 【详解】（8＋3＋1）×4 ＝（11＋1）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 答：这个正方体的棱长是4厘米。 12．商店营业员用一根塑料绳为顾客捆扎两个食品盒，每个食品盒的长、宽、高分别是15厘米、11厘米、4厘米，如图那样捆扎一道并留下16厘米长做手提环，这样一共需要多少厘米长的塑料绳？ 【答案】100厘米 【分析】由题意可知，把2个大小相同的食品盒摞在一起，拼成的长方体的长是15厘米，宽是11厘米，高是（4×2）厘米，由图形可知，塑料绳在盒上是交叉捆绑，塑料绳的长度等于2条长棱＋2条宽棱＋4条高棱＋手提环部分用的16厘米，由此列式解答 【详解】15×2＋11×2＋4×2×4＋16 ＝30＋22＋32＋16 ＝52＋32＋16 ＝84＋16 ＝100（厘米） 答：这样一共需要100厘米长的塑料绳。 题型2长方体和正方体的展开图 13．下列图形中，（    ）沿虚线折叠后能围成长方体。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【详解】A.展开图的6个面都是完全一样的长方形，但下面两个长方形折叠起来会发生重叠，不能组成长方体，所以不是长方体的展开图，不符合题意； B.不符合长方体“相对的面相同”的特征，不是长方体展开图，不符合题意； C.展开图的6个面都是长方形，相对的面相同，是长方体的展开图，符合题意； D.不符合长方体“相对的面相同”的特征，不是长方体展开图，不符合题意。 故答案为：C 14．如图，一个无盖的正方体纸盒，底面标有字母“M”，下面图（    ）可能是这个正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的展开图逐项分析是否能围成无盖正方体，且字母“M”位于底面。 【详解】A．“M”所在面可作为底面，其余4个面能围成侧面，符合无盖正方体展开图特征。 B．此图折叠后可围成无盖正方体，但“M”所在面是侧面，不符合题意。 C．此图折叠后可围成无盖正方体，但“M”所在面是侧面，不符合题意。 D．此图无法折叠成无盖正方体，不符合题意。 故答案为：A 15．如图是一个正方体表面展开图，与3号面相对的面是(    )号面。 A．5 B．6 C．4 【答案】B 【分析】正方体展开图中相对的面具有以下特点：相对的两个面在展开图中不相邻，即它们之间隔着其他的面。沿着正方体的棱折叠时，相对的面会完全重合。据此解答。 【详解】根据分析可得： 1和5相对，2和4相对，3和6相对。 这个正方体表面展开图，与3号面相对的面是6号面。 故答案为：B 16．下列正方体纸盒，（    ）的表面展开图是。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，即中间4个一连串，两边各一随便放。并且根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 该展开图的1和3相对，2和4相对，5和6相对。 A．该正方体1和3不是相对面，所以不符合题意； B．该正方体5和6不是相对面，所以不符合题意； C．该正方体2和4不是相对面，所以不符合题意； D．该正方体符合1和3相对，2和4相对，5和6相对，符合题意。 故答案为：D 【点睛】本题考查了正方体展开图的特征，总共分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并且记住规律。 17．把如图所示的图形折成一个正方体后，与“桥”字相对的面上的字是（    ）。    A．小 B．水 C．人 D．家 【答案】D 【分析】根据正方体的展开图可知，以“水”字所在的面为正对我们的面，将正方体复原，即可找到“桥”的对面是“家”，“流”的对面是“人”，“小”的对面是“水”。 【详解】如图所示的图形折成一个正方体后，与“桥”字相对的面上的字是“家”。 故答案为：D 【点睛】本题考查的是对正方体展开图的认识。 18．下面是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的数值相等，那么x＝( )，y＝( )。 【答案】 4 10 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型。折成正方体后，2x与右边中间的8相对，上面的8与下面的8相对，y与10相对，据此求出x和与的值。 【详解】根据分析可知，折成正方体后，2x与8相对；8与8相对；y与10相对。 2x＝8 x＝8÷2 x＝4 y＝10 如果正方体相对的面上标注的数值相等，那么x＝4，y＝10。 【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可以自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 19．一个正方体（如图所示），每个面上分别写着A、B、C、D、E、F。根据这个正方体的不同摆法，可以判断出A的对面是( )，B的对面是( )。 【答案】 E D 【分析】由左图可知，A面、D面和F面相邻，由中图可知，A面与B面、C面相邻，由右图可知，C面、D面和E面相邻。由此推出A面与B面、C面、D面、F面相邻，A面的对面是E面；同理，B面的对面是D面。 【详解】 根据分析，正方体展开如图，A的对面是E，B的对面是D。 20．用做一个，“3”的对面是“( )”。 【答案】5 【分析】根据正方体的特征可知，正方体展开后，相对的两个面中间会隔着一个正方形。 所以，“2”的对面是“4”，“3”的对面是“5”，“1”的对面是“6”；据此解决。 【详解】由题意分析得： 用做一个，“3”的对面是“5”。 【点睛】此题主要考查的是正方体的展开与折叠，要熟记图形的特征。 21．把下面这个展开图折成长方体。 （1）如果B面在下面，那么哪一面在上面？ （2）如果C面在前面，从右面看是F面，那么哪一面在下面？ 【答案】（1）D面在上面 （2）B面在下面 【分析】长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。 想象把长方体展开图折成长方体，相对的面为：A与F相对，B与D相对，C与E相对。 （1）如果B面在底部，则与B面相对的D面在上面。 （2）如果C面在前面，F面在右面，则E面在后面，A面在左面，B面在下面，D面在上面。 据此分析即可。 【详解】（1）如果B面在下面，那么D面在上面； （2）如果C面在前面，从右面看是F面，B面在下面。 题型3长方体和正方体的表面积 22．一个长方体的上面和右面如图所示这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．120 B．156 C．132 D．148 【答案】D 【分析】根据长方体的上面是由长和宽组成的面，则长是6厘米，宽是4厘米；长方体的右面是由宽和高组成的面，则宽是4厘米，高是5厘米。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算得出答案。 【详解】根据题意可得：长方体的长、宽、高分别为6厘米、4厘米、5厘米，则表面积为： （6×4＋6×5＋4×5）×2 ＝（24＋30＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 故答案为：D 23．一个长方体的长是6dm，宽和高都是3dm，这个长方体的表面积是多少平方分米？下面列式中，错误的是（    ）。 A．（6×3＋6×3＋3×3）×2 B．6×3×4＋3×3×2 C．6×3×2×2＋3×3×2 D．6×3×2＋3×3×4 【答案】D 【分析】根据长方体面的特征来计算表面积，长方体有6个面，相对的面的面积相等，所以长方体表面积公式为（其中a为长，b为宽，h为高）；该长方体中，长为6分米、宽为3分米的面有4个，长为3分米、宽为3分米的面有2个，所以该长方体的表面积还可以表示为4个长为6分米、宽为3分米的面积加上2个长为3分米、宽为3分米的面。 【详解】A.这是直接运用长方体表面积公式计算，计算结果为90平方分米。该选项正确。 B.，因为长方体中长为、宽为的面有4个，面积和为；长为、宽为的面有2个，面积和为，两者相加结果为90平方分米，该选项正确。 C.中表示的是长为、宽为的面有4个（），表示长为、宽为的面有2个，计算可得90平方分米，该选项正确。 D.中表示长为、宽为的面有2个，表示长为、宽为的面有4个，而原长方体中长为、宽为的面有2个，所以该式计算结果为72平方分米，与正确表面积90平方分米不符，该选项错误。 故答案为：D 24．学了表面积后，乐乐说：“两个长方体的表面积相等，它们的形状一定相同。”园园说：“棱长和相等的两个正方体，表面积也一定相等。”（    ）的说法正确。 A．乐乐 B．园园 C．两人 D．没有人 【答案】B 【分析】正方体表面积公式：，长方体表面积公式：，根据两个表面积公式进行举例分析即可。 【详解】乐乐：根据长方体表面积公式，例如， 一个长方体长2，宽4，高6，表面积； 另一个长方体长2，宽2，高10，表面积，但这两个长方体形状不同（长、宽、高不同 ），所以乐乐说法错误。 园园： 正方体棱长和公式为（a为棱长 ），若两个正方体棱长和相等，则它们的棱长a相等。 正方体表面积公式为，因为棱长a相等，所以表面积一定相等，园园说法正确。 故答案为：B 25．一块长方体木料长6分米，宽和高都是4分米，表面积是( )平方分米，这个长方体有( )个面是正方形。 【答案】 128 2 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可；长方体的宽和高都是4分米，所以左右两个面（宽×高）是正方形，共2个。 【详解】（6×4＋6×4＋4×4）×2 ＝（24＋24＋16）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 长方体的宽和高都是4分米，所以左右两个面（宽×高）是正方形，共2个。 因此，一块长方体木料长6分米，宽和高都是4分米，表面积是128平方分米，这个长方体有2个面是正方形。 26．把一个长16厘米、宽8厘米、高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积之和可能是( )平方厘米，也可能是( )平方厘米。 【答案】 896 768 【分析】把大长方体切成两个小长方体，会增加两个面的面积，有2种切割方式：①平行于最大面切割（即长为16厘米、宽为8厘米的面），②平行于最小面切割（即边长为8厘米的正方形面）。根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，先算出长方体的表面积，再根据长方形的面积＝长×宽（或正方形的面积＝边长×边长），计算出两个增加面的面积，最后用长方体的表面积加上两个增加面的面积，即是这两个小长方体的表面积之和。 【详解】（16×8＋16×8＋8×8）×2 ＝（128＋128＋64）×2 ＝320×2 ＝640（平方厘米） ①640＋16×8×2 ＝640＋256 ＝896（平方厘米） ②640＋8×8×2 ＝640＋128 ＝768（平方厘米） 即这两个小长方体的表面积之和可能是896平方厘米，也可能是768平方厘米。 27．一个正方体魔方，测量出它的一条棱长是10厘米，它的一个面的面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 100 600 【分析】它的一个面是正方形，边长为正方体魔方的一条棱长，正方形的面积＝边长×边长，据此求出正方体魔方的一个面的面积，正方体魔方有6个面，用正方体魔方的一个面的面积乘6就是正方体魔方的表面积。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 100×6＝600（平方厘米） 所以它的一个面的面积是100平方厘米，表面积是600平方厘米。 28．一种正方体的工艺蜡烛盒（无盖），四周和底面都是玻璃，棱长6厘米。做这个蜡烛盒至少要用( )平方厘米玻璃。 【答案】180 【分析】根据题意，求做这个蜡烛盒至少要用多少平方厘米玻璃，就是求棱长为6厘米的无盖正方体表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×5，代入计算即可。 【详解】6×6×5 ＝36×5 ＝180（平方厘米） 所以，做这个蜡烛盒至少要用180平方厘米玻璃。 29．计算下面图形的表面积。（单位：厘米） （1） （2） 【答案】（1）258平方厘米 （2）216平方厘米 【分析】（1）根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；从图中可知，长方体的长是9厘米、宽是6厘米、高是5厘米代入数据，即可解答。 （2）如图，将这三个面平移，这样就是求棱长是6厘米的正方体的表面积。根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，代入数据即可求解。 【详解】（1）（9×6＋9×5＋6×5）×2 ＝（54＋45＋30）×2 ＝（99＋30）×2 ＝129×2 ＝258（平方厘米） 所以，长方体的表面积是258平方厘米。 （2）6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 所以，正方体的表面积是216平方厘米。 30．一间教室的长是8米，宽是6米，高是2.8米，门窗约占10平方米，前后黑板约占4平方米。如果要粉刷教室的四壁和屋顶，那么需要粉刷多少平方米？ 【答案】112.4平方米 【分析】底面不粉刷，需要粉刷的面积用四壁和屋顶的面积和减去门窗和前后黑板的面积即可，即长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗面积－前后黑板面积＝需要粉刷的面积，据此列式解答。 【详解】8×6＋8×2.8×2＋6×2.8×2－10－4 ＝48＋44.8＋33.6－10－4 ＝126.4－10－4 ＝112.4（平方米） 答：需要粉刷112.4平方米。 31．从一个棱长为6厘米的大正方体中挖去一个棱长为2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？ 【答案】216平方厘米、224平方厘米、232平方厘米 【分析】从一个棱长为6厘米的大正方体中挖去一个棱长为2厘米的小正方体，若从顶点处挖去一个小正方体，减少3个面同时又会露出3个面，表面积不变；若从边上（非顶点）挖去一个小正方体，减少2个面但露出4个面，表面积增加2个面，即增加2×2×2＝8平方厘米；若从面中间挖去一个小正方体，减少1个面但露出5个面，表面积增加4个面，即增加2×2×5＝20平方厘米。已知每个小正方体的棱长是6厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出原来正方体的表面积，再分别加上增加面的面积计算出不同情况剩下部分的表面积。 【详解】①从顶点处挖去一个小正方体： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） ②从边上（非顶点）挖去一个小正方体： 6×6×6＋2×2×2 ＝36×6＋4×2 ＝216＋8 ＝224（平方厘米） ③从面中间挖去一个小正方体： 6×6×6＋2×2×4 ＝36×6＋4×4 ＝216＋16 ＝232（平方厘米） 答：剩余部分的面积有三种情况，分别是216平方厘米、224平方厘米和232平方厘米。 32．学校礼堂门口有8级台阶，每级台阶长6米，宽0.4米，高0.3米。给这些台阶铺地砖（台阶的上面和前面都铺），至少需要铺多少平方米的地砖？8级台阶占地多少平方米？ 【答案】33.6平方米；19.2平方米 【分析】每级台阶铺地砖的面积就是上面面积与前面面积之和，每级台阶上面的面积为长乘宽，每级台阶前面的面积为长乘高，代入数据计算，即可求出每级台阶铺瓷砖的面积，总共有8级台阶，再用每级台阶铺瓷砖的面积乘8，即可求出至少需要铺多少平方米的地砖。每级台阶占地面积为上面的面积，即长乘宽，代入数据计算，求出上面的面积，再用上面的面积乘8，即可求出8级台阶占地面积，据此解答。 【详解】（6×0.4＋6×0.3）×8 ＝（2.4＋1.8）×8 ＝4.2×8 ＝33.6（平方米） 6×0.4×8＝19.2（平方米） 答：至少需要铺33.6平方米的地砖；8级台阶占地19.2平方米。 33．一个长方体纸箱，它的长是4.3分米，宽和高都是2.8分米。做5个这样的纸箱至少需要用多少平方分米的硬纸板？ 【答案】319.2平方分米 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，据此代入数据求出一个长方体纸箱的表面积，再乘5就是做5个这样的纸箱至少需要用多少平方分米的硬纸板。 【详解】（4.3×2.8＋2.8×2.8＋4.3×2.8）×2 ＝（12.04＋7.84＋12.04）×2 ＝（19.88＋12.04）×2 ＝31.92×2 ＝63.84（平方分米） 63.84×5＝319.2（平方分米） 答：做5个这样的纸箱至少需要用319.2平方分米的硬纸板。 34．拔高题：在长方形铁皮的四个角分别剪去个边长为4厘米的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒（如图）。制作出的这个铁盒的长、宽、高分别是多少厘米？实际用了多少平方厘米的铁皮？ 【答案】长32厘米，宽22厘米，高4厘米。实际用铁皮1136平方厘米。 【分析】根据题意可得：折成的无盖铁盒长为40厘米减去两个4厘米，宽为30厘米减去两个4厘米，高为4厘米；实际使用铁皮的面积：长×宽−正方形边长×边长×4，据此得出答案。 【详解】铁盒的长为： 40－4×2 ＝40－8 ＝32（厘米） 宽为： 30－4×2 ＝30－8 ＝22（厘米），高为4厘米。 实际用了铁皮面积为： 40×30－4×4×4 ＝1200－64 ＝1136（平方厘米） 答：制作出铁盒的长32厘米，宽22厘米，高4厘米。实际用铁皮1136平方厘米。 35．做这样一个纸袋，至少需要多少平方厘米的纸？ 【答案】2700平方厘米 【分析】纸袋可以看作是一个没有上面的长方体，由图可知，该长方体长25厘米、宽10厘米、高35厘米，根据“无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可计算出制作该纸袋所需要纸的面积。 【详解】25×10＋25×35×2＋10×35×2 ＝250＋875×2＋350×2 ＝250＋1750＋700 ＝2000＋700 ＝2700（平方厘米） 答：至少需要2700平方厘米的纸。 题型4 长方体和正方体的拼切 36．一个长方体按三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．136 C．362 D．432 【答案】B 【分析】当一个长方体分割成两个长方体时，会增加两个相同的面的面积，所以按照三种分割方法分别增加的表面积之和就是原来这个长方体的表面积。 【详解】48＋64＋24 ＝112＋24 ＝136（平方厘米） 所以原来这个长方体的表面积是136平方厘米。 故答案为：B 37．一根长方体木料，长是1.6米，宽和高都是2分米，把它锯成4段，表面积至少增加（    ）平方分米。 A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】由题意可知，把木料锯成4段要锯3次，每次会增加2个正方形，锯3次就增加（个）正方形，这个正方形的边长是2分米，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算。 【详解】 （平方分米） 一根长方体木料，长是1.6米，宽和高都是2分米，把它锯成4段，表面积至少增加24平方分米。 故答案为：B 38．把两个棱长均是5厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少了（    ）平方厘米。 A．10 B．25 C．50 D．60 【答案】C 【分析】两个正方体拼成一个长方体，减少两个接触面的面积，根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘2，即可解答。 【详解】5×5×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 把两个棱长均是5厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少了50平方厘米。 故答案为：C 39．一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了( )平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 96 288 【分析】根据题意可知，高增加3厘米，表面积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的侧面积；根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出增加部分的面积。 原来长方体的长是8厘米、宽是8厘米，高（8－3）厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入计算出表面积即可。 【详解】（8×3＋8×3）×2 ＝（24＋24）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 8－3＝5（厘米） （8×8＋8×5＋8×5）×2 ＝（64＋40＋40）×2 ＝（104＋40）×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 那么一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了96平方厘米，原来长方体的表面积是288平方厘米。 40．在一个长、宽、高分别是8厘米、5厘米和4厘米的长方体的8个顶点处，分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体后，剩下部分的表面积是( )平方厘米。 【答案】184 【分析】根据题意，从长方体的8个顶点处分别挖去一个棱长为1厘米的1个小正方体，每个顶点处都减少3个“1×1”的面，同时又露出3个相同的面，所以剩下部分的表面积与原来长方体的表面积相等。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【详解】（8×5＋8×4＋5×4）×2 ＝（40＋32＋20）×2 ＝92×2 ＝184（平方厘米） 剩下部分的表面积是184平方厘米。 41．把一个长8分米、宽5分米、高4分米的长方体木块锯成两个小长方体木块，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 【答案】 80 40 【分析】把一个长方体木块锯成两个小长方体木块，会增加两个相同的长方形的面积；因为在这个长方体中（长×宽）这个面的面积＞（长×高）这个面的面积＞（宽×高）这个面的面积，所以平行于“长×宽”的面锯成两个小长方体时，增加的表面积最多，增加2个“长×宽”的面积；平行于“宽×高”的面锯成两个小长方体时，增加的表面积最少，增加2个“宽×高”的面积，据此解答。 【详解】表面积增加最多：8×5×2＝80（平方分米） 表面积增加最少：5×4×2＝40（平方分米） 因此表面积最多增加80平方分米，最少增加40平方分米。 42．用两个完全一样的长方体木块（如下图）拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是( )平方厘米，最大是( )平方厘米。 【答案】 192 222 【分析】先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个长方体木块的表面积，再乘2，即是两个完全一样的长方体木块的表面积之和； 因为6×5＞6×3＞5×3，让长方体中面积最小的面重合，会使拼成的长方体表面积最大，用两个木块的表面积之和减去2个“5×3”的面积，即是拼成的长方体最大的表面积；让长方体中面积最大的面重合，会使拼成的长方体表面积最小，用两个木块的表面积之和减去2个“6×5”的面积，即是拼成的长方体最小的表面积。 【详解】原来2个长方体的表面积之和： （6×3＋6×5＋3×5）×2×2 ＝（18＋30＋15）×2×2 ＝63×2×2 ＝252（平方厘米） 拼成的长方体表面积最小： 252－6×5×2 ＝252－60 ＝192（平方厘米） 拼成的长方体表面积最大： 252－5×3×2 ＝252－30 ＝222（平方厘米） 这个长方体的表面积最小是192平方厘米，最大是222平方厘米。 43．青青做了一个长方体模型，这个长方体恰好能分割成三个完全一样的正方体（如图）。分割后表面积增加了64平方厘米，原来这个长方体模型的表面积是多少平方厘米？ 【答案】224平方厘米 【分析】由图可知，长方体分割成3个完全一样的正方体，需要切2次，每切1次增加2个正方形的面，所以一共增加了个正方形的面。已知表面积增加了64平方厘米，这64平方厘米就是这4个正方形面的面积和，由此用可以先求出1个正方形面的面积，再计算原长方体的表面积。原长方体被分割成3个完全一样的正方体，一个正方体有6个面，当3个正方体拼成长方体时，会有4个面重合，因此长方体的表面积等于个正方形的面积的和。据此解答。 【详解】根据分析： （平方厘米） （个） （平方厘米） 答：原来这个长方体模型的表面积是224平方厘米。 44．将一个长方体的高减少3厘米后，就得到一个正方体（如图），这时表面积比原来减少了144平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 1008平方厘米 【分析】根据题意可得：这个长方体的长和宽相等，且高减少3厘米后，减少的表面积是长为长方体的长，宽为3厘米的4个长方形面积之和，已知减少的表面积可求出长方体的长和宽；用长加上3厘米即可得到高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算得出答案。 【详解】根据题意可得，长方体的长、宽为：144÷4÷3＝12（厘米） 则长方体的高为：12＋3＝15（厘米） 表面积为： （12×12＋12×15＋12×15）×2 ＝（144＋180＋180）×2 ＝504×2 ＝1008（平方厘米） 45．用三个相同的小长方体拼成一个大长方体（如下图），有几种拼法？它们的表面积分别是多少？先试着把拼法画在下面，再计算。 【答案】三种；42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米 【分析】第一种拼法如题中的图。第二种拼法，将小长方体沿着2厘米的棱依次相接。第三种拼法，将小长方体沿着3厘米的棱依次相接。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据分别代入公式，求出它们的表面积即可。 【详解】拼法一： （1×3×2＋1×3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 拼法二： （2×3×1＋2×3×3＋1×3）×2 ＝（6＋18＋3）×2 ＝27×2 ＝54（平方厘米） 拼法三： （3×3×1＋3×3×2＋1×2）×2 ＝（9＋18＋2）×2 ＝29×2 ＝58（平方厘米） 答：有三种拼法，它们的表面积分别是42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米。 第26页，共26页 第1页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03：长方体和正方体 （4种类型45道题） 目录概览 题型1 长方体和正方体有关棱长的应用 题型2长方体和正方体的展开图 题型3长方体和正方体的表面积 题型4 长方体和正方体的拼切 题型演练 题型1 长方体和正方体有关棱长的应用 1．如图，一件礼品装在一个长方体盒子里，哪种包装方法最节省包装带？（    ） A． B． C． D．一样长 2．用一根长是（    ）的铁丝正好可以做一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体框架。 A．28厘米 B．56厘米 C．90厘米 D．128厘米 3．有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 D．16 4．一个正方体的棱长扩大为原来的4倍，则表面积扩大为原来的（    ）倍。 A．4 B．16 C．32 D．64 5．用一根长48厘米的铁丝正好围成一个正方体框架，则这个正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．12 B．8 C．6 D．4 6．一个正方体的棱长是3厘米，它的棱长总和是 ( )厘米，表面积是 ( )平方厘米。 7．一根铁丝可以做一个棱长是4厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体框架的高是( )厘米。 8．把一根铁丝折成长是9厘米、宽是7厘米、高是4厘米的一个长方体框架正好没有剩余。这根铁丝的长是( )厘米。 9．一根长64厘米的铁丝正好可以焊接成一个宽2厘米、高7厘米的长方体框架，这个框架的长是( )厘米（损耗忽略不计）。若在这个长方体框架的外面糊一层彩纸，则至少要准备( )平方厘米的彩纸。 10．为了迎接元旦，康复医院要在医院娱乐休闲中心房子的四周装上彩灯（底面的四周不装）。娱乐休闲中心房子的长是80米，宽是40米，高是4.5米，布置人员至少要准备( )米的彩灯。 11．两根同样长的铁丝，一根正好围成一个长8厘米、宽3厘米、高1厘米的长方体框架，另一根正好围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 12．商店营业员用一根塑料绳为顾客捆扎两个食品盒，每个食品盒的长、宽、高分别是15厘米、11厘米、4厘米，如图那样捆扎一道并留下16厘米长做手提环，这样一共需要多少厘米长的塑料绳？ 题型2长方体和正方体的展开图 13．下列图形中，（    ）沿虚线折叠后能围成长方体。 A．B．C．D． 14．如图，一个无盖的正方体纸盒，底面标有字母“M”，下面图（    ）可能是这个正方体的展开图。 A．B． C． D． 15．如图是一个正方体表面展开图，与3号面相对的面是(    )号面。 A．5 B．6 C．4 D.3 16．下列正方体纸盒，（    ）的表面展开图是。 A． B． C． D． 17．把如图所示的图形折成一个正方体后，与“桥”字相对的面上的字是（    ）。    A．小 B．水 C．人 D．家 18．下面是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的数值相等，那么x＝( )，y＝( )。 19．一个正方体（如图所示），每个面上分别写着A、B、C、D、E、F。根据这个正方体的不同摆法，可以判断出A的对面是( )，B的对面是( )。 20．用做一个，“3”的对面是“( )”。 21．把下面这个展开图折成长方体。 （1）如果B面在下面，那么哪一面在上面？ （2）如果C面在前面，从右面看是F面，那么哪一面在下面？ 题型3长方体和正方体的表面积 22．一个长方体的上面和右面如图所示这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．120 B．156 C．132 D．148 23．一个长方体的长是6dm，宽和高都是3dm，这个长方体的表面积是多少平方分米？下面列式中，错误的是（    ）。 A．（6×3＋6×3＋3×3）×2 B．6×3×4＋3×3×2 C．6×3×2×2＋3×3×2 D．6×3×2＋3×3×4 24．学了表面积后，乐乐说：“两个长方体的表面积相等，它们的形状一定相同。”园园说：“棱长和相等的两个正方体，表面积也一定相等。”（    ）的说法正确。 A．乐乐 B．园园 C．两人 D．没有人 25．一块长方体木料长6分米，宽和高都是4分米，表面积是( )平方分米，这个长方体有( )个面是正方形。 26．把一个长16厘米、宽8厘米、高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积之和可能是( )平方厘米，也可能是( )平方厘米。 27．一个正方体魔方，测量出它的一条棱长是10厘米，它的一个面的面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 28．一种正方体的工艺蜡烛盒（无盖），四周和底面都是玻璃，棱长6厘米。做这个蜡烛盒至少要用( )平方厘米玻璃。 29．计算下面图形的表面积。（单位：厘米） （1） （2） 30．一间教室的长是8米，宽是6米，高是2.8米，门窗约占10平方米，前后黑板约占4平方米。如果要粉刷教室的四壁和屋顶，那么需要粉刷多少平方米？ 31．从一个棱长为6厘米的大正方体中挖去一个棱长为2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？ 32．学校礼堂门口有8级台阶，每级台阶长6米，宽0.4米，高0.3米。给这些台阶铺地砖（台阶的上面和前面都铺），至少需要铺多少平方米的地砖？8级台阶占地多少平方米？ 33．一个长方体纸箱，它的长是4.3分米，宽和高都是2.8分米。做5个这样的纸箱至少需要用多少平方分米的硬纸板？ 34．拔高题：在长方形铁皮的四个角分别剪去个边长为4厘米的正方形后，正好可以折成一个无盖的铁盒（如图）。制作出的这个铁盒的长、宽、高分别是多少厘米？实际用了多少平方厘米的铁皮？ 35．做这样一个纸袋，至少需要多少平方厘米的纸？ 题型4 长方体和正方体的拼切 36．一个长方体按三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来这个长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．136 C．362 D．432 37．一根长方体木料，长是1.6米，宽和高都是2分米，把它锯成4段，表面积至少增加（    ）平方分米。 A．16 B．24 C．32 D．48 38．把两个棱长均是5厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少了（    ）平方厘米。 A．10 B．25 C．50 D．60 39．一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了( )平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 40．在一个长、宽、高分别是8厘米、5厘米和4厘米的长方体的8个顶点处，分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体后，剩下部分的表面积是( )平方厘米。 41．把一个长8分米、宽5分米、高4分米的长方体木块锯成两个小长方体木块，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 42．用两个完全一样的长方体木块（如下图）拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是( )平方厘米，最大是( )平方厘米。 43．青青做了一个长方体模型，这个长方体恰好能分割成三个完全一样的正方体（如图）。分割后表面积增加了64平方厘米，原来这个长方体模型的表面积是多少平方厘米？ 44．将一个长方体的高减少3厘米后，就得到一个正方体（如图），这时表面积比原来减少了144平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 45．用三个相同的小长方体拼成一个大长方体（如下图），有几种拼法？它们的表面积分别是多少？先试着把拼法画在下面，再计算。 第8页，共8页 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $