学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷01（全国通用，人教A版选必二第五章+选必三第六、七章：导数+计数原理+随机变量及其分布】

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选必二第五章+选必三第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（   ） A．90 B．80 C．70 D．100 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 5．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 6．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 7．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式中共有8项．则下列结论正确的是（    ） A． B．奇数项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 10．已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 13．（热点）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 14．设是函数的导函数，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 16．（15分） 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 17．（15分） 已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 18．（17分） 甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． (1)求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； (2)若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； (3)若，记比赛结束时答题数为X，求的最大值． 19．（17分） （新情境）已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选必二第五章+选必三第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（   ） A．90 B．80 C．70 D．100 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题列式得解. 【详解】依题意，不同选法种数是. 故选：A 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令求解可得. 【详解】由题知，， 令，解得， 所以，函数的单调减区间为. 故选：C 4．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 5．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 6．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质，求得的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（辆）. 故选：D. 7．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可. 【详解】因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由，所以， 易得函数为在上单调递增函数，为零点， 此时M的坐标为， 由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为. 故选: 8．某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用“先分组后分配”的策略求出5名同学去3个服务点的安排方法数，再运用“正难则反”策略与“捆绑法”求出甲与乙去同一个服务点的安排方法数，再利用古典概型以及对立事件的概率公式即可得解. 【详解】5名同学分成3个小组， 若按2人，2人，1人来分有种分组方式， 若按3人，1人，1人来分有种分组方式， 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 若甲乙去同一个服务点且该服务点有两人，则有种分组方式； 若甲乙去同一个服务点且该服务点有三人，则有种分组方式； 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以甲乙去同一个服务点的不同安排方法有：种. 因此，甲乙去同一个服务点的概率为， 则甲与乙不去同一个服务点的概率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式中共有8项．则下列结论正确的是（    ） A． B．奇数项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项判断. 【详解】对于A，由的展开式共有8项，得，则，A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，奇数项的二项式系数和为64，B正确； 对于C，由二项式系数的性质知，最大二项式系数为，因此第4项和第5项的二项式系数最大，C错误； 对于D，的展开式的通项公式为， 由为整数，得r的值可以为，则二项展开式中有理项共有4项，D正确. 故选：ABD 10．已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式、期望方差公式及期望方差的性质逐项计算判断. 【详解】由，得，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 【答案】ACD 【分析】利用求参数判断A，对函数求导有在上恒成立，结合判别式列不等式判断B，根据已知有，再判断的判别式符号确定函数的单调性判断C，由是的两个根，结合韦达定理判断D. 【详解】对于A，若，则， 由的对称中心为，则， 所以， 所以 ， 所以，则，A对， 对于B，若，则。若在上单调递增， 则其导数在上恒成立， 所以，即，B错， 对于C，由，，不等式两边同乘，得， 的判别式， 故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调， 因此存在使得，C对， 对于D，将代入导函数，得， 极值点是的两个根， 由韦达定理：，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 13．（热点）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 【答案】0.8/ 【分析】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故答案为：0.8 14．设是函数的导函数，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】合理构造，结合题意判断其单调性，进而求解目标不等式即可. 【详解】构造，可得， 而，故，即在上单调递增， 又，可得， 不等式可化为，，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】（1）明确的值可以为：0，1，2，3，分别求出对应的概率，可得的分布列. （2）先求，利用求解. 【详解】（1）由题意：的值可以为：0，1，2，3，且： ，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . （2）事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数相等”，则二等品（或三等品）的件数记为，则可以为1，2， , 所以. 16．（15分） 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. 【详解】（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 17．（15分） 已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，令得，结合极小值的定义即可求出函数的极小值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，得到函数单调性. 【详解】（1）的定义域为，， 令得， 令得，令得， 故的极小值为. （2），定义域为， ， 若，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. 18．（17分） 甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． (1)求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； (2)若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； (3)若，记比赛结束时答题数为X，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将给定事件分拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件的概率公式求解. （2）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及独立事件的概率公式列式求解. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，求出，再利用导数求出最大值. 【详解】（1）乙在第二题得分的事件是甲在第1题答对，第2题答错的事件与甲在第1题答错，乙在第2题答对的事件和， 所以乙在第二题得分的概率为. （2）甲在四题以内赢得比赛的事件是甲答前3题得3分的事件与甲答4题得3分的事件和， 甲答前3题得3分的事件概率为； 甲答4题得3分的事件是前3题甲得2分，第4题甲得分， 概率为， 所以甲在四题以内赢得比赛的概率为. （3）随机变量的可能取值为3，4，5， 当时，甲答前3题得3分或乙答前3题得3分，； 当时，第4题后甲得3分或乙得3分， 当时，第4题后甲乙二人的比分为，， 因此 ，令，， 求导得， 由且，得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为. 19．（17分） （新情境）已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）结合定义，找出使得的即可得； （2）结合定义计算可得，构造函数计算即可得； （3）结合定义，构造函数，可得其单调性，则可得，再构造函数，结合导数分类讨论其单调性，结合零点存在性定理得其零点个数即可得解. 【详解】（1）， 则， 则当时，有， 故不是“卓越函数”； （2）， 则， 故在上恒成立， 即有在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，故； （3）由为“卓越函数”，则定义域为， 且对任意，有， 则，有则， 设函数，则， ， 故在上单调递增，故， 即存在唯一正实数，使得， 令，，， 当时，，故在上单调递增， 又时，，时，， 故存在唯一正实数，使得，符合题意； 当时，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又时，，时，， 故当时，有唯一正实数解， 由关于的函数在上单调递增， 且当时，有， 故当时，有唯一正实数解； 综上所述：实数的取值范围为或. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B D D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．0.8 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由题意：的值可以为：0，1，2，3，（1分） 且：，，，.（5分） 所以的分布列为： 0 1 2 3 .（7分） （2）事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数相等”，则二等品（或三等品）的件数记为，则可以为1，2，（8分） ,（11分） 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法．（4分） （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法．（9分） （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）的定义域为，，（1分） 令得，（2分） 令得，令得，（4分） 故的极小值为.（5分） （2），定义域为， ，（7分） 若，则，令得，令得，（8分） 故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或，（9分） 当时，，此时恒成立，故在上单调递增，（10分） 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增，（12分） 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增.（14分） 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）乙在第二题得分的事件是甲在第1题答对，第2题答错的事件与甲在第1题答错，乙在第2题答对的事件和， 所以乙在第二题得分的概率为.（3分） （2）甲在四题以内赢得比赛的事件是甲答前3题得3分的事件与甲答4题得3分的事件和， 甲答前3题得3分的事件概率为；（4分） 甲答4题得3分的事件是前3题甲得2分，第4题甲得分， 概率为，（7分） 所以甲在四题以内赢得比赛的概率为.（8分） （3）随机变量的可能取值为3，4，5，（9分） 当时，甲答前3题得3分或乙答前3题得3分，； 当时，第4题后甲得3分或乙得3分， 当时，第4题后甲乙二人的比分为，，（12分） 因此 ，令，，（13分） 求导得，（14分） 由且，得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1），（1分） 则，（2分） 则当时，有，（3分） 故不是“卓越函数”；（4分） （2）， 则，（5分） 故在上恒成立， 即有在上恒成立，（6分） 令，，（7分） 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，（8分） 故；（9分） （3）由为“卓越函数”，则定义域为， 且对任意，有， 则，有则，（10分） 设函数，则， ，（11分） 故在上单调递增，故， 即存在唯一正实数，使得， 令，，， 当时，，故在上单调递增， 又时，，时，， 故存在唯一正实数，使得，符合题意；（13分） 当时，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又时，，时，， 故当时，有唯一正实数解，（15分） 由关于的函数在上单调递增， 且当时，有， 故当时，有唯一正实数解； 综上所述：实数的取值范围为或.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选必二第五章+选必三第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（   ） A．90 B．80 C．70 D．100 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 5．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 6．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 7．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式中共有8项．则下列结论正确的是（    ） A． B．奇数项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 10．已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，且曲线的对称中心为，则 B．若，函数在上单调递增，则 C．若，且，则存在实数，使得 D．若，，且函数有两个极值点、，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 13．（热点）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________. 14．设是函数的导函数，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 16．（15分） 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 17．（15分） 已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 18．（17分） 甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． (1)求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； (2)若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； (3)若，记比赛结束时答题数为X，求的最大值． 19．（17分） （新情境）已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”． (1)判断是否为“卓越函数”？ (2)已知为“卓越函数”，求实数的取值范围； (3)已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $