精品解析：江苏省南通市海门区东洲国际学校2026年初中毕业、升学模拟考试数学 试题卷

南通市海门区东洲国际学校2026年初中毕业、升学模拟考试 数学·试题卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 2026的相反数的倒数是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如表，则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（　　） 投中次数 6 7 8 9 10 人数 3 3 2 1 1 A. 5.7，7 B. 6.4，7.5 C. 7.4，7 D. 7.4，7.5 4. 如图，切⊙于点，交⊙于点，且点为的中点，弦∥.若=2,则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，把多块大小不同的30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3．按此规律继续下去，则线段OB2020的长为（　　） A. 2×（）2020 B. 2×（）2021 C. （）2020 D. （）2021 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ） A. B. 2 C. D. 4 8. 如图（1），长方形中，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的函数图象如图（2），则下列结论正确的有（ ） ①；②；③当t=3时，为等腰三角形；④当时， A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 9. 直线分别与x轴、y轴相交于点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 若a2﹣3a+2=0，则1+6a﹣2a2=__． 12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 13. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏_____（填“公平”或“不公平”）． 14. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__． 16. 如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝____． 17. 如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则__． 18. 如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是_____． 三、解答题（每题3分，共8题，共24分） 19. 计算 （1）； （2）解方程：． （3）化简： 20. 现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________； （2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21. 如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线交的延长线于点E，平分． （1）求证：； （2）已知，，求的半径． 22. 天气渐暖，越来越多的人在工作之余选择到野外游玩．“五一”期间，小明一家去金石滩附近露营．如图，小明同学为测量一棵大树的高度，他先在水平地面的点E处用高的测角仪测得，然后沿EB方向向前走到达点G处，在点G处用高的测角仪测得．求大树的高度．（结果精确到．参考数据： ， ） 23. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L） （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程. 24. 如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． （1）如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． （2）如图，若为的中点，，求的值． 25. 如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点A，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点． （1）求的值； （2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点，、，．若，求、的值． 26. 如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t=　　s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G． 探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由． 27. 问题提出 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市海门区东洲国际学校2026年初中毕业、升学模拟考试 数学·试题卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共5页，满分共150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（每题3分，共10题，共30分） 1. 2026的相反数的倒数是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按相反数与倒数的定义先求2026的相反数，再求该相反数的倒数即可得到结果. 【详解】∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 2026的相反数是. ∵ 乘积为1的两个数互为倒数， ∴的倒数是. ∴ 2026的相反数的倒数是， 故选：D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．∵合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变， ∴，A错误； B．∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，B错误； C．∵根据完全平方公式展开， ∴，C错误； D．∵积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，D正确． 3. 在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如表，则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（　　） 投中次数 6 7 8 9 10 人数 3 3 2 1 1 A. 5.7，7 B. 6.4，7.5 C. 7.4，7 D. 7.4，7.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和平均数，根据中位数和平均数的公式计算即可得出答案． 【详解】解：这10人投中次数的平均数为， 将人投中次数按从小到大排列，处在中间的两个数为，，故中位数为， 故选：C． 4. 如图，切⊙于点，交⊙于点，且点为的中点，弦∥.若=2,则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据B为OP的中点，OP=2可知圆的半径为1，连接OA，OC，根据切线的性质可得：∠P=30°，则∠AOP=60°，根据平行线的性质可得△AOC为等边三角形，则阴影部分的面积等于扇形AOC的面积减去△AOC的面积. 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案 【详解】解：过A作， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图所示，把多块大小不同的30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3．按此规律继续下去，则线段OB2020的长为（　　） A. 2×（）2020 B. 2×（）2021 C. （）2020 D. （）2021 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律：OB＝2×，OB1＝2×（）2，OB2＝2×（）3，……，从而可以推算出OB2020的长． 【详解】解：由题意可得， ∵OB＝OA•tan60°＝2×＝2， ∴B（0，2）， ∵OB1＝OB•tan60°＝2×＝2×（）2， ∴B1（﹣2×（）2，0）， ∵OB2＝OB1•tan60°＝2×（）3， ∴B2（0，﹣2×（）3）， ∵OB3＝OB2•tan60°＝2×（）4， ∴B3（2×（）4，0）， …… ∴线段OB2020的长为2×（）2021． 故选：B． 【点睛】本题考查探索图形变化规律、利用特殊角的三角函数解直角三角形，能读懂题意，结合图形找到变化规律是解答的关键． 7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（   ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积. 【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， 又∵O是菱形对角线AC、BD的交点， ∴AC⊥BD， 在Rt△AOD中， ∴AO=， ∴AC=2AO=4， ∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4， 又∵O、E分别是中点， ∴OE∥AD， ∴△COE∽△CAD， ∴， ∴， ∴S△COE=S△CAD=×4=， 故选A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键. 8. 如图（1），长方形中，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的函数图象如图（2），则下列结论正确的有（ ） ①；②；③当t=3时，为等腰三角形；④当时， A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度． 先通过，计算出的长度，即可求得长度，根据长计算的值，的值等于整个运动路程除以速度，当时，找到点位置计算面积即可判断的值． 【详解】解：当点运动到点时，面积最大，结合函数图象可知当时，面积最大为， ． ， ． 则， 当点从点到点时，所用时间为：， ，故①正确； 点运动完整个过程需要时间为：，即，故②错误； 当时，， 又四边形是长方形， ∴， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，故③正确； 当时，点运动的路程为：，此时， 面积为：，故④错误． 正确的结论有①③． 故选：A． 9. 直线分别与x轴、y轴相交于点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：在△MOC和△NOA中， ， ∴△MOC≌△NOA， ∴∠CMO=∠ANO， ∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP， ∴∠NCP+∠CNP=90°， ∴∠MPN=90° ∴MP⊥NP， 在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP， ∴P在以MN为直径的圆上， ∵M（-4，0），N（0，4）， ∴圆心G为（-2，2），半径为2， ∵PG-GC≤PC， ∴当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，PC最小， ∵GN=GM，CN=CO=2， ∴GC=OM=2， 这个最小值为GP-GC=2-2． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以MN为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 10. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可． 【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H ∵四边形是平行四边形 ∴易得CH=AF ∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点 ∴ 即反比例函数解析式为 ∴设点C坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，点B坐标为 ∵平行四边形的面积是 ∴ 解得（舍去） ∴点B坐标为 故应选：B 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解． 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 11. 若a2﹣3a+2=0，则1+6a﹣2a2=__． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得：-3a=-2，则原式=1-2(-3a)=1-2×(-2)=5. 12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得出且，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：2． 13. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏_____（填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【解析】 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：所有可能出现的结果如下表所示： 正 反 正 （正，正） （正，反） 反 （反，正） （ 反，反） 因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反， 所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为＝， 因为二者概率不等，所以游戏不公平． 故答案为：不公平． 【点睛】本题考查用列表法或树状图表示概率，从而判断游戏是否公平，掌握列表法或树状图是解题关键. 14. 如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【详解】解：连接BE，如图： 由题意可知，MN垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴，则∠AEB=90°， 在等腰直角三角形ABE中，AB=4， ∴BE=AE=， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC=∠AEB=90°， 在Rt△BCE中，由勾股定理，则 ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】由题意可知：△＝4m2−2（1−4m）＝4m2＋8m−2＝0， ∴m2＋2m＝， ∴（m−2）2−2m（m−1）＝−m2−2m＋4＝−＋=， 故答案为. 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型． 16. 如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝____． 【答案】 【解析】 【详解】 过点D作， 则， 由相似三角形性质得， ， 而， 则， 由于， 所以 故答案为：12． 17. 如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解． 【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G， 由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB， ∴OH⊥AB，AH=BH， ∵， ∴DE∥AB， ∵， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB=DE=6， ∴AH=3， ∴OH=， ∵OB∙AG=AB∙OH， ∴AG===， ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 18. 如图，中，，，，以为直径作圆，圆心为，过圆上一点作直线的垂线，垂足为，则的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆的有关计算，勾股定理和等腰直角三角形的性质，利用特殊角度度角的正切值为切入点，构造出一个特殊的度角将所需求的两个线段的最大值转化为一条线段，此时点与点重合，进而求出所需要的最大值，解题的关键熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】如图，作，过点作于点，延长交于点，过点作垂足为点，过点作于点，延长交于点， 当点与点重合，点在点处时，取得最大值， 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或 （舍去）， ∴， ∵， ∴， 在上取不同于点的一点，过点作于点，过点作 所在的直线于点，并延长交于点， ∵，， ∴， 则或， ∵，， ∴，， ∴，， 由图可知：， ∴， ∴当点在点处时，取得最大值，最大值为的长， ∵， ∴取得最大值， 故答案为：． 三、解答题（每题3分，共8题，共24分） 19. 计算 （1）； （2）解方程：． （3）化简： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行求解即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； 【小问3详解】 解： ； 20. 现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀． （1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是________； （2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，可得抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率为； 故答案为： （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率= 【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率，解答中注意利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 21. 如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线交的延长线于点E，平分． （1）求证：； （2）已知，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，由同圆的半径相等得：，则，根据角平分线可知：，所以，根据切线的性质得，结合平行线的性质即可得证； （2）过点O作，垂足为点F，证明四边形是矩形，得，由垂径定理得：，根据勾股定理求半径的长即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴ 又， ∴； 【小问2详解】 解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即的半径为． 22. 天气渐暖，越来越多的人在工作之余选择到野外游玩．“五一”期间，小明一家去金石滩附近露营．如图，小明同学为测量一棵大树的高度，他先在水平地面的点E处用高的测角仪测得，然后沿EB方向向前走到达点G处，在点G处用高的测角仪测得．求大树的高度．（结果精确到．参考数据： ， ） 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再根据，得出，同时可得，然后根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：根据题意，可得四边形是矩形， ∴． 在中，， 即， ∴． 在中，， 即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以大树的高度是． 23. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L） （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程. 【答案】 （1）y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）；（2）该辆汽车最多行驶的路程为300. 【解析】 【详解】【分析】（1）根据题意可得y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）； （2）根据题意可得不等式：40-x≥40× ，解之即可得出答案. 【详解】（1）由题意得：y=40-x，即y=40-x（0≤x≤400）， 答：y与x之间的函数表达式为：y=40-x（0≤x≤400）； （2）解：依题可得：40- x≥40×，∴-x≥-30， ∴x≤300. 答：该辆汽车最多行驶的路程为300km. 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键. 24. 如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，． （1）如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若点为的中点，求的长． （2）如图，若为的中点，，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，证明四边形为平行四边形，可得，然后求出，证明∽，利用相似三角形的性质解答即可； ②设，则，利用轴对称的性质求出，再在中利用勾股定理解答即可； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，利用勾股定理求出，可得，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明即可． 【小问1详解】 解：①过点作，交于点，交于点，如图， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，， 垂直平分， ， ． ， ． ， ∽， ， ； ②设，则． 点，关于对称， 垂直平分， ． 点为的中点， ， ， ． 在中， ， ， 解得：． 的长为； 【小问2详解】 过点作于点，如图， 为的中点， ． ， ． 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，． ． ． ． ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 25. 如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点A，平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（点位于点左侧），与抛物线对称轴交于点． （1）求的值； （2）设、是轴上的点（点位于点左侧），四边形为平行四边形．过点、分别作轴的垂线，与抛物线交于点，、，．若，求、的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）根据直线与抛物线对称轴交于点可得对称轴为直线，由此即可求得b 的值； （2）先求得点B、C的坐标，可得，再根据四边形为平行四边形可得，即，最后根据，，可得或，由此分别与联立方程组求解即可． 【详解】解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线， 即， ∴． （2）由（1）得：抛物线的解析式为， 把代入抛物线的解析式， 得， 解得或3， ∴、两点的坐标为，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， 即 ∴， ∴或， 由，解得 由解得 ∴、的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解决本题的关键． 26. 如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t=　　s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G． 探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在t=4，使AE=EF 【解析】 【详解】试题分析：(1)、首先将BP和BQ用含t的代数式来进行表示，然后根据等腰三角形的性质列出方程求出t的值；(2)、过P作PM∥AD，根据△BPM和△BAD相似得出PM的长度，然后对角线互相平分且相等的四边形为矩形得出PM=BQ，从而求出t的值；(3)、作GH⊥BQ，根据题意得出△AEP≌△FEG，根据全等得出HQ=23t-60，GQ=17t，然后根据勾股定理求出t的值. 试题解析：（1）当BP=BQ时，60﹣3t=20t， ∴t=， （2）如图，过P作PM∥AD， ∴， ∴， ∴PM=90﹣t， ∵PN=NQ，PM=BQ， ∴90﹣t=20t， ∴t=， （3）如图，作GH⊥BQ， ∴PB=PF=60﹣3t， ∵AE=EF，∠AEP=∠FEG，∠A=∠F， ∴△AEP≌△FEG，∴PE=EG，FG=AP， ∴AG=PF=60﹣3t=BH， ∴HQ=BQ﹣BH=20t﹣（60﹣3t）=23t﹣60， GQ=FQ﹣FG=BQ﹣AP=17t，根据勾股定理得：602=（17t）2﹣（23t﹣60）2 ∴t1=4，t2=7.5（舍）， ∴t=4 ∴存在t=4，使AE=EF． 点睛：本题主要考查的就是动点问题、等腰三角形的性质、矩形的性质以及直角三角形的性质，属于综合题，难度比较大.在解决动点问题时，我们首先需要将线段用含t的代数式来进行表示，然后根据等腰三角形的性质来进行分类讨论，分别求出答案.出现特殊平行四边形时，我们要根据题意判断出是哪一种特殊平行四边形，然后再根据四边形的性质来进行解答.同学们在解答这种问题的时候一定要特别注意分类思想的应用. 27. 问题提出 （1）如图①，已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则_______（填“＞”“＜”或“＝”）； 问题探究 （2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，，求面积的最大值； 问题解决 （3）如图③，在中，，，，根据设计要求，点D为内部一点，且，过点C作交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积． 【答案】（1）=；（2）108；（3）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质，据同底等高的两三角形面积相等作答； （2）AB长不变，只要AB边上的高最大，面积最大．由图知当C是优弧的中点时，AB边上的高最大，面积最大．求得优弧的中点到AB的距离就可求得最大面积； （3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，得∠F=，先证得四边形ADCE的面积=△ACF的面积；据∠F=60°得点F在以AC为边向外作的等边三角形的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值． 【详解】（1）如下图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N． ∵a∥b ∴∠MAB=∠AMN=90° ∴四边形AMNB是矩形， ∴AM=BN ∴ 又、 ∴； （2）取优弧的中点记为，过作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知过O且AD=BD，如下图②所示． 过C作AB的平行线a， ∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即的AB边上的高增大，得当a运动到最高点时，的AB边上的高最大， 又AB为常数， ∴当C运动到时的面积最大，下面计算的面积． 连接OB 在RT△OBD中： ∵AB=12、圆O的直径为20 ∴BD=6、BO=10、 由勾股定理得 ∴ ∴的面积为， ∴面积的最大值为108； （3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示 ∴∠F=∠ADB=60° ∵AD∥CE ∴四边形DECF是平行四边形 ∴DF=CE，FC=DE 又DC=CD ∴△DFC≌△CED ∴ 又由（1）的结论知 ∴ 所以只需求得最大值即得的最大值． 以AC为边向外作等边三角形，再作等边的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示． ∵∠F=60° ∴点F在的外接圆上， 由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，最大=． 在RT△ABC中： 由勾股定理得 ∴ ∴ ∴ ∴四边形ADCE的最大面积是． 【点睛】此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、正三角形及其外接圆、平行四边形等考点，熟悉相关知识并能综合应用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $