浙江省绍兴市新昌县九年级数学素养测试卷

九年级数学素养测试卷 考生须知： 1.本卷满分120分，考试时间120分钟。本次考试不得使用计算器。 2答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题。 3.答题时，将答案写在答题卷上，否则无效。作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签 字笔或钢笔将线条描黑 一、选择题（每题3分，共30分） 1.2026的相反数是（▲) A.2026 1 B.-2026 D. 1 2026 2026 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（▲） ⊙（⊙L 主视方向 第2题图 3.新昌县位于浙江省东部，是全国医药强县、中国轴承之乡，2025年新昌的GDP为711.66亿元.将 数711.66亿用科学记数法（单位：元）表示为（▲） A.711.66 B.711.66×108 C.71.166×109 D.7.1166×1010 4.对于反比例函数y=一 下列结论正确的是（▲） 2x A·点(2,1)在该函数的图象上 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 C.y随x的增大而增大 B G D.y随x的增大而减小 5.如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的 示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，AC与BD交 于点M,则∠ABM的度数为（▲） 图1 图2 第5题图 A.120° B.110° C.112.5° D.135 6.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文 “文”“明”“新”“昌”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面 朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“新”和“昌”两个字的概率 是（▲） A. 12 B 6 D 1-2 第6题图 第1页共6页 7.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形ABCD是以原点O为 位似中心的位似图形，若点A(-3,1)的对应点A'(-6,2),则点B(-2,4) 的对应点B'的坐标为（▲） A.(-4,8) B.(8,-4) C.(-8,4) D.(4,-8) 8.在△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成 第7题图 两个等腰三角形，则∠B的度数不可能为（▲） A.10° B.40° C.80° D.100° 9.某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为274元，则小聪家去年全年用电量为（▲） A.2810度 B.2860度 C.3060度 D.3210度 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半 圆上，且EF=EB.延长AF,EF分别交CD于点G,H,连结GE,则下列结论错误的是（▲） A.EA平分∠BEF B.GE⊥AE GH 6 C.AE=3GE D. GC 5 二、填空题（每题3分，共18分） 11.因式分解：a3-a=▲ 12如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时 候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45 第10题图 方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M 在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明 的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直 M 线距离)约为▲米（精确到1米，参考数据 √2≈1.41，V3≈1.73). 13.某科技公司研发了一批AI机器人，计划分配给甲、乙、丙、 第12题图 丁四家经销商点进行销售.当一家分配到台机器人全部售出后， 科技公司从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下： 1=1 11=2 11=3 11=4 1=5 1=6 甲 4 6 / 乙 3 5.5 7.5 9 10 10.5 丙 v 4 6 7 P 0 丁 1.4 3.8 6.2 8.6 11 13.4 如果科技公司将5台机器人分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么5台机器人都售出 后，该科技公司可获得的总利润的最大值为 万元 第2页共6页 14.类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇 形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形” 可以近似地看成底边长分别为1,12,3，…，n,高为r的“小三角形”，它们的面积和为 +2++亿+马+，即扇形面积S=.请根据这样的 思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为a和b,DE=h,用含 2,0,n的T八衣示图中阴影部分画枳 0 0 b 图1 图2 B 第16题图 第14题图 15.已知x轴的上方有一条直线平行于x轴，点A在这条直线上运动，其横坐标为a,另有一点B, 坐标为(0,10.5)，在x轴上取点P使得P到A,B两点的距离和最小，记S=(PA+PB)2, 若S的最小值为225，则当S不超过289时，AB的取值范围为▲· 16.如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=4,对角线BD上有一点E,且BE=BC,在射线CE上有 一点F,满足∠FBD=∠ECD,FB,FC分别交AD于点M,N,则MN的长为▲， 三、解答题（第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分.解答应 写出文字说明、计算过程或推演步骤。) 17.在解分式方程2x+3=8时，豆包的解法如下： x2+2x2-4 第一步：通分 2x(x+2),3x-2)8 (x-2Xx+2)(x+2Xx-2x2-4 第二步：去分母得2x(x+2)+3(x-2)=8, 第三步：化简得2x2+7x-14=0, 第四步：因武分解得(x-2)2x+7)=0,所以5=2，为=-名 2 第五步：检验当x=2时，x-2=0. 第六步：所以原分式方程的解为x=一 7 2 判断豆包的解答过程是否正确.若不正确，请指出哪一步开始出现错误，并写出你的解答过程. 第3页共6页 18.春节期间，小摊在商场门口售卖糖葫芦，每串糖葫芦的成本为6元.经连续一周的统计，当每 21 串糖葫芦的售价在8元到14元之间（含8元，14元）浮动时，每涨价1元，每天则少卖20 串.若售价为每串10元时，每天可卖200串.设售价为每串x元，每天利润为y元.问： (1)求y关于x的函数表达式. (2)当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 19.我们在函数的学习过程中，都是通过列表描点的方法来研究函数图象，请用类似方法探究 y=4-1的图象： (1)观察函数表达式，填写下表： -4 -2 -1 X V -2 -3 1 0 000 在平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象： y 0 -3 4 =5 第19题图 (2)观察图象，回答下列问题： ①当x>-1时，求y的取值范围； 22 ②函数y=4-1的图象可由函数y=4的图象如何平移得到？ (3)类比探索函数y=,6,的图象可由函数y=3的图象经过怎样的平移得到 2x-3 20.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC,点E是线段OB上一 点，且OE=OD. (1)若△ABC是等边三角形，求证：OE=EB. (2)当∠ABC<∠ACB时，探究∠ABC,LACB,∠OED之间的关系， D 第20题图 第4页共6页 21.小新和昌昌两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造 法”展开了探究。 【情境再现】 已知：如图1，在△ABC和△A'B'C'比C=∠C=90°，AB=A'B,AC=A'C 求证：△ABC三△A'B'C. 下面是用“构造法”证明两个三角形全等的部分过程. 证明：如图1，延长BC至点D,使CD=B'C',连结AD 因为AC=A'C'(已知)，∠ACD=90=∠C, 所以△ADC≡△A'B'C'(SAS) 所以AD=A'B'(全等三角形的对应边相等). … 所以△ABC=△ADC(SSS) 所以△ABC三△A'B'C' 【实践解决】 (1)请结合“情境再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整. (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°点D是直角边AC上一动点（不与点 C重合)，连结BD,以BD为边向左侧作等边△BDE,连结EA,在点D运动的过程中， 始终有EA=ED,试证之. 2 B D 图1 图2 第21题图 22.【探究发现】(1)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,求证：AB=BD AC CD 【拓展运用】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,AD平分LCAB, E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用(1)的结论，求EF的值 【综合提升】(3)如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB,AD=12,CD=8, AC=10,对角线AC,BD交于点E,求DE的长. 图1 图2 B 图3 第22题图 第5页共6页 23.定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界）， 这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形 请根据以上信息，解答以下问题： (1)如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试 求出该一次函数的表达式. (2)若二次函数.y=ax2-4a+4a+m(0≤x≤3)的图象的关联矩形恰好也是矩形0ABC,求a与 m的值. 4 8 A 3 第23题图 24.如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6,AC=8,以点A为旋转中心，逆时针旋转△ABC,记 点B,C旋转得到的对应点分别为点E,F. (1)求菱形的边长. (2)当EF∥AC时，求Fc的长 (3)若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P,连 结BP,求BP-CP的取值范围. D 备用图 第24题图 第6页共6页 九年级数学素养测试卷参考答案 一、选择题（本大题有10小题，每题3分，共30分） BADBC BACBD 二、填空题（本大题有6小题，每题3分，共18分） 11.aa+10a-1)12.8513.13.514号a+bh15.6≤AB≤1016， 三、解答题（第17~21题每题8分，第22,23题每题10分，第24题12分，共72分.） 17.（本题8分)不正确…2分 第四步错误…2分 正确解答过程如下 原方程可化为2x2+7x-14=0, 解得：5=7+而，为=7-，…3分 4 4 经检验原分式方程的解为5=-7+6，名=-7-6.…1分 4 A 18.(本题8分)(1)y=（x-6200-20(x-10j]=-20x2+520x-24004分 (2)y=-20(x-13}+980,(8≤x≤14…3分 答：当售价定为13元时，每天的利润最大，最大利润是980元.…1分 19.（本题8分)（1)-5,3；图略…3分 （2)①y<-5或y>-1;……2分 ②向下平移1个单位长度…1分 3 (3)向右平移二个单位长度…2分 2 20.（本题8分)（1)连结0C. :OC=OB,OD⊥BC,.∠BOC=2∠BOD 又LBOC=2∠BAC,LBOD=LBAC..1分 ,△ABC是等边三角形，∴.∠BAC=60°，LBOD=∠BAC=60. :OE=OD,∴.△0ED是等边三角形.…1分 .OE=ED,∠ODE=60°. .OD⊥BC,.∠ODB=90° .∠0BD=90°-∠B0D=90°-60°=30°， LBDE=∠ODB∠ODE=90°-60°=30°. ∴.∠OBD=∠BDE..EB=ED. 第20题图 .OE=EB.2分 (2)OE=OD,.∠OED=∠ODE,∴.∠BOD=180°-2LOED, 由(1)知，LBAC=LBOD,∠BAC=180°-2LOED,.1分 在△ABC中， ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°；…1分 .180°-2∠OED+∠ABC+∠ACB=1809 ∴.∠ABC+LACB=2∠OED...2分 21.(本题8分)(1)A'B'=AB,AD=AB,LACB=90°，BC=CD..3分 (2)如图2，延长BC至B',使CB'=CB,连结B'A,BD, 则△ABC兰△AB'CADBC≡△DB'C,AB=AB',DB=DB'.…2分 :LBAC=30°，LABC=60°，∴.△ABB是正三角形 BA=BB',∠ABB'=60°. 第21题图1 △EBD是正三角形，BE=BD=DE,∠EBD=60°， ..LEBA=LDBB', △EBA≡△DBB'(SAS)…2分 EA=DB',EA=ED1分 B 第21题图2 22.(本题10分)【探究发现】 (1)方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E,再过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为点M,N. :AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥A.CDM=DN. SMBD= AB-DM4 0e,。 ABBD ,…3分 AC:DN CD-AE AC CD 方法2：如图1-2，过点C作CE/AB交AD延长线于点E. ABICE,∠BAD=∠E 又：LADB=LCDE,△ABD-△ECD,AB-BD 图1】 AD平分∠BAC,∠BAD=LCAE. ..LE=LCAE,..CE=AC. “BBD …3分 AC CD 【拓展运用】 图1-2 (2)在Rt△ABC中，：AC=8,BC=6,AB=VAC2+BC=V8+6=10. :CE为斜边AB上的中线，CE=AB=5,1分 2 设EF=x,则CF=5-x .AD平分∠CAB, AE弥 = AC CF 即=名，解得x= 25 E 85-x 图2 经检验，x= 是原方程的根。 13 D .EFE25 ,…2分 13 【综合提升】 (3)如图3，作EP⊥AD,CQ⊥AD, ,四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB, LADB=LCDB,DB平分∠ADC,DA-A DC CE 2 图3 :DA=12,DC=10,4E=3, :AC=10,.AE=6,CE=42分 :CQ⊥AD,.△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x,AQ=12-x, 有8-=102-2-，解得x号，即Dg-号，0-兰，0g万， 9 ·PLAD,C2LAD,∴EP∥Cg,4g=4但=3，EP=AE-3 “P0"2'C2AC5 ∴是，产万，Dr-货，Ds=Dp+EP-6NE2分 (其他做法正确均给分)》 23.(本题10分)（1)设y=kx+b(k≠0)，由题意可知当一次函数图象经过点C(0,4),A（3,0)时， 有b=4 ，解得 b=4 4 3k+b=0 .y= 写x+42分 当一次函数图象经过点0(0,0)，B(3,4)时，有 [b=0 b=0 ,解得 4 3k+b=4 ·y号2效..…2分 3 综上，该一次函数的表达式为y=学+4成y号…1分 (2)y=2-4a+4a+m=ax-2+m,∴.其对称轴为直线x=2. ·.'二次函数，=ax2-4a+4a十m(0≤x≤3)的图象的关联矩形是矩形0ABC, [4a+m=4 「a=1 当a>0时，图象经过点(0,4)，(2,0)，则m=0，解得1m=0…2分 当a<0时，图象经过点(0,0)，（2,4)， 则4a+m=0,解得a=-1.…2分 m=4 m=4 a=1,m=0或a=-1,m=4,.1分 24.（本题12分) (1):四边形ABcD是菱形，0M吃4C=4,OB-=之BD=3,4CLBD, ∴AB=V32+42=5,3分 3 (2)由(1)得，an∠BA0-4, 如图1，：EFAC,∴LCAF+LEFA=180°， :∠EFA=∠BCA=LBAC;LCAF+∠BAC=180°∴.B,A,F三点共线， 过点F作直线AC的垂线于点H,连结FC. ∴m∠RA=tm∠aAc-景，∴M号，nH号， 图 3 在m△cpH中.cm号，c)+-台而，…2分 如图2，EF‖AC,∴∠EFA=∠FAC, :∠EFA=∠BCA=∠BAC,∠BAC=∠FAC, ∴.A,B,F三点共线，作FH⊥AC,连结FC, itm∠C子，hm-号，F附-号， 32 24 在Rt△CFH中，( 号-g丽， 图2 综上可得，C-兰而或而.…2分 (3)由题意得，点P是射线Ac上的动点. 当P,C重合时，BP-CP=BC=5…2分 当P,C不重合时，C,B,P构成三角形，BP-CP<5,可分两种情况考虑： 点P在线段AC上和点P在AC的延长线上 ①当点P在线段AC上，如图3，设OP=x,则CP=4-x,AP=4+x,BP√2+9， 图3 2BPCP=Vx2+9-(4-x)=Vx2+9+x-4,BP-C4的值随着x的增大而增大， ∴.当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值 在△AP中Ag,∠是， 4 当AP LEFE时，AP最小，如图4，此时P=若，OPx空 图4 8那-CP=原+9+x-4=16+2西2分 5 ②当点P在AC的延长线上，如图5，BP>CP,即BP-CP>0. 综上可得，-16+24≤那-CP55,…1分 5 图5