数学（全国二卷02）学易金卷：2026年高考考前预测卷

2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．-2 C． D．-4 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 8．已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（    ） A．众数为99 B．极差为9 C．分位数为96 D．平均数大于中位数 10．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．是的一个周期 C． D．当时，的最小值为 11．已知曲线C由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C上两点之间的距离的最大值为8 C．曲线C所围成的图形的面积等于16 D．曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。 12．设向量满足，，且，则______． 13．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 14．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 16．（15分） 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：    30.5 15 15 46.5 表中，． (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， (2)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 17．（15分） 如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 18．（17分） （新情境）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知函数，其中． (1)证明：在区间上存在唯一的极小值点； (2)若不存在零点，求a的取值范围； (3)当有两个不同的零点，时，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D D C D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为，，所以，（1分） 再由，（4分） 因为，所以，代入上式得：，（5分） 所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（6分） （2）由（1）可得：，（7分） 则（8分） （11分） （13分） 16．（15分） 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型（1分） 对两边取对数，得，即，（2分） 由表中数据得：，（3分） ，（5分） ，（6分） 所以，（7分） 所以关于的回归方程为.（8分） （2）因为，，所以 ，（11分） ，（13分） （元）.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）证明：正三角形中，，，为的中点， 所以，在图1中，， 所以，在中，，即，（1分） 同理，（2分） 因为，在图1中，，所以，在图2中，，（3分） 因为，所以，， 所以，，（5分） 因为，平面 所以平面.（6分） （2）解：如图，建立空间直角坐标系，（7分） 则，，，， 所以，（8分） 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，（10分） 因为平面的一个法向量为，（11分） 设二面角为，， 所以，（13分） 所以（14分） 所以二面角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）二次函数，（1分） 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；（2分） 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；（3分） 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为．（5分） （2）二次函数，（6分） 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；（7分） 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；（8分） 所以二次函数的焦点坐标为， 准线方程为； 即二次函数的焦点坐标为，准线方程为．（10分） （3）由（1）知抛物线可以由抛物线沿向量平移得到； 先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线； 设，又，则直线的方程为：，化简得：，（11分） 与直线联立得：，（12分） 代入得：， 即，（13分） 则直线的方程：，（15分） 化简得；（16分） 当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使得三点共线； 故存在定点，使得三点共线．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）的定义域为，求导得，（1分） 因为，，均是上的增函数，所以在上单调递增．（2分） 又，当时，， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得．（4分） 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增，因此是在上唯一的极小值点．（5分） （2）由（1）可知，的最小值为，其中满足． 若在定义域内不存在零点，则． 由，可得，即，（6分） 故．易知函数在上单调递减，（7分） 又，要使得，即，必须有．（8分） 令，则， 当时，，故在上单调递增， 因为，所以（1），即， 则， 故a的取值范围是．（10分） （3）由，可得，等价于． 令，则，所以，． 设，则，（11分） 易知在上单调递减， 又，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减．（12分） 有两个不同的零点，，等价于方程有两个不同的实数根，， 其中，． 不妨令，则由的单调性可知， 要证明，即，，即．（13分） 因为，所以，而，又在上单调递减， 只需证明，即证明对任意成立． 设，， 则．（15分） 构造函数求导可证，当且仅当时，等号成立， 所以当时，有，，所以，（16分） 因此，当时，恒成立，在上单调递减， 所以当时，，即， 也即．故原不等式成立．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．-2 C． D．-4 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 8．已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（    ） A．众数为99 B．极差为9 C．分位数为96 D．平均数大于中位数 10．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．是的一个周期 C． D．当时，的最小值为 11．已知曲线C由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C上两点之间的距离的最大值为8 C．曲线C所围成的图形的面积等于16 D．曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。 12．设向量满足，，且，则______． 13．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 14．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 16．（15分） 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：    30.5 15 15 46.5 表中，． (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， (2)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 17．（15分） 如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 18．（17分） （新情境）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知函数，其中． (1)证明：在区间上存在唯一的极小值点； (2)若不存在零点，求a的取值范围； (3)当有两个不同的零点，时，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义即可求得，再由复数的除法运算求出结果. 【详解】根据题意由，在复平面内对应的点关于实轴对称可得； 所以. 故选：B. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出不等式，求出集合，进而求交集即可. 【详解】由，得，解得 ， 即. 由，可得，解得， 即， 所以. 3．若双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．-2 C． D．-4 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线公式计算即可. 【详解】令，所以. 故选：D 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由 ， 所以. 5．若的展开式中存在含的项，则可能等于（    ） A．5 B．9 C．15 D．19 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，代入检验即可求解. 【详解】由二项式定理得，的展开式通项为， ，令， 当时，，故A错误；当时，，故B错误； 当时，，故C正确；当时，，故D错误. 故选：C. 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 7．已知一个圆锥的母线长为，则当其体积最大时，该圆锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】用表示出体积，利用导数求最值，由轴截面面积列方程即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则， 则，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当圆锥体积取得最大值时，， 设圆锥内切球的半径为，则由轴截面面积可得， 解得. 故选：A 8．已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】存在实数，使得，即不等式在上有解. 由 设函数（），则不等式可化为（*）. 易得函数在上单调递增， 故（*）式等价于. 又，所以有解，只需即可. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以，又，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 92 93 95 96 98 99 100 人数 5 7 8 14 13 下列结论正确的是（    ） A．众数为99 B．极差为9 C．分位数为96 D．平均数大于中位数 【答案】AC 【详解】根据题意，总共有50名市民， 所以成绩为或的共人， 则99分有14人，众数为99，A正确； 极差为，B错误； 因为，则第13个数分值为96，C正确； 中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99， 所以中位数为99， 设成绩为的有个人， 平均数为 ， 所以平均数小于中位数，D错误. 10．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．是的一个周期 C． D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由图可知，所以， 又，所以或， 从图象看，处函数处于上升阶段，即， 又，所以， 因为，所以，故，故A正确； 对于B，，处函数处于下降阶段， 所以，解得， 又，所以，所以，又， 故，得， 所以，所以，故B正确； 对于C， ，C错误； 对于D，当时，， 所以，所以， 所以的最小值为，故D正确. 11．已知曲线C由曲线和曲线组合而成，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．曲线C上两点之间的距离的最大值为8 C．曲线C所围成的图形的面积等于16 D．曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为 【答案】BC 【分析】计算可得关于点中心对称，曲线C的关于轴对称，作出示意图，逐项判断可得每个选项的正误. 【详解】设， 因为， . 所以曲线C在第一象限的图像关于点中心对称， 又， 又在上单调递减，所以在上单调递减， 故的图像如图所示， 在方程和将代换， 方程不变，所以曲线关于轴对称， 当时，方程为， 当时，方程为，故曲线如图所示， 由图可得曲线C上两点之间的距离的最大值为8，故A错误，B正确； 对于C选项，由对称性可知，图中区域1与区域2的面积相等，所以C正确； 对于D选项，如图三块区域绕x轴旋转所得几何体的体积分别为，，， 由于，区域1和区域3旋转后构成一个三棱锥， 由锥体的体积公式可得， 所以，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。 12．设向量满足，，且，则______． 【答案】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 13．已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为_______. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】∵为偶函数，∴， 又是定义域为的奇函数，∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个周期为20的周期函数， ∴， ， ∴． 故答案为：． 14．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为________． 【答案】 【分析】划分从乙盒取球的三种情况，分别计算每种情况的概率及对应从甲盒取两同色球的概率，再通过全概率公式求和得最终概率. 【详解】乙盒取2球有三种情形： 取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2同色球的概率为. 所求概率为： . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求首项，再根据等比数列的定义证明为常数； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再根据等差和等比数列的前项和公式，利用分组转化法求和. 【详解】（1）因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得：， 则 16．（15分） 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：    30.5 15 15 46.5 表中，． (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， (2)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 【答案】(1)适合， (2)2.27元 【分析】（1）结合散点图即可判断，然后结合表中数据代入计算，即可得到结果； （2）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为. （2）因为，，所以 ， ， （元）. 17．（15分） 如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据边长关系，结合勾股定理证明，，再结合线面垂直判定定理证明即可； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）证明：正三角形中，，，为的中点， 所以，在图1中，， 所以，在中，，即， 同理， 因为，在图1中，， 所以，在图2中，， 因为， 所以，， 所以，， 因为，平面 所以平面. （2）解：如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则， 因为平面的一个法向量为， 设二面角为，， 所以， 所以 所以二面角的正弦值为. 18．（17分） （新情境）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到; 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为 ; 故二次函数的焦点坐标为，准线方程为 . (1)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (2)求二次函数的焦点坐标和准线方程； (3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点. 是否存在定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)存在， 【分析】（1）根据函数平移得出焦点的坐标和准线方程； （2）首先配成顶点式，再根据向量平移得到焦点坐标与准线方程； （3）先考虑过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线；设设，表示出直线的方程，即可求出，从而求出的坐标，表示出直线的方程，求出定点坐标，即可得解. 【详解】（1）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （2）二次函数， 它的图象可以由抛物线沿向量平移得到； 抛物线即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为， 准线方程为； 即二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （3）由（1）知抛物线可以由抛物线沿向量平移得到； 先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线交于点，过点作x轴的垂线交抛物线于点，讨论是否存在定点，使得三点共线； 设，又，则直线的方程为：，化简得：， 与直线联立得：，代入得：，即， 则直线的方程：， 化简得； 当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使得三点共线； 故存在定点，使得三点共线． 19．（17分） 已知函数，其中． (1)证明：在区间上存在唯一的极小值点； (2)若不存在零点，求a的取值范围； (3)当有两个不同的零点，时，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得，可得在上单调递增，，当时，，进而可得结论． （2）由（1）可知，的最小值为，其中满足，由题意可得，进而可得，，构造函数求得值域，可求得a的取值范围； （3）由等价于，令，变形可得，构造函数，求导研究函数的性质，由题意有两个不同的实数根，，进而要证，只需证对任意成立，构造函数，，求导可证结论． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 因为，，均是上的增函数，所以在上单调递增． 又，当时，， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得． 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增，因此是在上唯一的极小值点． （2）由（1）可知，的最小值为，其中满足． 若在定义域内不存在零点，则． 由，可得，即，故． 易知函数在上单调递减， 又，要使得，即，必须有． 令，则， 当时，，故在上单调递增， 因为，所以（1），即， 则，故a的取值范围是． （3）由，可得，等价于． 令，则，所以，． 设，则， 易知在上单调递减， 又，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 有两个不同的零点，，等价于方程有两个不同的实数根，， 其中，． 不妨令，则由的单调性可知， 要证明，即，，即． 因为，所以，而，又在上单调递减， 只需证明，即证明对任意成立． 设，， 则． 构造函数求导可证，当且仅当时，等号成立， 所以当时，有，，所以， 因此，当时，恒成立，在上单调递减， 所以当时，，即， 也即．故原不等式成立． / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) C B D A 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）