精品解析：陕西省商洛市2026届高三第一次模拟考试数学试题

商洛市2026年高三年级第一次模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，再根据交集运算求解. 【详解】因为，若，则， 若 ，则，若，则 ， 所以，又， . 故选：B. 2. 若复数 满足，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，. 所以 的虚部是． 3. 已知椭圆，则“”是“的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若的离心率为，当的焦点在轴上，则，解得， 可得，解得； 当的焦点在轴上，则，解得， 可得，解得． 综上所述，的取值为6或1 所以“”是“的离心率为”的充分不必要条件． 4. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，再两边同时取对数计算即可. 【详解】设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为月，则，即， 两边取常用对数得，所以. 故选：B. 5. 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可． 【详解】因为在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以仅有最大，则， 的通项公式， 其中，当时， 是有理项，所以， 即的展开式中有理项的项数是5． 故选：A． 6. 记抛物线的焦点为，为上一点且满足，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦半径公式得，构造函数，利用导数法判断单调性，然后利用单调性求得 ，进而求得，最后利用两点斜率公式求解即可. 【详解】显然，由抛物线定义知， 设函数，，由， 知在上单调递增，而，故 ， 于是，而 ， ，故 ，， 于是的斜率. 故选：C 7. 已知函数的最小正周期为，若对任意的 恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意得，求得，再结合三角函数的单调性得， ，最后结合求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 又在区间上单调递增，所以， 故， ，解得， ． 令得，又，所以； 令得； 当 时，，不合题意． 综上，的取值范围为． 8. 在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得 共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为 的外心，因此球心在上， 设 ，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】不妨设，则， 因为与，的中位数都是，所以 ，A正确； 当时， ，所以B错误； 由条件知， 因为，所以， 所以余下6个数据的方差， 所以，C正确； ，D错误． 10. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 的极大值为 C. 存在， D. 有最小值，无最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；令，可得出，利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ， 所以曲线关于直线对称，A对； 对于B选项，因为， 则， 由可得或， 由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为、， 所以函数的极大值为 ，B对； 对于C选项，当时，， 因为在上是减函数，所以，C错； 对于D选项，令，则， 设，其中 ，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上只有最小值，无最大值， 故函数有最小值，无最大值，D对. 故选：ABD. 11. 已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，集合与轴的交点自上而下分别为，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（ ） A. B. C. 集合中的点到原点距离的最大值为3 D. 白色“水滴”图形的面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，可求各点的坐标。可判断AB的真假；设，借助辅助角公式，可求的最大值，判断C的真假；分析“水滴”图形的结构特征，利用面积公式求其面积，可判断D的真假. 【详解】对于A，方程中，令，得， 所以，其中，所以，所以， 解得，所以， 所以， ，故A错误，B正确； 对于C，由，可设，， 则集合中的点到原点的距离为， 当 时，，取得最大值为3，故C正确； 对于D，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成， 它的面积是，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角公式的坐标表示即可求解 【详解】设与的夹角为 ， 由夹角公式得，解得. 故答案为： 13. 已知，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式求得，结合及同角三角函数的平方关系求得 ，再根据两角和的正弦公式即可求解． 【详解】由得，解得或， 又，所以，则， 所以． 14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前项和．已知数列满足，则___________；记数列的前项和为，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，结合等比数列的定义，可得表达式，即可得的值，根据题意，整理变形，可得裂项之后的表达式，进而可得表达式，代入数据，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，则； 设， 则，解得， 所以，所以 ， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求 ； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得 的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【小问1详解】 由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. 【小问2详解】 由和，得， 因为，当且仅当 时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2） 的分布列为 0 1 2 1 【解析】 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 【小问2详解】 根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，， 为的中点， ． （1）求证：平面； （2）求直线与平面 所成的角的正弦值； （3）求平面与平面 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）因为为的中点，， 所以 ， 因为 ， 所以四边形是正方形， 所以， 因为平面 平面， 所以 ， 因为 平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量夹角公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面中，过点 作的垂线为轴，以 为坐标原点，向量方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系． 则 ， 设平面 的法向量为 ， ， 有，取，得 ， 设直线与平面 所成的角为 ，则. 【小问3详解】 在（2）的空间直角坐标系中， ， 设平面的法向量为 ， 则取，得 ， 故平面与平面 所成二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点 ，设，试判断 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （3）直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）是定值， （3） 【解析】 【分析】（1）先设点，根据题设条件推得，结合离心率代入求出即可； （2）设，利用向量共线的坐标运算即可求解； （3）设，由联立方程组可得，再结合平面向量共线，分类讨论的取值即可. 【小问1详解】 的渐近线方程为，设双曲线上一点， 则， 又在上，所以， 即，代入可得， 又，代入可得，所以的方程为 . 【小问2详解】 由（1）易得，设， 由，可得， 即得，(*)， 又，所以， 即， ，即， 又，所以. 因为，所以，， 又，所以， 即， 所以，所以， 又，所以， 所以， 解得，即 为定值. 【小问3详解】 设， 由消元得， 由，解得， 则有. 因为，所以 因为点在上，所以， 即， 因， 故得，即， 即， 代入韦达定理，可得 整理得. 当 时，等式左边，右边，因为左边 右边，不合题意； 当 时，因，则，解得，产生矛盾，舍去； 当时，，解得或，故或. 综上，的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，求证： ； （2）若，求证：在上恰有两个零点； （3）若不等式 对任意的恒成立，求的值． 【答案】（1）证明：若 ，则 ， 当且仅当 时等号成立， 令 ，所以 ，所以当 时， ， 当时， ，所以 在上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 又等号不能同时取到，所以 . （2）证明：若 ，所以 ， 当时， ，所以 . 当 时，记 ， ， 故 在 上单调递增， 又 ， 所以 ，使得 ， 所以当时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， 又 ，所以 在 上恰有1个零点； 因为 ，所以 在 上恰有1个零点． 综上， 在 上恰有两个零点. （3）2 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的有界性，将问题转化为 ，构造函数 ，由导数求解函数的单调性即可求解， （2）求导得函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求解， （3）根据 ，可得 在时取得最小值．进而将问题转化为为函数 在 上的一个极小值点，得 ，进而利用导数证明：当 时，为函数 在 上的一个极小值点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若不等式 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立， 令 又 ，所以当时， 取得最小值． 因为 ，则为函数 在 上的一个极小值点， 所以 ，即 ，解得 下面证明：当 时，为函数 在 上的一个极小值点． 因为 ，令 ，所以 ， 令 ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，，所以 ， 所以在 上单调递减，在 上单调递增， 即 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以即 在 上单调递增， 又 ，所以当 时， 恒成立，此时 单调递减， 当 时， 恒成立，此时 单调递增， 所以为函数 在 上的一个极小值点. 综上，的值是2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商洛市2026年高三年级第一次模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆，则“”是“的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 5. 在的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则的展开式中有理项的项数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 记抛物线的焦点为，为上一点且满足，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，若对任意的 恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 的极大值为 C. 存在， D. 有最小值，无最大值 11. 已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，集合与轴的交点自上而下分别为，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（ ） A. B. C. 集合中的点到原点距离的最大值为3 D. 白色“水滴”图形的面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________. 13. 已知，且，则___________． 14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解，例如，故的前项和．已知数列满足，则___________；记数列的前项和为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求 ； （2）若，求的面积的最大值． 16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，， 为的中点， ． （1）求证：平面； （2）求直线与平面 所成的角的正弦值； （3）求平面与平面 所成二面角的正弦值． 18. 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． （1）求的方程； （2）记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断 是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （3）直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求证： ； （2）若，求证：在上恰有两个零点； （3）若不等式 对任意的恒成立，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $