2.2立方根 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版七年级数学下册

2025-2026学年湘教版七年级数学下册《2.2立方根》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 2．在实数：，，，，，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 4．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 6．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 7．如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A．4倍 B．8倍 C．32倍 D．64倍 二、填空题 8．若，则a的值为______． 9．______． 10．的立方根是__________，的立方根是_____． 11．已知，则的值为___________。 12．化简：______． 13．下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 14．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的平方根为______． 三、解答题 15．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 16．求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．求的算术平方根． 19．在数学实践活动课上，数学老师给实践小组布置了一个任务：设计一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的倍．求实践小组需要设计的正方体的棱长． 20．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此求解即可． 【详解】解：，，，是有理数； ，是无理数，共2个． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查平方根与立方根．根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再求出这个正数，最后求其立方根． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得 ． ∴ 平方根分别为 和， ∴ 这个正数为， ∴ 64 的立方根为（因为 ）． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为，   ∴，   ∴，    ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 8．64 【分析】本题考查立方根的定义．利用立方根的定义即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：64 9． 【分析】本题考查了立方根，解题的关键是根据立方根的定义来解答． 【详解】解：， 故答案为： 10． 3 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟知这两个概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， 又，27的立方根是3， 的立方根是3， 故答案为：，3． 11．5 【分析】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，立方根，解题的关键是结合已知条件求得a，b的值，然后利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：5． 12． 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 13．③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 14． 【分析】本题考查了立方根的意义，算术平方根的意义，代入消元法解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据立方根的意义，算术平方根的意义，得到关于，的方程组，求得，的值，再代入求解后求出其平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】（）根据立方根的定义解答即可； （）根据立方根的定义解答即可； （）根据立方根的定义解答即可； 本题考查了立方根，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是立方根的计算，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果，那么x叫做a的立方根． （1）根据立方根的概念计算即可； （2）根据立方根的概念计算即可； （3）根据立方根的概念计算即可； （4）根据立方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以1000的立方根是10，即． （2）解：因为， 所以的立方根是，即． （3）解：因为， 所以的立方根是，即． （4）解：因为， 所以0.008的立方根是0.2，即． 17．(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ∴， 解得：． 18． 【分析】本题考查的是平方根、立方根的定义，解题的关键是理解正数的平方根有两个，且互为相反数；会求平方根和立方根． 利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值，根据立方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的算术平方根． 【详解】解：某正数的两个不同的平方根是和， ， ， 的立方根为， ， ， ， 其算术平方根为． 19． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，根据正方体体积计算公式求出棱长为的正方体体积，进而可求出设计的正方体的体积，再根据正方体体积计算公式可得答案． 【详解】解：由题意得，设计的正方体的体积为， ∴设计的正方体的棱长为． 20．（）（答案不唯一）；（）；（） ； ． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（） ； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由 ； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $