专题26 最值模型之将军饮马模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题26. 几何最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 4 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 17 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 例2（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接并延长至点，使，若是的中点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 例3（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 例3（2025·安徽蚌埠·二模）如图，正方形的边长为4，平分交于点，在上截取，连接，交于点，交于点，点是线段上一个动点，于点． 则：（1） ；（2）的最小值是 ； 例4（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，矩形中，，，分别是边上的动点，为的中点，连接，则的最小值为 ． 例5（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)利用图像，直接写出不等式的解集为________；(3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 例2（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 例3（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 例2（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 例3（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 例4（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．的度数是 ；周长的最小值是 ． 问题探究（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 1．（2025·黑龙江七台河·一模）如图，边长为a的菱形中，，对角线、交于点O，点E为边中点，连结、分别和、交于点M、N，点P是直线上一动点．下列结论：①；②；③；④的最大值是；⑤的最小值是其中正确结论有（  ） A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 2．（2025·福建三明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线：与轴相交所成的锐角为．若是轴上的动点，，是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，点B恰好落在边上的点F处． （1）若，则 ．（2）若，P为线段上的动点，连接，，则的最小值为 （用含a的式子表示）． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，，E为上任意一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 5．（2025·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 6.（2025·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是 ___________．    7．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    8．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___． 9.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 10.（2025·河南漯河·二模）如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 11.（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M是的中点，点P是上一动点，连接，，则的最小值为 ． 12.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 13．（2025·江苏苏州·二模）如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为 ． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点E、G、H分别为线段上的点，将沿折叠至（点F在四边形内部，且与点B为对应点），则周长的最小值为 ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，的半径为4，，点P是上一动点，则的最小值等于 ． 16．（2025·陕西咸阳·一模）【问题原型】（1）如图1，在正方形中，．求证：． 【问题解决】（2）如图2，四方形是某植物园规划的一个花圃，其中．现要在和上分别设立一个游客服务中心E，F，且，再沿和铺设两条石子小路．为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小．已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值（即的最小值）．         17．（2025·山东潍坊·二模）小亮善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题．  分类项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点P到上一点的距离为，则有 基本图形 【直接应用】（1）已知在中，，，，点P为边上一动点． ①线段的最小值为_____；②若点F为的中点，则线段绕点A顺时针旋转，的最小值为______； 【迁移运用】（2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A．求最小值； 【问题解决】（3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 18．（2025·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】 (1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P关于边、的对称点分别为，， ∴，，，， ∴即周长的的最小值为 ∵，∴∴是等腰直角三角形． 学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形． (2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26. 几何最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 4 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 17 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，， ∵为线段上的动点，∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，，∴，，， 由题可得，∴由对称性可得，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，， ∴，即的最小值为，故答案为：． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线，，是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，． 的最小值是，故答案为：． 例2（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接并延长至点，使，若是的中点，则的最小值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ，，∴， 是的延长线的定点，点在以点为垂足的的垂线上，作关于直线的对称点，， ，连接与相交于点， 当与重合时，最小，最小值为的长，，故选：A． 例3（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点，直线垂直平分， ，，，， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，，． ，且，，，四边形是矩形， ，，，，， ，，， ，，在中，，， ．当取最小值时，．故答案为：． 例3（2025·安徽蚌埠·二模）如图，正方形的边长为4，平分交于点，在上截取，连接，交于点，交于点，点是线段上一个动点，于点． 则：（1） ；（2）的最小值是 ； 【答案】 4 【详解】解：（1）四边形是正方形，，， 在与中，，， ， ，，，，， 平分，，，， ，，故答案为：4； （2）如图：过点作于点，交于点，连接， ∵垂直平分线段，∴，此时取得最小值，最小值即为的长， ，是等腰直角三角形， ，的最小值为，故答案为：． 例4（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，矩形中，，，分别是边上的动点，为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点P，连接，，则， ∴，即最小值为长， 过点F作，设，则为矩形，，∴， ∵，∴，∴，即，， ∴，，∴， 当时，随x的增大而减小， ∴ 当时，最小为，即的最小值为，故答案为：． 例5（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)利用图像，直接写出不等式的解集为________；(3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，解得，∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，，∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴，解得，∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为，∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得；∵，，∴， ∴的周长，∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵，∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵，∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，∵，，∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则，∴，∴直线解析式为， 在中，当时，，∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（2025·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，，∴， ∵，于点，∴在中，， ∴，则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图： 当三点共线，则有最大值，且为 ∴∴是等边三角形， 过作 则在中， 则 ∴则的最大值为 故答案为： 例2（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 例3（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ． 【答案】5 【详解】解：如图，过点作于．，，， 过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于． ，四边形是矩形，，， ，，， 的最大值为．故答案为：． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，，∴ ∴周长最小为；故答案为：． 例2（2025·四川成都·校考一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长取最小值是 【答案】2+ 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，∵，，∴，，AE=2． 在中，=;即四边形AEPQ的周长最小为2+： 例3（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°， ∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A． 例4（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．的度数是 ；周长的最小值是 ． 问题探究（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决（3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），；（2）；（3）米 【详解】解：点与点关于对称，， 点与点关于对称，， ，，， ，故答案是：； 解：点与点关于对称，，， 点与点关于对称，，，， 由可知，是等边三角形，， 的周长是，周长的最小值是，故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称，连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，，， ，， 在和中，，， ，，，点是的中点，， ，的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形，， ，米，米，米，， 点是矩形的中心，，，， ，在中， ，，， 在和中，，，，米， 米，米，的最小值是米， 米，的最小值是米． 1．（2025·黑龙江七台河·一模）如图，边长为a的菱形中，，对角线、交于点O，点E为边中点，连结、分别和、交于点M、N，点P是直线上一动点．下列结论：①；②；③；④的最大值是；⑤的最小值是其中正确结论有（  ） A．②④ B．②③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【详解】解：连接和，如图： 四边形为菱形，，，，，， ，为等边三角形，，，， 为AB中点，，，， ，，，，， ，故①错误；，，：：， 故③正确；，，，故②正确； ，D，B共线，，故④正确； 垂直平分AC，，当P，E，C共线时，最小， ，故⑤错误；综上所述，正确的结论有②③④．故选：B． 2．（2025·福建三明·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线：与轴相交所成的锐角为．若是轴上的动点，，是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，直线、轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作于点，交轴于点，交直线于，作直线，垂足为，∵，，∴， ∵与轴相交所成的锐角为，∴， ∴， ∴，∴，设， ∵，直线、轴关于直线对称，在中，，，， ∴，即，解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴，∴的最小值为．故选：A．    3．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，点B恰好落在边上的点F处． （1）若，则 ．（2）若，P为线段上的动点，连接，，则的最小值为 （用含a的式子表示）． 【答案】 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， 由折叠的性质可得， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，故答案为：； （2）如图，作点E关于直线的对称点，过点作交延长线点Q． ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，设，则，由对称性可得，， ∵，∴，∴， ∴，．由勾股定理，得， ∵，∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，∵，∴的最小值为，故答案为：． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，，E为上任意一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过的中点和的中点作直线， 为的中点，，，、、三点共线，即点在线段上， 作关于的对称点，与交于点，连接，与交于点， 则，此时，，其值为最小值， 四边形为矩形，，∵ 为等边三角形，，， ，，，， ，，，故答案为：． 5．（2025·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 6.（2025·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是 ___________．    【答案】 【详解】解：取的中点，连接，，过点作于H点．      ∵四边形是菱形，，，∴，， ∵点E为的中点，点为的中点，∴，， ∵四边形是菱形，，且，， ∴点E与点关于对称，∴，∵，， ∴，，∴， ∴在中，， ∵，当且仅当F、G、三点共线时取等号， ∴，∴的最大值为．故答案为：． 7．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【详解】解：∵为高上的动点．∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴∴ ∴，∴点在射线上运动，如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，，∴∴ 在中，, ∴周长的最小值为，故答案为：． 8．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___． 【答案】 【详解】解：作点A关于线段的对称点F，连接，交于点O，连接，过点F作，交的延长线于点H，过点作，交的延长线于点G，如图所示： 由轴对称的性质可知：，，， ∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， 当点E与点O重合时，则的最小值即为的长， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴ ∴，∴即的最小值为；故答案为． 9.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：连接，∵，∴，， ∵，∴，∴，是等腰三角形，点Q是边的中点， ，，解得， 是线段的垂直平分线，点B关于直线的对称点为点， ∴，的长为的最小值， ∴的最小值．故答案为：6． 10.（2025·河南漯河·二模）如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 13 【详解】解：作出点A关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小， 由轴对称的性质可得：， 矩形中，是边的中点，，， ，的最小值， 如图，动过程中，当点F移动到点C时，的值最大， 即的最大值为，故答案为：13，． 11.（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，M是的中点，点P是上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】连接，延长到点Q，使得，连接， ∵菱形中，，，M是的中点，∴，， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴点A，Q关于直线对称， ∴当P与点C重合时，取得最小值，且为，故答案为：6． 12.（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： 13．（2025·江苏苏州·二模）如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作交的延长线于点， 设，∵，∴，，∵正方形，∴， ∵正方形，∴，， ∵，∴， ∴，，∴， ∴，，∴， ∴的最小值为点到点和点的距离最小，如图， 作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长， ∴，故答案为：． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点E、G、H分别为线段上的点，将沿折叠至（点F在四边形内部，且与点B为对应点），则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：过点B作于点， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴垂直平分， ∴，∴，∵，∴， ∴，由翻折得，，∴点F在以A为圆心，1为半径的圆上运动， 连接，过点分别作的对称点，连接，过点作于点R， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴周长：， ∵，∴， ∴，当点共线，且共线时，周长取得最小值为，故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，的半径为4，，点P是上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】解：连接，在射线上取点，使得，连接，在射线上取点，使得，连接，过点作于点G，∴， ∵，∴，∴，∴， 同理可得：，∴，∴， 当点三点共线时，取得最小值，且为， ∵，，，∴， ∵，∴， ∴，∴的最小值为,故答案为：． 16．（2025·陕西咸阳·一模）【问题原型】（1）如图1，在正方形中，．求证：． 【问题解决】（2）如图2，四方形是某植物园规划的一个花圃，其中．现要在和上分别设立一个游客服务中心E，F，且，再沿和铺设两条石子小路．为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小．已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值（即的最小值）．         【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形，，． 在和中，，，． （2）如图，过点D作于点G，连接，延长到点K，使，连接，． ，四边形是矩形． ，四边形是正方形，． ，．由（1），可得， ，．，， 垂直平分，，． 在中，． ，，的最小值是． 17．（2025·山东潍坊·二模）小亮善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题．  分类项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点P到上一点的距离为，则有 基本图形 【直接应用】（1）已知在中，，，，点P为边上一动点． ①线段的最小值为_____；②若点F为的中点，则线段绕点A顺时针旋转，的最小值为______； 【迁移运用】（2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A．求最小值； 【问题解决】（3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为 28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【答案】（1）①②，（2），（3）证明见解析，四边形EFGH周长最小值为20 【详解】解：（1）∵在中，，，，∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有， ∴，∴线段的最小值为； ②设点F的对应点为，∵点F为的中点，∴， 由旋转的性质可得，∴点在以点A为圆心，半径为2的圆上运动， ∴当点在线段上时，会存在最小值，最小值为， 故当有最小值，且点在线段上，有最小值，最小值为， ∴的最小值为； （2）过点P作轴，交直线于点G， 在中，当时，，当时，， ∴，，∴，∴为等腰直角三角形， ∴，∴∴三角形为等腰直角三角形，∴， 设P的横坐标为t，则，∴， ∴当时，取最小值为，此时，取最小值，值为； （3）∵四边形为矩形，∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴∴，同理可得，∴四边形为平行四边形； ∵四边形周长为其邻边之和的2倍，∴平行四边形周长最小时，的值最小； 如图所示，作点E关于的对称点，连接，，则， ∴当，F，G三点共线时，有最小值，最小值为的长，由轴对称的性质可得， 又∵，∴四边形为平行四边形∴， ∴四边形周长最小值为． 18．（2025·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】 (1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P关于边、的对称点分别为，， ∴，，，， ∴即周长的的最小值为 ∵，∴∴是等腰直角三角形． 学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形． (2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边(2)(3)存在， 【详解】（1）解：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为，， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴为等边三角形；故答案为：等边； （2）解：∵，，点D是的中点， ∴，，， 作的垂直平分线，交于点，连接， 则：，，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴； （3）解：存在；理由如下：如图，以点为圆心，为半径画圆，分别作点关于，的对称点，，则点，在上，连接，分别交，于点，，此时的周长最小． ∴，，， ∵，∴，且，∴， 过点作于，∴，，∴，∴， ∵， ∵为定值，∴最小时，的值最大，此时的面积最大， 过点作于点，则  ， ∴当时，即O点与Q点重合时，的值最大， ∴，∴，∴， ∴， ∴，∴∴， 此时是等边三角形，∴， ∵，∴， ∴ ，∴的最大值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $