专题6.2 与圆有关的位置关系（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题6.2 与圆有关的位置关系（举一反三复习讲义） 【6个知识点+2大考点+14个题型】 【考点一 圆的有关位置关系】 2 【题型1 点与圆的位置关系】 2 【题型2 确定圆的条件】 7 【题型3 三角形的外接圆】 10 【题型4 直线与圆的位置关系】 13 【题型5 证明直线是圆的切线】 15 【题型6 利用切线的性质进行计算与证明】 21 【题型7 切线的实际应用问题】 26 【题型8 切线长定理】 34 【题型9 三角形的内切圆】 42 【考点二 圆的有关位置关系的综合】 47 【题型10 利用点到圆的位置关系求最值】 47 【题型11 切线的性质与判定综合问题】 52 【题型12 切线的有关基本作图问题】 62 【题型13 圆的有关位置关系新定义问题】 67 【题型14 圆的有关位置关系与函数综合问题】 80 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握点与圆的三种位置关系（点在圆内/上/外）及其判定方法（d与r的比较）；理解直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及判定；熟练掌握切线的性质（垂直于过切点的半径）与判定（过半径外端且垂直半径）；了解切线长定理及圆与圆的位置关系（五类，d与R、r的关系）。 切线的性质与判定是中考几何的必考核心，常以解答题形式出现，占分较高。考查重点在于准确判定切线并灵活运用其性质进行推理证明。切线长定理常与勾股定理结合求线段长度。圆与圆的位置关系多以选择题出现，难度较低。 证明切线时，常用两种思路：连半径证垂直（已知直线过圆上一点）或作垂直证半径（未明确公共点）。利用切线性质时，连接圆心与切点构造直角三角形是常见辅助线。遇切线长问题，常得到线段相等及角平分关系，结合方程思想求解未知量。 【考点一 圆的有关位置关系】 知识点1 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点2 三角形的外接圆 1. 圆的确定 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 2. 三角形的外接圆 （1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． （3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． （4）三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 知识点3 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点4 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 知识点5 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点6 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型1 点与圆的位置关系】 【例1】（2025浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可． 先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， ，， ，， 点在内、点在外． 故选：C． 【变式1-1】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 【变式1-2】（2025·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为_______ ． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为出发，因为，所以点D必定在以直径的圆上．作出圆后，找到符合要求的横坐标最大的点即可． 【详解】解：如图，以为直径作圆， 设中点为点E，点O关于点E的对称点为点F， ， 由题意可知，点A坐标为，点B坐标为， 由勾股定理可知，， ∵点E为中点， ∴点E坐标为， ∵， ∴点O在上， ∵点O与点F关于点E的对称， ∴点F也在上， ∵点是弦的“可及点”， ∴， ∴点是在上， ∵点关于的对称点在上或其内部， ∴点是在弧上（不与点A和点B重合）， 当轴时，点的横坐标最大， ∵， ∴点D坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理和勾股定理，掌握好圆的基本性质是解题关键． 【题型2 确定圆的条件】 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 【变式2-2】（2025河北张家口·模拟预测）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【变式2-3】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2)见解析 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【详解】（1）解：如图，若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜”， 故答案为：七 （2）如图所示，即为所求 【题型3 三角形的外接圆】 【例3】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 【变式3-1】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 【变式3-2】（2025·宁夏银川·二模）如图，点分别是的外心和内心，连接．若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得． 【详解】解：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了外接圆的性质，两点间的距离，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由，，都在上，得点P在y轴上，设，根据两点间的距离即可求出b的值，则圆心，得到，设，则，再转化为一元二次方程的根的判别式即可求解． 【详解】解：是的外接圆， 点在、、垂直平分线的交点上，， ，， 点在轴上， 设， ， ， 圆心的坐标为， 是其外接圆上任意一点， ， ， 设，则， ， 整理得， 为实数， ， 解得， 的最大值为． 故答案为：． 【题型4 直线与圆的位置关系】 【例4】（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是(        ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系．根据圆与直线的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断交点个数． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ， 直线与相离，没有交点． 故选：A． 【变式4-1】（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 【变式4-2】（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间． 【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 【变式4-3】（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 【题型5 证明直线是圆的切线】 【例5】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【变式5-2】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 【变式5-3】（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明结论； （2）证明，求出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点F， ∴, ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 即 ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是关键． 【题型6 利用切线的性质进行计算与证明】 【例6】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 【变式6-1】（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 【变式6-2】（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 【题型7 切线的实际应用问题】 【例7】（2025·广东广州·中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可． 【详解】解：∵AC与BC是圆的切线， ∴OA⊥AC，OB⊥CB， ∴∠OAC=∠OBC=90°， ∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=180°-60°=120°， ∵OB=24cm, ∴=cm． 故选择B． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式是解题关键． 【变式7-1】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质．圆O与相切时的角落时到达不了的地方，设，，则，，再有等积法求a的值，再求面积即可． 【详解】解：与相切时的角落是到达不了的地方， ，过点作交于点，过点作， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故不能被该圆形铁片到达的部分的面积是． 故答案为：． 【变式7-2】（2025·福建龙岩·模拟预测）综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 【答案】任务一：任务二：见解析 任务三：最小规格矩形边长为、或． 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解， 任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取点，再以为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同； 任务三：分两种情况：①在上取一点使，以为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点作，则矩形为最小规格矩形；②当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；利用等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点，    ，， ， ， ，， ， 任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．    任务三：分两种情况： ①如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形， ∵，，， ∴，，， ∵当与矩形两边相切， ∴最小规格矩形的边长为、； ②如图，当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接； 由题意知，，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 同理：， ∴， 此时最小规格边长分别为； 综上，最小规格矩形边长为、或． 【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【变式7-3】（2025·陕西西安·一模）某 数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下： 【任务一】在如图的矩形板材中，，取边上一点E，，请你帮该数学兴趣小组在边上找一点F，连接，使得线段平分矩形的面积，则线段的长为 ． 【任务二】在完成任务一后，取线段的中点O，点 M和点N是线段上两点，且（M 在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段上找一点P，连接和，使得角度最大，请帮该数学兴趣小组计算，当角度最大时，的值． 【任务三】在任务二的结论下，线段的左侧是否存在点Q，连接和，使得， 且满足四边形的面积最大，若存在，求出四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】[任务一] ；[任务二]；[任务三] 存在，四边形的面积最大值为 【分析】[任务一]：连接交于点，过点作于点，由于矩形是中心对称图形，故当经过对称中心时，线段平分矩形的面积，在由平行线间距离相等得到，同理可得：，最后由勾股定理即可求解； [任务二] 作的外接圆，记作，在上取点，连接交于点，则，故当与相切时，最大，连接，则，连接，证明，则，故，则，由勾股定理逆定理得到，则，因此，二，那么； [任务三] 作关于的对称圆，记为，则点在优弧上，则，连接，作于点，于，由于，故当点三点共线时，最大，且为，此时，可求，则，因此． 【详解】[任务一]解：连接交于点，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，且为中心对称图形，， ∴当经过对称中心时，线段平分矩形的面积， ∴由对称性得， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （2）作的外接圆，记作，在上取点，连接交于点， ∴， ∴当与相切时，最大，连接，则，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； [任务三]解：存在，理由如下： 作关于的对称圆，记为，则点在优弧上， ∴， 连接，作于点，于， ∵，， ∴由勾股定理得：， 由对称得： ∵， ∴当点三点共线时，最大，且为， ∴此时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在，四边形的面积最大值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度很大，识别“米勒圆”和“定弦定角”模型是解题的关键． 【题型8 切线长定理】 【例8】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 【变式8-1】（2025·湖北武汉·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，切线长定理，勾股定理，设与相切于点，正方形的边长为，可得，，，设，，则，，，由勾股定理得，即得，又由，可得，即得，得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设与相切于点，正方形的边长为， ∵是切线， ∴，，， 设，，则，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 【变式8-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，扇形分别与和的延长线相切，切点分别为和，扇形与交于点M，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求扇形面积，相似三角形的判定和性质，切线长定理，解直角三角形等．过点A作，交于点F，过点B作于点G，根据切线长定理，可得，可得到是等腰直角三角形，进而得到是等腰直角三角形，设，根据，可得，再由勾股定理可得，再根据，可得，设半径为r，则，，然后根据，求出r，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，交于点F，过点B作于点G， ∵扇形分别与和的延长线相切， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴阴影部分的面积是． 故选：A 【变式8-3】（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型9 三角形的内切圆】 【例9】（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 【变式9-1】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式9-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：C． 【变式9-3】（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为______． 【答案】，，，， 【分析】本题考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质及勾股定理，先求出三角形内切圆半径及长，再分情况讨论，根据相似三角形性质求出即可． 【详解】如图，连接、、， 中，， ， 设，则，，， ， 解得， 当次前进后，点前进的距离是，点前进的距离是， ①当时， ， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，；时，； ②当时， ， ， ， 整理，可得， 为正整数且， 时，；时，； 综上，可得所有满足条件的为、、、16、32． 故答案为：、、、16、32． 【考点二 圆的有关位置关系的综合】 【题型10 利用点到圆的位置关系求最值】 【例10】（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 【变式10-1】（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为4，，为边上的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧， 如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是， ∴， ∴， ∴， 即线段长度的最大值是， 故选：C． 【变式10-2】（2025·江苏连云港·三模）如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，易得，进而得到，根据，得到，进而得到，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，在上截取，连接并延长至点，使，连接，取的中点，连接，作于点，如图，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴，， ∴当三点共线时，的值最大， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最大值为； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，求一点到圆上一点的最值问题，熟练掌握掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定动点的轨迹，是解题的关键． 【变式10-3】（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 【题型11 切线的性质与判定综合问题】 【例11】（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是菱形，理由见详解 【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答． （2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）解：左边同学的思路： 过点O作，连接，，如图所示： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 右边同学的思路： 连接，并延长交于点F，如图所示： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，记切点为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式11-1】（2025·山东济南·三模）如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，再根据三角形相似即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ． （2）解：∵， 设，则， ， 设的半径为，则， 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴的半径为 3 ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，涉及相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【变式11-2】（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． 【答案】（1）这个命题是真命题，见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明原命题正确，再证明，又由是半径，则为的切线．即可证明命题是真命题； （2）如图，在上截取，连接，作于点，证明，则，证明，则，证明，则，即可证明结论成立； 【详解】教材原题：证明：如图，连接， ， ， 与相切于， ， ， ， ， ， 平分， （1）解：这个命题是真命题，理由如下： 如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， ∴为的切线． （2）解：． 理由如下：如图，在上截取，连接，作于点， ∵平分． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，添加合适的辅助线是解题的关键． 【变式11-3】（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 【答案】发现：相切；探究：（1）；（2）；拓展：． 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，求弧长，熟练掌握相关知识是解题的关键． 发现：由折叠的性质可得，则可证明为中间圆的直径，再由折叠的性质可得，则可证明，据此根据切线的判定定理可得结论； 探究：（1）取中点O，连接，则点O为圆心，求出，由圆周角定理得到．由折叠的性质可得，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，则．据此根据弧长公式求解即可； （2）连接，如图所示，则，进而可得，由勾股定理得到．解直角三角形即可求出． 拓展：如图，作于点H．则，解直角三角形可得，，进而可求出，同理可证明四边形是矩形，则，进而可求出，则，即可得到． 【详解】解：发现：由折叠的性质可得， ∴一定经过正方形的中心， ∴为中间圆的直径， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴与圆相切； 探究：（1）如图，取中点O，连接，则点O为圆心， 是切线， ，即， ， ∴ ∴． 由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴． 的长为：． （2）连接，如图所示， ∵是的直径， ∴， ∴， ， ∴． ，即． ． 拓展：如图，作于点H．则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型12 切线的有关基本作图问题】 【例12】（2025·河南郑州·模拟预测）在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： 连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）； 作直线交于点； 以点为圆心，为半径作，交于点点（位于直线的上侧）； 作直线，交于点，则直线即为所求作直线． 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，请说明是切线； (3)若半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）根据题意步骤作图即可； （）由圆周角定理得，结合是半径即可得证； （）先求出，由作图知，直线是的垂直平分线，所以，最后利用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示；   ， （2）解：理由：连接，    由作图知，是的直径， ∴， ∵是的半径， ∴是切线； （3）解：连接，由（）知，，    ∵，， ∴， 由作图知，直线是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式12-1】（2025·吉林长春·三模）如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹． (1)图①中，先画出圆心O，然后作经过B点的切线 (2)图②中，在上画点D，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于O，则此点为圆心；取点F，连接，则为圆的切线； （2）取格点，连接交圆于点，则． 【详解】（1）解：如图，点为圆心，为圆的切线； （2）解：如图，点即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理、切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式12-2】（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，的半径为，过点作的切线； (2)在图②中，的半径为2，过点作的两条切线； (3)在图③中，的半径为2，过点作的两条切线． 【答案】(1) 见详解 (2) 见详解 (3) 见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理以及直径所对的圆周角是直角的性质．解题的关键在于理解切线的判定定理，并利用定理在格点上构造直角三角形来确定切线的位置．构造直角，根据切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角即可画出切线． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）如图，直线即为所求作的直线； （3）如图，直线即为所求作的直线． 【变式12-3】（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画出一条恰好平分周长的直线； (2)在图2中画出的外接圆的一条切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据网格即可画出的外接圆的一条切线； 【详解】（1）解：如图1，直线l即为所求； （2）解：如图2，切线即为所求，理由如下： 由题意，则是直径， ，，， 即， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴为圆的切线． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型13 圆的有关位置关系新定义问题】 【例13】（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，通过计算判断是否在或上，即可得出结论；②根据“赋能点”的定义可得直线与或有交点，再根据直线与、的位置关系讨论即可求解； （2）将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，根据“赋能点”的定义可得线段与或有交点，再根据线段与、的位置关系讨论即可求解． 【详解】（1）解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， ，， 点在上，点在上， 点是的“赋能点”， ，， 点不在上，也不在上， 点不是的“赋能点”， 综上所述，的“赋能点”是． 故答案为：． ②直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， 直线上存在点，使点为的“赋能点”， 直线与或有交点， 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 连接、，则有， ， 又， ， ， ， ， 点在直线上， ， ； 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 同理可得，， 点在直线上， ， ； 的取值范围为． （2）解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， 线段上存在点，使点为的“赋能点”， 线段与或有交点， 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 结合图象得，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、解直角三角形、直线与圆的位置关系、一次函数的性质，理解“赋能点”的定义是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 【变式13-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)如图②，若，以为直径作． ①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； ②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①是的切线，理由见解析；② 【分析】（）连接，由切线长定理可得，，，再证明，可得，即得，进而可得，得到，即可求证； （）①证明四边形是矩形，可得，即得，即可求证；②连接，由切线的性质得，由可得，即得，进而得到，可得，再根据得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的内切圆，切点分别记为，，， ∴，，，，，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：①是的切线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ②连接， ∵是的切线，切点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质和解题的关键． 【变式13-2】（2025·江西抚州·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦“可及点”． (1)如图，点，．在点，，中，点_____是弦的“可及点”，其中_____； (2)若点D是弦的“可及点”，求点D的横坐标的最大值． 【答案】(1)，45 (2) 【分析】（1）作出关于的对称圆，根据题意可得点应在的圆内或圆上，可证明，利用勾股定理分别求出三个点到的距离即可得到答案； （2），取中点为H，连接，可证明点在以为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），则当轴时，点D横坐标最大，求出的长和即可得到答案． 【详解】（1）解：作出关于的对称圆， 若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦AB的“可及点”， 点应在的圆内或圆上， 点，， ， ， ， 由对称得：， ∴，即， ， ∵，，， ∴，故在外，不符合题意； ，故在上，符合题意； ，故在外，不符合题意， 点是弦的“可及点”， ∵，，三点共线， ， 故答案为：，45； （2）解：如图所示，取中点为H，连接， ， ， 点在以为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当轴时，点D横坐标最大， ，， ， ， 点，， ， ， 点的横坐标的最大值为， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，坐标与图形，两点距离计算公式，圆周角定理，直角所对的弦是直径等等，正确理解题意是解题的关键． 【变式13-3】（2025北京·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线． (1)已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： 直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）． (2)如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围． (3)如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点的横坐标 (3)或 【分析】（1）根据关联图形的定义判断即可； （2）直线的临界状态是和相切的两条直线和，求出两种特殊情况下的点N的横坐标即可解决问题； （3）过点H作，垂足为，交于点，根据可得，由的取值此即可确定点横坐标的取值范围． 分别讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：假设双曲线上点到原点的距离为2， 则，即， 整理，得，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 因此双曲线上点和到原点的距离为2， 故双曲线与有公共点； 如图所示， 直线和 双曲线与有公共点，直线与没有公共点， 因此 是的关联图形， 故答案为： ； （2）解：如图所示： 直线是的关联直线， 直线的临界状态是和相切的两条直线和， 当临界状态是时，连接， 则， 中，当，，当，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点； 同理可得当临界状态是时，点， 点的横坐标； （3）解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点， ，， ， ， 轴， ， ， 设点，则，， ， 解得， 当最小时，，取最大值为2，越大，越小， ， 此时h取值范围为； ②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点， 同理可得： ， 设点，则，， ， 解得， 当最小时，，取最小值为，越大，越大， 此时h取值范围为； 综上可得或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识点，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题，难度较大，属于中轴压轴题． 【题型14 圆的有关位置关系与函数综合问题】 【例14】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据半径为1的与轴相切，得到点A的横坐标为1，设，点， 根据点关于点的对称点也在此函数图象上，得到，得到点C的坐标，再代入反比例函数的解析式解答即可． 【详解】解：由半径为1的与轴相切， 故点A的横坐标为1， 又点在函数的图象上， 设， 设点，根据点关于点的对称点也在此函数图象上， 故， 解得， 故点， 故， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，反比例函数的性质，中点坐标公式，待定系数法求解析式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【变式14-1】（2025江西赣州·模拟预测）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论； （2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式； （3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点D作于点F， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由切线长定理得：， ∵， ∴， 在中，，即， 化简得； （3）解：∵梯形是直角梯形，则， 设，由（2）可知， ∴， 化简得， 解得或， ∴长为或． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 【变式14-2】（2025·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______________． 【答案】 【分析】当直线y过P、N两点时，由中心对称图形的特征可得直线y平分7个小圆的面积，由直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系求得N、P的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可； 【详解】解：如图，⊙N、⊙G、⊙M与x轴相切于F、O、E，连接NF、NG、GM、ME、PM，直线y过P、N两点， ∵右边6个小圆关于点P中心对称，直线y经过点P， ∴直线y平分右边6个小圆的面积， ∵直线y经过左边小圆的圆心， ∴直线y平分⊙N的面积， ∴直线y平分7个小圆的面积， NF⊥x轴，GO⊥x轴，则NF∥GO， NF=GO=1，则NFOG是平行四边形， ∠GOF=90°，则NFOG是矩形， ∵⊙N、⊙G相切， ∴NG=2，即N（-2，1）， 同理可得M（2，1）， ∵P在⊙M的正上方，E点在⊙M的正下方， ∴PE为⊙M的直径，即P、M、E共线， ∴P（2，2）， 设直线y=kx+b，则 ，解得：， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了中心对称图形的特征，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，一次函数解析式；掌握中心对称图形的特征是解题关键． 【变式14-3】（2025山东济宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)存在这样的点或，使得与相似 【分析】（1）把点代入抛物线，运用待定系数法可得二次函数解析式，设直线的解析式为，运用待定系数法可得解析式，由此即可求解； （2）根据题意得到，，则线段的中点，根据题意，分类讨论：点在轴下方时，与轴切于点；点在轴上方时；数学结合分析即可求解； （3）分类讨论：如图所示，，得，由此列式求解；如图所示，，过点作轴于点，可证，则，由此列式求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，直线的解析式为，， ∴，， ∴设线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即，过点作轴于点， 如图所示，点在轴下方时，与轴切于点， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴， 解得，，， 当时，，即点重合，不符合题意，舍去； ∴时，以为直径的圆与轴相切； 如图所示，点在轴上方时， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴时，以为直径的圆与轴相切； 综上所述，的值为或； （3）解：存在，理由如下， 如图所示，， ∴，， ∵，，，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），（点与点重合，不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 如图所示，，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵，，，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在这样的点或，使得与相似． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数，圆的综合，二次函数与相似三角形的综合运用，掌握二次函数，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，数学结合分分析思想是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 与圆有关的位置关系（举一反三复习讲义） 【6个知识点+2大考点+14个题型】 【考点一 圆的有关位置关系】 2 【题型1 点与圆的位置关系】 2 【题型2 确定圆的条件】 5 【题型3 三角形的外接圆】 6 【题型4 直线与圆的位置关系】 7 【题型5 证明直线是圆的切线】 7 【题型6 利用切线的性质进行计算与证明】 8 【题型7 切线的实际应用问题】 9 【题型8 切线长定理】 11 【题型9 三角形的内切圆】 13 【考点二 圆的有关位置关系的综合】 14 【题型10 利用点到圆的位置关系求最值】 14 【题型11 切线的性质与判定综合问题】 15 【题型12 切线的有关基本作图问题】 17 【题型13 圆的有关位置关系新定义问题】 19 【题型14 圆的有关位置关系与函数综合问题】 21 中考考点要求 近年考情分析 核心解题策略 掌握点与圆的三种位置关系（点在圆内/上/外）及其判定方法（d与r的比较）；理解直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及判定；熟练掌握切线的性质（垂直于过切点的半径）与判定（过半径外端且垂直半径）；了解切线长定理及圆与圆的位置关系（五类，d与R、r的关系）。 切线的性质与判定是中考几何的必考核心，常以解答题形式出现，占分较高。考查重点在于准确判定切线并灵活运用其性质进行推理证明。切线长定理常与勾股定理结合求线段长度。圆与圆的位置关系多以选择题出现，难度较低。 证明切线时，常用两种思路：连半径证垂直（已知直线过圆上一点）或作垂直证半径（未明确公共点）。利用切线性质时，连接圆心与切点构造直角三角形是常见辅助线。遇切线长问题，常得到线段相等及角平分关系，结合方程思想求解未知量。 【考点一 圆的有关位置关系】 知识点1 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点2 三角形的外接圆 1. 圆的确定 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 2. 三角形的外接圆 （1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． （3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． （4）三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 知识点3 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点4 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 知识点5 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点6 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型1 点与圆的位置关系】 【例1】（2025浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【变式1-1】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式1-2】（2025·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为_______ ． 【题型2 确定圆的条件】 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】（2025河北张家口·模拟预测）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-3】（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型3 三角形的外接圆】 【例3】（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式3-1】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【变式3-2】（2025·宁夏银川·二模）如图，点分别是的外心和内心，连接．若，则________． 【变式3-3】（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为__________． 【题型4 直线与圆的位置关系】 【例4】（2025·四川广安·一模）若的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的交点个数是(        ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-1】（2025·广东东莞·模拟预测）已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【题型5 证明直线是圆的切线】 【例5】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【变式5-1】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【变式5-2】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【变式5-3】（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【题型6 利用切线的性质进行计算与证明】 【例6】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【变式6-1】（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【变式6-3】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型7 切线的实际应用问题】 【例7】（2025·广东广州·中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是______． 【变式7-2】（2025·福建龙岩·模拟预测）综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 【变式7-3】（2025·陕西西安·一模）某 数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下： 【任务一】在如图的矩形板材中，，取边上一点E，，请你帮该数学兴趣小组在边上找一点F，连接，使得线段平分矩形的面积，则线段的长为 ． 【任务二】在完成任务一后，取线段的中点O，点 M和点N是线段上两点，且（M 在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段上找一点P，连接和，使得角度最大，请帮该数学兴趣小组计算，当角度最大时，的值． 【任务三】在任务二的结论下，线段的左侧是否存在点Q，连接和，使得， 且满足四边形的面积最大，若存在，求出四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【题型8 切线长定理】 【例8】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【变式8-1】（2025·湖北武汉·二模）如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，扇形分别与和的延长线相切，切点分别为和，扇形与交于点M，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【题型9 三角形的内切圆】 【例9】（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·四川资阳·二模）如图，在中，，，的内切圆交于点，点从出发，沿射线每次前进一个单位，点从出发沿和射线每次前进个单位，为正整数且，当次前进后与相似，所有满足条件的为______． 【考点二 圆的有关位置关系的综合】 【题型10 利用点到圆的位置关系求最值】 【例10】（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-1】（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【变式10-2】（2025·江苏连云港·三模）如图，在四边形中，，，若，，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【题型11 切线的性质与判定综合问题】 【例11】（2025·江苏南京·中考真题）如图，是的对称中心，与相切于点． (1)求证：直线是的切线． 选择其中一位同学的想法，完成证明； (2)当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【变式11-1】（2025·山东济南·三模）如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式11-2】（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． 【变式11-3】（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 【题型12 切线的有关基本作图问题】 【例12】（2025·河南郑州·模拟预测）在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： 连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）； 作直线交于点； 以点为圆心，为半径作，交于点点（位于直线的上侧）； 作直线，交于点，则直线即为所求作直线． 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，请说明是切线； (3)若半径为，，求的长． 【变式12-1】（2025·吉林长春·三模）如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹． (1)图①中，先画出圆心O，然后作经过B点的切线 (2)图②中，在上画点D，使 【变式12-2】（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，的半径为，过点作的切线； (2)在图②中，的半径为2，过点作的两条切线； (3)在图③中，的半径为2，过点作的两条切线． 【变式12-3】（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．用无刻度的直尺作图． (1)在图1中画出一条恰好平分周长的直线； (2)在图2中画出的外接圆的一条切线． 【题型13 圆的有关位置关系新定义问题】 【例13】（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． (1)已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； (2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 【变式13-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)如图②，若，以为直径作． ①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； ②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长． 【变式13-2】（2025·江西抚州·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点C是弦“可及点”． (1)如图，点，．在点，，中，点_____是弦的“可及点”，其中_____； (2)若点D是弦的“可及点”，求点D的横坐标的最大值． 【变式13-3】（2025北京·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线． (1)已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： 直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）． (2)如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围． (3)如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围． 【题型14 圆的有关位置关系与函数综合问题】 【例14】（2025·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，半径为1的与轴相切，点的坐标为．若点关于点的对称点也在此函数图象上，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式14-1】（2025江西赣州·模拟预测）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 【变式14-2】（2025·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是______________． 【变式14-3】（2025山东济宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $