专题26与圆有关的位置关系突破讲义 2026年中考数学一轮复习

专题26与圆有关的位置关系突破讲义 【模块一 圆的有关位置关系】......................................4 【题型01 点与圆的位置关系】......................................4 【题型02 三角形的外接圆】........................................7 【题型03 确定圆的条件】.........................................10 【题型04 直线与圆的位置关系】...................................14 【题型05 证明直线是圆的切线】...................................17 【题型06 切线性质的计算与证明应用】.............................21 【题型07 切线问题的实际场景求解】...............................25 【题型08 切线长定理】...........................................30 【题型09 三角形的内切圆】.......................................34 【模块二 圆有关位置关系的综合问题】.............................38 【题型10 切线的性质和判定的综合应用】...........................38 【题型11 圆的位置关系与几何模型】...............................44 【题型12 圆的位置关系与最值综合】...............................50 【题型13 圆的位置关系与动态探究综合】...........................58 【题型14 圆的位置关系与新定义综合】.............................64 【题型15 圆的位置关系与实际应用综合】...........................75 【题型16 圆的位置关系与函数结合综合】...........................83 分值占比：与圆有关的位置关系是中考几何核心必考板块，总分值约6-12 分，覆盖选择、填空、解答（证明 / 计算）三类题型。其中基础题侧重概念辨析，中档题聚焦位置关系判定与计算，难题多以切线证明为核心结合综合几何求解，是几何模块中区分度较高的核心内容。 常考考点：核心涵盖三类位置关系判定与应用：①点与圆的位置关系（点在圆内 / 上 / 外，依据点到圆心距离d与半径r的大小关系）；②直线与圆的位置关系（相离、相切、相交，依据圆心到直线距离d与半径r的大小关系），其中切线的性质与判定为高频核心考点，配套切线长定理、三角形内切圆（内心）相关应用；③圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含，依据两圆圆心距d与半径、的数量关系，部分地区必考）。同时涉及位置关系与勾股定理、三角函数、全等 / 相似三角形的综合计算，以及弦长求解、角度推导等六大核心方向。 命题趋势：基础题（选填前半段）侧重位置关系直接判断、d与r的数量关系转化，多为送分题型；中档题（选填中段 / 解答中档问）侧重切线判定与性质的规范推导，常结合 “连半径证垂直”“作垂直证半径” 的核心方法，配套弦长、角度计算；难题（解答压轴 / 选填压轴）多以切线为载体，重圆与三角、四边形、坐标系的综合运用，侧重动态几何、分类讨论（如两圆位置关系的多解情况）及核心模型（内心、切线长）的综合应用，是拉开分数差距的关键。 ★知识梳理★. ✨知识点01:点与圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d。 常见应用： 判断点的位置：直接计算距离 d 与半径 r 比较。 直角三角形外接圆：直角三角形的外心是斜边中点，外接圆半径 R=2边✨知识点02:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 位置关系 相离 相切 相交 数量关系 d>r d=r d<r 公共点个数 0 个 1 个 2 个 图形特征 直线与圆无交点 直线与圆仅有一个交点，这条直线叫切线 直线与圆有两个交点，这条直线叫割线 核心考点 - 切线的判定与性质： 左图(1.2) 右图(3) 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 ✨知识点03: 圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 ✨知识点04:必记经典模型（解题捷径） 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 【模块一 圆的有关位置关系】 【题型1.点与圆的位置关系】 【典例】已知的半径为1．若点P在圆O外，则________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】 > 【详解】解：的半径为，点在外， ． 【跟踪专练1】如图，中，弦的长为，点在上，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，正确求出是解题关键．根据圆周角定理得到，根据垂径定理求出，即可得出，比较与的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵点在上，， ∴， ∵，弦的长为， ∴， ∴， ∵，， ∴点在内． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出点，，与的位置关系，即可得出半径的取值范围． 【详解】如图，连接， ，， ， 以点为圆心作，使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外， 的半径的取值范围是：． 【点睛】当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【跟踪专练3】如图，是半的直径，点在半上，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】以为直径画圆，圆心为，连接、，在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，以为直径画圆，圆心为，连接、，   ， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 【题型2.三角形的外接圆】 【典例】.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 【跟踪专练1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，，过点A作于点D，设点E为的中点，过点E作交的延长线于点O，则点O即为的外接圆的圆心，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，证明，得到，据此代入数值求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， 过点A作于点D，设点E为的中点，过点E作交的延长线于点O， ∵， ∴，即垂直平分， ∴； ∵点E为的中点，， ∴，且垂直平分， ∴点O即为的外接圆的圆心， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的外接圆的半径为． 【跟踪专练2】点为的外心，且，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外心性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外心 外接圆的圆心． 根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，是圆心角，是圆周角，利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵点为的外心，， ∴，， 故的度数为：或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．证明是等腰直角三角形，且，证明是等腰直角三角形，作的垂直平分线l交于点H，则，则，由点E在的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵是三边垂直平分线的交点． ∴，是的外心． ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 作的垂直平分线l交于点H，则 ∴， ∵， ∴点E在的垂直平分线上运动， 当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小， 此时． 故选：D． 【题型3.确定圆的条件】 【典例】如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 【跟踪专练3】设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 【题型4.直线与圆的位置关系】 【典例】如图，在中，，若以点C为圆心，r为半径画，请根据下列条件填空： （1）若，则点A与的位置关系是__________，点B与的位置关系是__________； （2）若直线AB与至少有一个交点，则r的取值范围为__________． 【答案】 点A在内 点B在外 【分析】（1）判断点与圆的位置关系，关键是比较点到圆心的距离与圆的半径 即可； （2）直线与圆 “至少有一个交点”，意味着直线与圆相切或相交，求出圆心 到直线 的垂直距离，即可求出范围． 【详解】解：（1）， ∴， ∴ 点A在内，点B在外， 故答案为： ① 点A在内，②点B在外． （2）在直角三角形中，， ∵直线与至少有一个交点， ∴最小值为圆心 到直线 的垂直距离， 即直角三角形斜边的高， 斜边的高， ∴， 故答案为： ③． 【点睛】本题考查了点与圆、直线与圆的位置关系判定，同时综合运用了直角三角形的相关性质． 【跟踪专练1】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 【跟踪专练3】如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【答案】B 【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断． 【详解】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确； B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误； C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确； D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键． 【题型5.证明直线是圆的切线】 【典例】下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是________． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 【答案】甲乙 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接，，根据直径所对的圆周角为直角以及切线的判定可知、是所求作经过点的切线，进而可得答案． 【详解】解：如图2，连接，， 为直径， ， ，为的半径， 、是所求作经过点的切线． 可作为以上作图依据的是甲乙． 故答案为：甲乙． 【跟踪专练1】如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 【答案】A 【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 根据两点间距离公式计算出、、的距离，分别与半径相比较，得出点是否在圆上；根据圆心到直线的距离等于半径，判断直线与相切即可． 【详解】解：由于点，，点为线段的中点， 那么点的坐标为，直线方程为：， 选项A、过点作于点，由题意得，，设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， ，即长等于半径， 则与相切，故结论正确； 选项B、，则点在外，故结论错误； 选项C、，则点在外，故结论错误； 选项D、，则点在外，故结论错误； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，D是BC边上一点，连接AD，以AD为直径作．下列条件不能判定BC为切线的是（    ） A．点D是BC的中点 B．AD平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握以上知识点． 逐一分析是否能够证明即可． 【详解】解：A、∵，点是的中点， ∴， ∴为切线．故A选项不符合题意； B、∵，平分， ∴， ∴为切线．故B选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴为切线．故C选项不符合题意； D、无法证明， 不能判定为切线，故D选项符合题意． 故选：D． 【题型6.切线性质的计算与证明应用】 【典例】如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，由是的切线，则有，根据直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，四边形内接于，，过点A的切线与的延长线交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质可得，进而解得，再结合可得，由平行线的性质解得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为切线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 【答案】 【分析】根据点是的中点得到，即可得到，根据点到的距离为1，得到，再证明即可得到答案； 【详解】如图所示，过点O作于H，连接， 为圆直径， ， 点是的中点， ， ， ， ， 点到的距离为1， ，， ， ， ， 切圆于， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题解题的关键是作出辅助线，算出，，． 【跟踪专练3】如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，延长交或其延长线于一点，可求得，结合六边形的内角和为，可求得，根据同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，可求得点与点重合，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，延长交或其延长线于一点． ∵与正八边形的边和分别相切于点和点， ∴，． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． ∵六边形的内角和， ∴． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． 又∵，同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直， ∴直线与直线为同一条直线， ∴点与点重合． ∴． ∴． ∴劣弧的长． 【题型7.切线问题的实际场景求解】 【典例】如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 【答案】如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险 【分析】本题考查了三角函数的实际应用． 过点A作于D，设海里，则海里，根据可知，解方程求出的长度，与比较即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， 设海里， 由题意得，，，海里， 在中，， ∴海里， 在中， ， ∴海里， 解得，， ∵， ∴， ∴如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险． 【跟踪专练1】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．是否穿过古建筑保护群？为什么？（参考数据：） 【答案】不会穿过古建筑保护群，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 过点C作于H．与都可以根据锐角三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条公路会不会穿过古建筑保护群． 【详解】解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过C作于H， 设， 由已知有，， 则，， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵． ∴不会穿过古建筑保护群． 【跟踪专练2】如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？ 【答案】有危险，60度 【分析】过点P作PB⊥AE，垂足为B，求出PB的长和16比较即可，作以点P为圆心，nmile为半径的⊙P，过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，利用特殊角的三角函数值可求． 【详解】解：过点P作PB⊥AE，垂足为B， 由题意得：∠PAB＝30°， 在Rt△PBA中∠PBA＝90°，AP＝32， ∴PB＝＝16，      ∵16＜， ∴轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险． 作以点P为圆心，nmile为半径的⊙P， 过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ， ∵AQ切⊙P于点Q ∴∠AQP＝90° ∵PQ＝，AP＝32 ∴sin∠PAQ＝ ∴∠PAQ＝60°                      ∴∠SAQ＝180°－60°－60°＝60° ∴轮船自A处开始沿南偏东至多60度方向航行才能安全通过这一海域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质等知识，解题关键是作出恰当辅助线，利用三角函数知识进行计算推理． 【跟踪专练3】已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米． (1)请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段； (2)求这个圆形物体的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)该圆形物体的半径长为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，切线的性质： （1）如图所示，找到圆心，画出过点的切线，为表示影长的线段； （2）先由切线的性质得到，，再证明，，得到，，设， 解中得到，解得到，进而得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，找到圆心，画出过点的切线，为表示影长的线段； （2）解：设、、上的切点分别为 、、，如图所示． . ∴，， 又∵ ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，； 在中，； 依据题意，得： 解得 ． 答：该圆形物体的半径长为米． 【题型8.切线长定理】 【典例】如图，，是的切线，切点分别是A，B．若，，则_____ ． 【答案】6 【分析】本题考查了切线长定理、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据切线长定理推出平分，进而解题． 【详解】解：由题意知，平分， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：6 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，四边形是正方形，根据面积法求出内切圆的半径，进而可得的周长． 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、， 由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， 设内切圆的半径为r， 由， 得， 解得， ∴， ∴， ， ∴的周长 ． 故选：B． 【跟踪专练2】将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 【答案】 【分析】设钟表的圆心为，连接，利用切线性质和切线长定理求出，，再在中求解即可． 【详解】解：如图，设钟表的圆心为，连接， ∵A，B所对应的钟表刻度分别是8，4， ∴ ， ∵和均为的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即圆形钟表的半径为． 【跟踪专练3】如图，、分别与相切与，两点，为上一点，连接、、，若，，的半径为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键：连接、，，过点作于，切线的性质结合垂径，定理和解直角三角形，求出的长，进而求出的长，切线长定理结合等边对等角，推出，得到，求出的长，过作于，得到为等腰直角三角形，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可。 【详解】解：连接、，，过点作于， 、分别与相切与，两点， ， ， ， ∵的半径为， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 或不合题意舍去， ， 故选：B． 【题型9.三角形的内切圆】 【典例】如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，在中，，，是的内切圆，为切点，那么的内切圆半径长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内切圆，勾股定理． 根据勾股定理得到，连接，根据为切点可知，设的内切圆半径长为，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，连接， ∵为切点， ∴， 设的内切圆半径长为， ∴， 即， 解得：． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内心的性质，角平分线的性质，连接，过点作，根据三角形内心的性质可得，再根据的面积为，可得，进而可得结果． 【详解】解：连接，过点作， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 【模块二 圆的有关位置的综合问题】 【题型10.切线的性质与判定的综合应用.】 【典例】如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为______． 【答案】// 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【跟踪专练1】如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断． 【详解】解：（1）连接、， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 又是半径， 与相切，（1）结论正确； （2）由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，（2）结论正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，（3）结论正确； （4）四边形是菱形，， ，， ， ，（4）结论错误； 即正确个数有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【题型11.圆的位置关系与几何模型】 【典例】如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，求跷跷板的支撑点到地面的高度的长． 【答案】 【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题． 【详解】解：设长边，短边，O离地面的距离为， 如图所示，由题意得，都与地面垂直， 则， ∴， ∴， ∴， 由得：， 解得， ∴跷跷板的支撑点到地面的高度的长为． 【跟踪专练1】周末，小明、小红和小亮相约去游乐场游玩，他们在乘坐摩天轮时发现，水平地面与摩天轮相切于点M，他们依次从M处登上摩天轮，当小明乘坐的座舱（把座舱看成圆上的一个点）转到M点正上方A点处（即为直径），他发现，自己的位置A、小亮的位置B和地面点D在同一直线上，且自己的位置A、小红的位置C和地面点E在同一直线上．连接，，，请回答下列问题： (1)求证：； (2)若摩天轮的直径高度，，，求小红和小亮的距离的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得，直径对的圆周角是直角得，等弧对等角得，即可证得； （2）先证是等腰直角三角形，求出，，再证，根据相似比求解即可． 【详解】（1）证明：∵水平地面与相切于点M， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵水平地面与相切于点M， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G点，构造模型如图2．通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为． (1)求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度． (2)求出高压线塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)约为13.9米 【分析】（1）连接，设半圆O的半径，由切线的性质得出，再根据正弦的定义得出，解方程即可得出r的值． （2）连接，过点E作于点H．证明四边形是矩形．由矩形的性质得出，，通过解直角三角形计算出，进而可求出． 【详解】（1）解：连接， 设半圆O的半径， 是半圆O的切线， ， 在中，，， ，即， 解得． 故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为． （2）解：连接，过点E作于点H． ∵高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E， ∴， ，（），， 四边形的四个角均为直角．即四边形是矩形． ，． 在中，． （米）． （米）． 答：高压线塔的高度约为米． 【跟踪专练3】【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． (1)求的度数和的度数； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得，结合，根据直角三角形两锐角互余得的度数，由切线的性质得，由圆周角定理得，从而可求出的度数； （2）过点作，由得，得，由勾股定理得，由垂径定理得计算即可； （3）根据点的运动路径得点的运动路径长为的长即可得出结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ， ， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ，； （2）解：过点作，则， ， ，. ， ， ， ， 由勾股定理得， ； （3）解：由题意得，点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中，当点与点重合时，记反射光线与半圆交于点，连接、，如图所示， 由（2）知即， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点的运动路径长为：． 【题型12.圆的位置关系与最值综合】 【典例】在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”了，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎；如图1，“豆腐石磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．它的主要工作部件可以看成一个圆和线段，俯视图如图2所示．如图3，O为石磨的圆心，连接．已知与石磨的边缘交于点D，木柄米，连接，，O、B、C三点共线，A始终在上运动，的半径米，固定点C到石磨边缘距离米． (1)在使用过程中发现，当时，工作最省力，求此时的正切值； (2)石磨转动过程中，的长度是不断变化的，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为米，最小值为米 【分析】本题考查的是圆的基本性质，三角形的三边关系的应用，锐角三角函数的应用，结合图形解题是关键． （1）由，米，木柄米，结合正切的定义解答即可； （2）画出图形，结合点与圆上各点的最大距离与最短距离解答即可； 【详解】（1）解：， ，米， 米， ． （2）解：如图，当点共线时， 的最小值为：米， ；的最大值为：米， ；米米， ∴的最大值为米，最小值为米． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是上一点，且． (1)的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交边于点，过点作于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质、圆外一点到圆上距离的最值、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质、证明三角形相似是解题的关键； （1）根据圆外一点到圆上距离的最值解答即可； （2）证明，求出，进而可得，易得，可得，再利用相似三角形的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴当A、C、D三点共线，且点D是的延长线与的交点时，最大，最大为； 故答案为： （2）解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【跟踪专练2】如图，的半径为1，为直径，点C在上，过点C的切线与的延长线交于点A，且． (1)求的度数； (2)通过计算比较的直径和劣弧的长度的大小； (3)点E在下方的圆上运动（不与点B，D重合），过点C作的垂线，与的延长线交于点F．在点E运动过程中，求的最大值． 【答案】(1) (2)的长度更长 (3)的最大值是 【分析】（1）连接，如图，由是圆O的切线，可得，根据直角三角形和等边三角形的判定可得三角形是等边三角形，可得，于是可得答案； （2）根据弧长公式可求出的长度，再比较即可得出结果； （3）由于点E运动过程中，始终有，则，故当最大时，最大，当为圆O的直径时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵是圆O的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵的半径为1， ∴直径，的长， 由于， ∴的长度更长； （3）解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴点E运动过程中，始终有， ∵， ∴当最大时，最大， ∴当为圆O的直径时，最大，此时的最大值是． 【跟踪专练3】.看图按要求完成下面各题． (1)如图①，等边的边长为6，则该等边三角形的外接圆半径长为______． (2)如图②，在中，，，点D、E、F分别在边、和上，，若点为边的中点，，求的长度． (3)如图③，在中，，，等边的三个顶点分别为、、上．该等边三角形的面积存在最大值，请直接写出面积最大值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）先画出外接圆的圆心，再根据的直角三角形得到半径长； （2）利用对角互补模型的处理构造辅助线，得到全等三角形，从而得到的长； （3）先将的最大值转化成的最大值，再利用的外接圆得到的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则点为等边的外接圆的圆心， ∵等边的边长为6， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该等边三角形的外接圆半径长为． （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接， ∴， ∵，，点为边的中点，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴等边的面积为， 同（2）可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴等边的面积， ∴当取得最大值时，的值最大， 作的外接圆，连接， ∵， ∴， ∴， 过点作的垂线，垂足为点，垂线交于点，连接，， ∴，， ∴，，， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴， ∴点共线， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】题（2）的思路：从对角互补全等模型出发，正确构造辅助线；题（3）的思路：将求三角形的面积最大值转化为求某条线段的最大值，再结合外接圆的性质确定最大值． 【题型13.圆的位置关系与动态探究综合】 【典例】如图，是的直径，弦于点E，连接，过点C作的切线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点G．若，，则________，________． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得到，结合，是的直径，，得到，求出，即可得到；设，证明，得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，是的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设， ∵，则， ∵是的切线，是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交⇔，②直线和相切⇔，③直线l和相离⇔． 连接CP，交于，取中点，证明点到的距离等于小于即可得出结论． 【详解】解：连接CP，交于，取中点， 由折叠可得，，． ∴，即是以为直径的圆的半径. ∵， ∴， ∴点到的距离等于， ∵， ∴点与的中点不重合， ∴， ∴以为直径的圆与直线的位置关系是相交． 故选A． 【跟踪专练2】已知正方形边长为分别是上的动点，且于点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】连接，先求得，证明得出，设，根据已知条件证明四点共圆，得出，进而可得，则在以为圆心为半径的圆弧上运动，进而可得当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，正方形边长为 ∴，， ∵ ∴， ∴ 设 ∴， ∵ ∴ ∴四点共圆 ∴ ∴ ∴ ∴在以为圆心为半径的圆弧上运动， ∴当在上时，取得最小值，最小值为 【跟踪专练3】如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为边上的中线，且满足可得，即，即可证明结论； （2）连接，在中计算出的长，再证明即可求解． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵都在上， ∴为的直径． （2）解：∵的半径为3，为的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【题型14.圆的位置关系与新定义综合】 【典例】[概念学习]圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图，直线切于点，是弦，则，都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． (1)[性质探索]弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系： (2)[性质应用]如图，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【答案】(1)，见解析； (2)见解析． 【分析】（）连接并延长，交于点，连接，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证； （）连接，，，由（）结论可知，，又，所以，从而可得，所以，则，即，证明，所以，即，又，，则有，，根据切线长定理得，则，即，由式即可求证． 【详解】（1）解：， 证明：如图，连接并延长，交于点，连接， ∵与切于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，， ∵是过圆外一点作的圆的两条切线， 由（）结论可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是过圆外一点作的圆的两条切线， ∴， ∴，即， 结合式可得即， ∴， ∴点为线段的中点． 【跟踪专练1】综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 【答案】（1）筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等；（2）见解析；（3）成立，理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等； 故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， ， ∴， ， ∴四边形是筝形； （3）解：四边形是筝形； 理由：如图2，连接， . 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A，E在线段的垂直平分线上， ， ， 点O在以为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为． ∵正方形的边长为6，， ，M为的中点， ，， 的最小值． 【跟踪专练2】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，平分，连接，．显然、是半直角三角形． (1)判断：_______半直角三角形（填“是”或“不是”）； (2)求证：； (3)若点D的坐标为，求的长； (4)在（3）的条件下，设交于点F，求与的面积之比． 【答案】(1)是 (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据题中所给“半直角三角形”的定义可直接进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据四点共圆可知，进而问题可求解； （3）连接，设的半径为r，然后根据勾股定理可建立方程，则有，最后根据勾股定理可进行求解； （4）由题意易得，则有，然后可得，延长交于点G，过点A作于H，如图2，进而通过证明，即根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∴是半直角三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D、B、A、E四点共圆， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图1，连接，设的半径为r， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点G，过点A作于H，如图2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【跟踪专练3】对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”． (1)线段关于点的“垂直图形”为线段． ①若点的坐标为，则点的坐标为_____． ②若点的坐标为，则点的坐标为_____． (2)，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解； （2）①过点作轴于，轴于，证明得到，，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义可知，满足条件的点在第一象限的上时取得最大值，与原点重合时取得最小值，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①如图： 点的坐标为，点坐标为， ； ②当时，如图，； （2）解：①作轴于，轴于，则， ， 点关于点的“垂直图形”为， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， 点的坐标为； ②如图，观察图象可知，满足条件的如图中阴影部分， 当点在第一象限的上，取得最大值， 则，， ， 解得：， ， ， ， 的最大值为， 当与原点重合时，取得最小值， 此时， 的最小值为， 综上所述，的取值范围为． 【题型15.圆的位置关系与实际应用综合】 【典例】石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的应用，关键是掌握切线的判定定理，利用全等三角形证明垂直关系，结合直角三角形的特殊性质建立方程求解． （1）通过连接，利用平行线性质、等腰三角形性质证明，得到，从而证明，证得是的切线； （2）先由的值得出，利用切线长定理得到，再结合三角函数求出的长度，利用直角三角形中角的性质得到，结合的表达式建立方程求解半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即，解得， 故的半径长为2． 【跟踪专练1】科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点P是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点P，且与相切于点D．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点B，延长交于点A，C为下方的上一点，且，在图1的条件下，若D为的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解． （2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图（1），连接，先作的垂直平分线， 再以的中点为圆心，为半径作弧，交于点， （直径所对圆周角为）， 即， 直线即为所求作的直线； （2）解：如图， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又， ． 【跟踪专练2】装有水的半圆柱体水槽放置在水平台面上，图1，图2是其横截面，是半圆的直径，为水面截线，为台面截线，且，直径． 【问题解决】 （1）在图1中，已知，作于点，求的长． 【操作探究】将图1中的半圆水槽沿向右滚动倾斜，使水流出一部分后，当时停止滚动，此时点与点重合，如图2，设半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （2）则操作后水面高度下降了多少； （3）连接并延长交于点，求线段长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（）连接，由垂径定理得，再利用勾股定理即可求解； （）由切线的性质得，进而由平行线的性质得，即得，再利用直角三角形的性质求出即可求解； （）由直角三角形的性质可得，由弧弦圆心角的关系可得，即得，进而即可求解． 【详解】（）解：连接，如图， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； 即的长为； （）解：∵与半圆的切点为， ∴， ∵， ∴于点， ∴， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为； （）解：∵，， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质，弧弦圆心角的关系，解直角三角形，弧长公式，掌握以上知识点是解题的关键． 【跟踪专练3】综合与实践： 左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题： (1)点P与圆O的位置关系是： ； (2)求的长以及扇形的面积；（结果保留） (3)当时，求此时点P到直线的距离： (4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值． 【答案】(1)点P在圆O上 (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意判断即可得出结果； （2）由勾股定理可得，由垂径定理可得．再证明为等边三角形，得出，再由弧长公式和扇形面积公式计算即可得出结果； （3）连接，过点P作，垂足为D，由题意得，解直角三角形得出，求出， 再解直角三角形得出， 最后再由计算即可得出结果； （4）延长交于点C，则点C为最高点，由题意可得当点P在上，此时点P是切点，连接，则， 解直角三角形得出，，求出， ，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：点P与圆O的位置关系是：点P在圆O上， 故答案为：点P在圆O上； （2）解：∵在中， ， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为，扇形的面积； （3）解：连接，过点P作，垂足为D， 由题意得：， 在中， ，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴5秒后，点P到直线的距离是； （4）解：延长交于点C，则点C为最高点， ∵点P在上，且与相切， ∴当点P在上，此时点P是切点， 连接，则， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由知：， ∴， ， ∴， ∴当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，t的值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、切线的性质、垂径定理、解直角三角形、弧长公式、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型16.圆的位置关系与函数结合综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中,的斜边在y轴上，边与x轴交于点平分，交边于点E，经过点，E的圆的圆心F恰好在y轴上,与y轴相交于另一点G． (1)求证：是的切线； (2)若点A的坐标为，点D的坐标为，求的半径； (3)直接写出线段之间满足的数量关系，不用证明． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 (3) 【分析】（1）如图1，连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）如图2，连接，设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作于R，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图平分，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， 设的半径为r， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的半径为5． （3）解：． 证明：过F作于R， 则，又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【答案】(1) (2) (3)外 (4) 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； （4）利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，圆锥的侧面展开图的扇形圆心角，再根据圆锥底面底面周长等于侧面展开图扇形弧长即可求出半径． 【详解】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：， （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 设圆锥底面的半径为，可得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 【跟踪专练2】.如图，以为圆心，为半径的与轴交于，两点，与轴的负半轴交于点，抛物线经过，，三点．点为射线上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的函数解析式，并直接写出抛物线与的另一个交点的坐标； (2)当，，三点共线时，求点的坐标； (3)当位于线段上时，设的面积为，求的最大值； (4)以为圆心，的长度为半径作，若与一条坐标轴相切，请直接写出的半径． 【答案】(1)，点的坐标 (2) (3) (4)的半径为或或6 【分析】（1）根据条件求出，，的坐标代入解析式求出，，得出抛物线的函数解析式，利用抛物线与圆的对称性写出点的坐标； （2）求出直线，的解析式，，，三点共线时，就是两条直线的交点为，即得到点的坐标； （3）设出，点的坐标线段最长时，得到的面积为最大值； （4）分类讨论分别与，轴相切时的半径． 【详解】（1）解：以为圆心，为半径的与轴交于，两点，与轴的负半轴交于点， ， ，，， ， ， 解得， 抛物线的函数解析式：， 把代入解析式得出， ， ，关于直线对称， 点的坐标； （2）分别设直线，的解析式为：，， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 由， 解得， 当，，三点共线时，； （3）设点，则点． ， 的面积为：， ， 抛物线开口向下， 时，的面积最大； （4）为圆心，的长度为半径作，若与一条坐标轴相切，点为射线上的一个动点， 由（3）知， ，或 当圆与轴相切时，若点在第四象限即时， ， 解得，则， 若点在第一象限即时，，无解， 当圆与轴相切时，， 若点在第四象限即时， ，解得， ， 若点在第一象限即时， ，解得， ， 综合得的半径为：或或． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”． (1)已知点，求点的“关联三角形”的面积； (2)如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围； (3)已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）根据“关联三角形”的定义求得，，利用三角形的面积公式求解即可； （2）分两种情况，画出图形，根据“关联三角形”的定义、切线的性质找到临界点，利用数形结合即可求解； （3）分两种情况，当与相切时，与相切时，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解． 【详解】（1）解：∵点关于x轴的对称点为，点A关于y轴的对称点为， 点的“关联三角形”的面积； （2）解：如图，作的外切四边形，点、是点D关于坐标轴对称的点， 的圆心为，半径为2． ，    如图，连接交于D，点、是点D关于坐标轴对称的点， 的圆心为，半径为2， ∴，与x轴的夹角为， ∴， ∴点D的横坐标为， ∵点的“关联三角形”与有公共点，且点， ∴； （3）解：当与相切于点E时，如图：   ， ， ， ， ∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点； 当与相切于点F时，如图：   ， ， ∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点； 综上，点P的“关联三角形”与有四个公共点，的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，理解新定义含义，添加辅助线，根据切线的性质找到临界点，利用数形结合是解题的关键． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26与圆有关的位置关系突破讲义 【模块一 圆的有关位置关系】......................................4 【题型01 点与圆的位置关系】......................................4 【题型02 三角形的外接圆】........................................5 【题型03 确定圆的条件】..........................................6 【题型04 直线与圆的位置关系】....................................6 【题型05 证明直线是圆的切线】....................................7 【题型06 切线性质的计算与证明应用】..............................9 【题型07 切线问题的实际场景求解】...............................10 【题型08 切线长定理】...........................................11 【题型09 三角形的内切圆】.......................................12 【模块二 圆有关位置关系的综合问题】.............................13 【题型10 切线的性质和判定的综合应用】...........................13 【题型11 圆的位置关系与几何模型】...............................14 【题型12 圆的位置关系与最值综合】...............................15 【题型13 圆的位置关系与动态探究综合】...........................17 【题型14 圆的位置关系与新定义综合】.............................18 【题型15 圆的位置关系与实际应用综合】...........................21 【题型16 圆的位置关系与函数结合综合】...........................23 分值占比：与圆有关的位置关系是中考几何核心必考板块，总分值约6-12 分，覆盖选择、填空、解答（证明 / 计算）三类题型。其中基础题侧重概念辨析，中档题聚焦位置关系判定与计算，难题多以切线证明为核心结合综合几何求解，是几何模块中区分度较高的核心内容。 常考考点：核心涵盖三类位置关系判定与应用：①点与圆的位置关系（点在圆内 / 上 / 外，依据点到圆心距离d与半径r的大小关系）；②直线与圆的位置关系（相离、相切、相交，依据圆心到直线距离d与半径r的大小关系），其中切线的性质与判定为高频核心考点，配套切线长定理、三角形内切圆（内心）相关应用；③圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含，依据两圆圆心距d与半径、的数量关系，部分地区必考）。同时涉及位置关系与勾股定理、三角函数、全等 / 相似三角形的综合计算，以及弦长求解、角度推导等六大核心方向。 命题趋势：基础题（选填前半段）侧重位置关系直接判断、d与r的数量关系转化，多为送分题型；中档题（选填中段 / 解答中档问）侧重切线判定与性质的规范推导，常结合 “连半径证垂直”“作垂直证半径” 的核心方法，配套弦长、角度计算；难题（解答压轴 / 选填压轴）多以切线为载体，重圆与三角、四边形、坐标系的综合运用，侧重动态几何、分类讨论（如两圆位置关系的多解情况）及核心模型（内心、切线长）的综合应用，是拉开分数差距的关键。 ★知识梳理★. 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d。 常见应用： 判断点的位置：直接计算距离 d 与半径 r 比较。 直角三角形外接圆：直角三角形的外心是斜边中点，外接圆半径 R=2边✨知识点02:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 位置关系 相离 相切 相交 数量关系 d>r d=r d<r 公共点个数 0 个 1 个 2 个 图形特征 直线与圆无交点 直线与圆仅有一个交点，这条直线叫切线 直线与圆有两个交点，这条直线叫割线 核心考点 - 切线的判定与性质： 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 【模块一 圆的有关位置关系】 【题型1.点与圆的位置关系】 【典例】已知的半径为1．若点P在圆O外，则________．（填“<”“>”或“=”） 【跟踪专练1】如图，中，弦的长为，点在上，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【跟踪专练3】如图，是半的直径，点在半上，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【题型2.三角形的外接圆】 【典例】.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【跟踪专练1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】点为的外心，且，则的度数为______． 【跟踪专练3】在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【题型3.确定圆的条件】 【典例】如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________． 【跟踪专练1】如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【跟踪专练2】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【跟踪专练3】设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【题型4.直线与圆的位置关系】 【典例】如图，在中，，若以点C为圆心，r为半径画，请根据下列条件填空： （1）若，则点A与的位置关系是__________，点B与的位置关系是__________； （2）若直线AB与至少有一个交点，则r的取值范围为__________． 【跟踪专练1】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【跟踪专练3】如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（    ）． A． B．若与相切，则 C．若，则与相切 D．和的距离为 【题型5.证明直线是圆的切线】 【典例】下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是________． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 【跟踪专练1】如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【跟踪专练3】如图，在中，，D是BC边上一点，连接AD，以AD为直径作．下列条件不能判定BC为切线的是（    ） A．点D是BC的中点 B．AD平分 C． D． 【题型6.切线性质的计算与证明应用】 【典例】如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图，四边形内接于，，过点A的切线与的延长线交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为1，则_____． 【跟踪专练3】如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（       ） A． B． C． D． 【题型7.切线问题的实际场景求解】 【典例】如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 【跟踪专练1】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．是否穿过古建筑保护群？为什么？（参考数据：） 【跟踪专练2】如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？ 【跟踪专练3】已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米． (1)请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段； (2)求这个圆形物体的半径长． 【题型8.切线长定理】 【典例】如图，，是的切线，切点分别是A，B．若，，则_____ ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【跟踪专练2】将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 【跟踪专练3】如图，、分别与相切与，两点，为上一点，连接、、，若，，的半径为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【题型9.三角形的内切圆】 【典例】如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，在中，，，是的内切圆，为切点，那么的内切圆半径长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【跟踪专练2】如图，点是的内心，过点作，垂足为点．如果的面积为，那么的周长为__________． 【跟踪专练3】如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【模块二 圆的有关位置的综合问题】 【题型10.切线的性质与判定的综合应用.】 【典例】如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为______． 【跟踪专练1】如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为_____．    【跟踪专练3】如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【题型11.圆的位置关系与几何模型】 【典例】如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，求跷跷板的支撑点到地面的高度的长． 【跟踪专练1】周末，小明、小红和小亮相约去游乐场游玩，他们在乘坐摩天轮时发现，水平地面与摩天轮相切于点M，他们依次从M处登上摩天轮，当小明乘坐的座舱（把座舱看成圆上的一个点）转到M点正上方A点处（即为直径），他发现，自己的位置A、小亮的位置B和地面点D在同一直线上，且自己的位置A、小红的位置C和地面点E在同一直线上．连接，，，请回答下列问题： (1)求证：； (2)若摩天轮的直径高度，，，求小红和小亮的距离的长． 【跟踪专练2】如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G点，构造模型如图2．通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为． (1)求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度． (2)求出高压线塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【跟踪专练3】【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． (1)求的度数和的度数； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 【题型12.圆的位置关系与最值综合】 【典例】在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”了，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎；如图1，“豆腐石磨”是我国古人制作豆腐的重要的生产工具，更是劳动人民智慧的结晶．它的主要工作部件可以看成一个圆和线段，俯视图如图2所示．如图3，O为石磨的圆心，连接．已知与石磨的边缘交于点D，木柄米，连接，，O、B、C三点共线，A始终在上运动，的半径米，固定点C到石磨边缘距离米． (1)在使用过程中发现，当时，工作最省力，求此时的正切值； (2)石磨转动过程中，的长度是不断变化的，求的最大值和最小值． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点是上一点，且． (1)的最大值为 ； (2)若与相切，延长，交边于点，过点作于点，求的长． 【跟踪专练2】如图，的半径为1，为直径，点C在上，过点C的切线与的延长线交于点A，且． (1)求的度数； (2)通过计算比较的直径和劣弧的长度的大小； (3)点E在下方的圆上运动（不与点B，D重合），过点C作的垂线，与的延长线交于点F．在点E运动过程中，求的最大值． 【跟踪专练3】.看图按要求完成下面各题． (1)如图①，等边的边长为6，则该等边三角形的外接圆半径长为______． (2)如图②，在中，，，点D、E、F分别在边、和上，，若点为边的中点，，求的长度． (3)如图③，在中，，，等边的三个顶点分别为、、上．该等边三角形的面积存在最大值，请直接写出面积最大值． 【题型13.圆的位置关系与动态探究综合】 【典例】如图，是的直径，弦于点E，连接，过点C作的切线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点G．若，，则________，________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【跟踪专练2】已知正方形边长为分别是上的动点，且于点，则的最小值是_____． 【跟踪专练3】如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 【题型14.圆的位置关系与新定义综合】 【典例】[概念学习]圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图，直线切于点，是弦，则，都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． (1)[性质探索]弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系： (2)[性质应用]如图，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【跟踪专练1】综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 【跟踪专练2】我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，（A、D、C按顺时针方向排列），与经过A、B、D三点的交于点E，平分，连接，．显然、是半直角三角形． (1)判断：_______半直角三角形（填“是”或“不是”）； (2)求证：； (3)若点D的坐标为，求的长； (4)在（3）的条件下，设交于点F，求与的面积之比． 【跟踪专练3】对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”． (1)线段关于点的“垂直图形”为线段． ①若点的坐标为，则点的坐标为_____． ②若点的坐标为，则点的坐标为_____． (2)，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围． 【题型15.圆的位置关系与实际应用综合】 【典例】石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【跟踪专练1】科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点P是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点P，且与相切于点D．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点B，延长交于点A，C为下方的上一点，且，在图1的条件下，若D为的中点，求的度数． 【跟踪专练2】装有水的半圆柱体水槽放置在水平台面上，图1，图2是其横截面，是半圆的直径，为水面截线，为台面截线，且，直径． 【问题解决】 （1）在图1中，已知，作于点，求的长． 【操作探究】将图1中的半圆水槽沿向右滚动倾斜，使水流出一部分后，当时停止滚动，此时点与点重合，如图2，设半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． （2）则操作后水面高度下降了多少； （3）连接并延长交于点，求线段长度． 【跟踪专练3】综合与实践： 左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题： (1)点P与圆O的位置关系是： ； (2)求的长以及扇形的面积；（结果保留） (3)当时，求此时点P到直线的距离： (4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值． 【题型16.圆的位置关系与函数结合综合】 【典例】如图，在平面直角坐标系中,的斜边在y轴上，边与x轴交于点平分，交边于点E，经过点，E的圆的圆心F恰好在y轴上,与y轴相交于另一点G． (1)求证：是的切线； (2)若点A的坐标为，点D的坐标为，求的半径； (3)直接写出线段之间满足的数量关系，不用证明． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，点为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)的半径为______；（结果保留根号） (3)点在______；（填“上”、“内”或“外”） (4)扇形刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为____． 【跟踪专练2】.如图，以为圆心，为半径的与轴交于，两点，与轴的负半轴交于点，抛物线经过，，三点．点为射线上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的函数解析式，并直接写出抛物线与的另一个交点的坐标； (2)当，，三点共线时，求点的坐标； (3)当位于线段上时，设的面积为，求的最大值； (4)以为圆心，的长度为半径作，若与一条坐标轴相切，请直接写出的半径． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”． (1)已知点，求点的“关联三角形”的面积； (2)如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围； (3)已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $