专题02 平行线的判定的七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题02 平行线的判定的七类题型 典例详解 类型一、复杂图形的三线八角识别 类型二、三大判定定理的直接使用 类型三、垂直与平行的关联判定 类型四、角平分线结合判定定理的综合判定 类型五、动态背景下的平行判定 类型六、平行公理推论（传递性）的综合判定 类型七、含参数角度的平行判定 压轴专练 类型一、复杂图形的三线八角识别 例1（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 变式1-2（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 变式1-3（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 变式1-4（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点G，交于点M． (1)图中有多少对对顶角？ (2)图中有多少对邻补角？ (3)图中有多少对同位角？ (4)图中有多少对同旁内角？ (5)写出图中的内错角． 变式1-5（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 类型二、三大判定定理的直接使用 例2（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 变式2-1（21-22七年级下·江苏宿迁·周测）如图，，，则图中有哪些直线互相平行，请说明理由． 变式2-2（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 变式2-3（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 类型三、垂直与平行的关联判定 核心结论 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 解题三步 ① 找公共垂线 ② 证两条直线都垂直于它 ③ 直接得平行 进阶用法 无直角：先倒角 / 代换证垂直 多线题：垂直→平行→再垂直→再平行 动态题：设参数，列垂直方程求角度 / 时间 例3（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，垂足分别为D，F，，试说明．请补充说明过程，并在括号内添上相应的理由． 解：，（已知） ∴（   ） （   ）（   ） 又 （   ） （   ）（   ） 变式3-1（17-18八年级下·北京·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB，下面是小楠、小曼两位同学的作法：    老师说：“小楠、小曼的作法都正确” 请回答：小楠的作图依据是______； 小曼的作图依据是______． 变式3-2（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 变式3-3（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点，．求证：平分．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵，（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）， （ ）（ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴平分． 类型四、角平分线结合判定定理的综合判定 例4（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 变式4-1（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 变式4-2（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 变式4-3（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线，被所截，，平分，平分．    (1)试问图中哪些直线互相平行？请说明理由． (2)若把条件“平分，平分”换成“”，则第一问的结论成立吗？请说明理由． 类型五、动态背景下的平行判定 例5（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a、b平行． 变式5-1（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动_____度． 变式5-2（21-22七年级下·江苏南京·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行． 变式5-3（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 类型六、平行公理推论（传递性）的综合判定 例6（21-22七年级下·青海西宁·单元测试）如图，已知：，．求证：． 变式6-1（24-25七年级下·黑龙江大庆·月考）请你完成下列推理过程（括号内写出理由）． 如图，，． 试说明：． 解：因为， 所以________________（________）． 因为， 所以________________（________）． 所以（________）． 变式6-2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为_____________时，． 变式6-3（16-17七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，试说明． 类型七、含参数角度的平行判定 例7（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式7-1（24-25七年级下·北京·期中）2025年2月22日，斯诺克世界公开赛在江西上饶隆重开幕．小颍在观看比赛的过程中对小球的运动轨迹产生了浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究．如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（，为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量，她进一步发现，，且，． (1)请你借助图2帮小颍判断小球经过两次反弹后的路径是否平行于原来的路径？请填写______（“是”或“不是”），并说明理由． (2)小颍制作了一个模型，固定挡板，将挡板绕点逆时针旋转至直线（如图3），若，当______时，． 变式7-2（21-22七年级下·江西南昌·月考）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    变式7-3（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为___________ ． 1.（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 2.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 3.（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对． 4.（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，分别平分和，垂足为．求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ___________． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （已知）， （垂直的定义）， ______（等式的性质）． 5.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明： 解：（已知）， _______（_______）． ． （已知）， _______=_______（_______） （_______） 6.（21-22七年级上·四川乐山·期末）填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 7.（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 8.（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，，，．问吗？为什么？ 9.（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 10.（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 11.（24-25七年级下·安徽合肥·期末） 如图， 直线交于点G， 分别平分 和 已知 (1)请说明： ； (2)若，求 的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线的判定的七类题型 典例详解 类型一、复杂图形的三线八角识别 类型二、三大判定定理的直接使用 类型三、垂直与平行的关联判定 类型四、角平分线结合判定定理的综合判定 类型五、动态背景下的平行判定 类型六、平行公理推论（传递性）的综合判定 类型七、含参数角度的平行判定 压轴专练 类型一、复杂图形的三线八角识别 例1（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 变式1-1（2023七年级·全国·竞赛）如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 变式1-2（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 变式1-3（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误； ②：同位角相等，两直线平行，能判定直线线，故②正确； ③：邻补角互补，不能判定直线线，故③错误； ④：内错角相等，两直线平行，能判定直线线，故④正确； ⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线线，故⑤正确． 综上，②④⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理． 变式1-4（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点G，交于点M． (1)图中有多少对对顶角？ (2)图中有多少对邻补角？ (3)图中有多少对同位角？ (4)图中有多少对同旁内角？ (5)写出图中的内错角． 【答案】(1)图中有4对对顶角 (2)图中有12对邻补角 (3)图中有8对同位角 (4)图中有4对同旁内角 (5)和和和和和 【分析】此题考查的是同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角的概念，掌握其概念是解决此题的关键． （1）根据对顶角的概念即可得到答案；（2）根据邻补角的概念即可得到答案；（3）根据同位角的概念即可得到答案；（4）根据同旁内角的概念即可得到答案；（5）根据内错角的概念可得答案． 【详解】（1）解：图中4对对顶角与，与，与，与； （2）解：图中12对邻补角与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与； （3）解：图中有8对同位角与，与，与，与，与，与，与，与； （4）解：图中有4对同旁内角与，与，与，与； （5）解：图中内错角有：和，和，和，和，和． 变式1-5（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型二、三大判定定理的直接使用 例2（25-26七年级下·全国·周测）如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义及两角互余的定义得到，即可判定； （2）结合（1）得到，再由得到，即可判定． 【详解】（1）．理由如下： ， ． 与互余， ， ， ． （2）解：由（1）知，． ， ， ． 变式2-1（21-22七年级下·江苏宿迁·周测）如图，，，则图中有哪些直线互相平行，请说明理由． 【答案】， ，理由见解析 【分析】首先利用邻补角定义得出和的度数，进而利用平行线的判定方法得出答案． 【详解】解：， ，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 变式2-2（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 变式2-3（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据垂直找角之间的关系，再利用角之间的关系找边之间的关系． （1）根据垂直的定义可得：，根据平角是可得：，从而可求； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据同角的余角相等可得：，根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：， 理由如下， ， ， ， 又 ， ， ． 类型三、垂直与平行的关联判定 核心结论 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 解题三步 ① 找公共垂线 ② 证两条直线都垂直于它 ③ 直接得平行 进阶用法 无直角：先倒角 / 代换证垂直 多线题：垂直→平行→再垂直→再平行 动态题：设参数，列垂直方程求角度 / 时间 例3（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，垂足分别为D，F，，试说明．请补充说明过程，并在括号内添上相应的理由． 解：，（已知） ∴（   ） （   ）（   ） 又 （   ） （   ）（   ） 【答案】见解析 【分析】利用平行线的判定和性质进行求解． 【详解】解：，（已知）， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又 （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） ． 【点睛】注意平行线的性质和判定的应用． 变式3-1（17-18八年级下·北京·期末）在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB，下面是小楠、小曼两位同学的作法：    老师说：“小楠、小曼的作法都正确” 请回答：小楠的作图依据是______； 小曼的作图依据是______． 【答案】 同位角相等，两直线平行或垂直于同一直线的两条直线平行 内错角相等，两直线平行 【分析】由平行线的判定方法即可得到小楠、小曼的作图依据． 【详解】解：∵∠B=∠D=90°， ∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)； ∵∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)， 故答案为：同位角相等，两直线平行(或垂直于同一直线的两条直线平行)；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图和平行线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 变式3-2（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可； （2）先根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 变式3-3（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点，．求证：平分．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵，（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）， （ ）（ ）． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴平分． 【答案】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义及性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据，可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴平分, 故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换． 类型四、角平分线结合判定定理的综合判定 例4（24-25七年级下·湖北武汉·月考）请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【答案】；；同角的补角相等；；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】观察证明部分可知，本题的证明思路为通过先证明，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【详解】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 变式4-1（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 变式4-2（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 变式4-3（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，直线，被所截，，平分，平分．    (1)试问图中哪些直线互相平行？请说明理由． (2)若把条件“平分，平分”换成“”，则第一问的结论成立吗？请说明理由． 【答案】(1)；；理由见解析 (2)成立；理由见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】（1）解：；；理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴. 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 类型五、动态背景下的平行判定 例5（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a、b平行． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，此时停止运动， ，解得：； ④当时，此时停止运动， ，解得：， 综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行， 故答案为：或或或． 变式5-1（24-25七年级下·河北石家庄·月考）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动_____度． 【答案】20 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 变式5-2（21-22七年级下·江苏南京·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行． 【答案】2或14或50或110 【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，， 解得：t=2； 当时，， 解得：t=14； 当时，木棒a停止运动， 当时，， 解得：t=-10；（不合题意，舍去） 当时，或， 解得：t=50或t=110； 综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行． 故答案为：2或14或50或110 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 变式5-3（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)不成立，新的结论为，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用； （1）成立，理由如下：过点P作，利用两直线平行内错角相等得到 ，根据，得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； （2）不成立，新的结论为，理由为：过P作，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证； 【详解】（1）解：成立，理由如下： 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：不成立，新的结论为，理由为： 过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型六、平行公理推论（传递性）的综合判定 例6（21-22七年级下·青海西宁·单元测试）如图，已知：，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用内错角相等证，，然后利用平行公理推论即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 变式6-1（24-25七年级下·黑龙江大庆·月考）请你完成下列推理过程（括号内写出理由）． 如图，，． 试说明：． 解：因为， 所以________________（________）． 因为， 所以________________（________）． 所以（________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 由内错角相等、两直线平行可得，运用同旁内角互补、两直线平行可得，最后根据平行于同一条直线的两直线平行即可证明结论． 【详解】解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）． 因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（平行于同一条直线的两直线平行）． 变式6-2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为_____________时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 变式6-3（16-17七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 类型七、含参数角度的平行判定 例7（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 变式7-1（24-25七年级下·北京·期中）2025年2月22日，斯诺克世界公开赛在江西上饶隆重开幕．小颍在观看比赛的过程中对小球的运动轨迹产生了浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究．如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（，为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量，她进一步发现，，且，． (1)请你借助图2帮小颍判断小球经过两次反弹后的路径是否平行于原来的路径？请填写______（“是”或“不是”），并说明理由． (2)小颍制作了一个模型，固定挡板，将挡板绕点逆时针旋转至直线（如图3），若，当______时，． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用， （1）延长交于点，证明，继而推出，即可得出结论； （2）根据题意得，根据平行线的性质得，得，，由得，则，当时，，得，求解即可； 掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是．理由如下： 延长交于点， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：是； （2）如图， ∵将挡板绕点逆时针旋转至直线， ， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴当时，． 故答案为：． 变式7-2（21-22七年级下·江西南昌·月考）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【详解】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 变式7-3（24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，在直线上取两点，作射线和射线，且，固定两点，按图示方向和速度分别转动．当与第1次平行时，转动时间为___________ ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，先理解速度和旋转方向，以及与第1次平行，运用同旁内角互补，两直线平行进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设转动时间为时，与第1次平行， 如图所示： 当，则与第1次平行， 依题意， ∴ 解得， 故答案为： 1.（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 2.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 3.（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，直线与直线分别相交，图中的同位角共有__________对． 【答案】156 【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL和AB,CD,EF上的同位角的对数即可． 【详解】观察图形，直线上，每条直线有5个交点，直线上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角， 则直线上存在的同位角的个数是：对，同理直线上存在的同位角的个数是：对， 则总数是对． 故答案为：． 【点睛】本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键． 4.（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，分别平分和，垂足为．求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， ___________． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （已知）， （垂直的定义）， ______（等式的性质）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；90 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 先由可得，再由角平分线可得，从而可得，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求得的度数． 【详解】解：（已知）， ． 平分（已知）， ． 同理可得，． （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （ 两直线平行，同旁内角互补 ）， （已知）， （垂直的定义）， 90 （等式的性质）． 5.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）按要求完成下列说明过程．在三角形中，于点D，E是上一点，且．请说明： 解：（已知）， _______（_______）． ． （已知）， _______=_______（_______） （_______） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据垂直的定义得到，进而，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． ． （已知）， (同角的余角相等) （内错角相等，两直线平行．） 6.（21-22七年级上·四川乐山·期末）填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 【答案】；同位角相等，两直线平行；已知；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据题意得出，根据同位角相等，两直线平行即可证明；再证明，同理证明． 【详解】解：，已知， 等量代换， ． 又， ， 等式的性质． 同理可得． 等量代换， (同位角相等，两直线平行) ． 7.（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 8.（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，，，．问吗？为什么？ 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，垂线的定义，邻补角互补．由垂线的定义得到，从而可求得，求出，得到，即可判定． 【详解】解：． 理由：， ． ， ． ， ， ， ． 9.（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 【答案】对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了对顶角相等，角的计算，平行线的判定． 根据对顶角相等，角的计算，平行线的判定补全证明过程即可． 【详解】证明：与互为对顶角， （对顶角相等）． ， ， ． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 10.（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 11.（24-25七年级下·安徽合肥·期末） 如图， 直线交于点G， 分别平分 和 已知 (1)请说明： ； (2)若，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握角平分线有关的角的计算，平行线的判定定理是解题的关键． （1）利用角平分线与邻补角定义求得，再根据余角的性质即可得出，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）设，则，，再根据角平分线定义与邻补角列方程，求解，进而可求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵，分别平分和 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $