2.2 立方根课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 2.2 立方根 第2章 实数 湘教版数学七年级下册2.2 立方根练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕立方根知识点设计，涵盖立方根的定义、立方根的求法、立方根与平方根的区别及简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握立方根的概念，能准确求一个数的立方根，区分立方根与平方根的不同，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）8的立方根是±2 （ ） 改正：________ （2）0的立方根是0 （ ） 改正：________ （3）负数没有立方根 （ ） 改正：________ （4）立方根等于它本身的数只有0和1 （ ） 改正：________ 2. 直接写出下列各数的立方根。 （1）64：________ （2）-27：________ （3）0.008：________ （4）$$-\frac{1}{125}$$：________ 3. 求下列各数的立方根。 （1）1000 （2）$$-\frac{64}{27}$$ （3）0.001 （4）10⁻⁶ 4. 填空：若x的立方根是4，则x = ________；若$$\sqrt[3]{a} = -3$$，则a = ________；若$$\sqrt[3]{x} = x$$，则x = ________。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 计算下列各式的值。 （1）$$\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{-64}$$ （2）$$\sqrt[3]{0.125} - \sqrt[3]{\frac{1}{64}}$$ （3）$$\sqrt[3]{1 - \frac{63}{64}}$$ 2. 求下列各式中x的值。 （1）$$x^3 = 125$$ （2）$$8x^3 = 27$$ （3）$$(x - 1)^3 = -8$$ 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 已知一个数的立方根是2a - 3，这个数的相反数的立方根是3a - 7，求这个数及其立方根，并说明理由。 2. 已知$$\sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{y + 2} = 0$$，其中x、y为实数，求$$(x + y)^{2026}$$的值，并判断$$\sqrt[3]{x + y}$$是有理数还是无理数。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）×，8的立方根是2；（2）√；（3）×，负数有一个负的立方根；（4）×，立方根等于它本身的数有0、1和-1 2. （1）4；（2）-3；（3）0.2；（4）$$-\frac{1}{5}$$ 3. （1）10；（2）$$-\frac{4}{3}$$；（3）0.1；（4）0.01 4. 64；-27；0、1或-1 二、能力提升题 1. （1）-1（解析：$$\sqrt[3]{27}=3$$，$$\sqrt[3]{-64}=-4$$，3+(-4)=-1）；（2）0.25（解析：$$\sqrt[3]{0.125}=0.5$$，$$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=0.25$$，0.5-0.25=0.25）；（3）$$\frac{1}{4}$$（解析：$$1 - \frac{63}{64}=\frac{1}{64}$$，$$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$$） 2. （1）x=5；（2）$$x=\frac{3}{2}$$；（3）x=-1（解析：$$x-1=-2$$，解得x=-1） 三、拓展应用题 1. 这个数是1，立方根是1（解析：互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故2a-3 + 3a-7=0，解得a=2；则立方根为2×2-3=1，这个数为$$1^3=1$$） 2. 值为1；$$\sqrt[3]{x + y}$$是有理数；理由：由立方根的性质，若$$\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}=0$$，则$$m=-n$$，故x-1=-(y+2)，解得x+y=-1；$$(x + y)^{2026}=(-1)^{2026}=1$$；$$\sqrt[3]{x + y}=\sqrt[3]{-1}=-1$$，-1是有理数） 温馨提示：解题时需牢记立方根的核心性质——任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；重点区分立方根与平方根的不同（平方根只有非负数有，立方根所有实数都有）；易错点为混淆立方根与平方根的符号规律、遗漏立方根等于本身的负数，计算时需紧扣定义验证结果。 1. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点） 2. 能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和 立方互为逆运算.（难点） 学习目标 立方根的概念 如果一个数 b，使得 b3 = a，那么b 叫作 a 的一个立方根，也叫作三次方根．a 的立方根记作 　 . 立方根的表示 一个数 a 的立方根可以表示为： 读作：立方根号 a，或三次根号 a. 说一说 已知一个正方体的体积为 8 cm3，如图所示，则它的棱长是多少？ 由于 23 = 8，因此体积为 8 cm3 的正方体，它的棱长是 2 cm. 23 = 8 b3 = a 被开放数 根指数 读作“立方根号 a”或“三次根号 a” 求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 23 = 8 立方 开立方 互为逆运算 填一填： 根据立方根的意义填空： 因为 = 8，所以 8 的立方根是（　）； 因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）； 因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）； 因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）. 0 2 -2 0 -2 0.5 0.5 6 立方根的性质 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有 1，-1，0； 平方根是它本身的数 只有 0. 知识要点 平方根与立方根的异同 被开方数 平方根 立方根 有两个，互为相反数 有一个，是正数 无平方根 零 有一个，是负数 零 正数 负数 零 求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数 注意：这个根指数3 绝对不可省略. 每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次 根号 a”. 如：x3 = 7 时，x 是 7 的立方根． a 叫作被开方数 3 叫作根指数 开立方及相关运算 2 9 例1 分别求下列各数的立方根： 1， ，0，-0.064． 由于 (-0.4)3 = -0.064，因此 . 解： 由于 13 = 1，因此 ； 由于 ，因此 ； 由于 03 = 0，因此 ； 典例精析 求下列各式的值： 体会：对于任何数 a , a 2 4 0 -2 -3 探究1 3 23 ___， = 3 43 ___， = 温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算. 体会：对于任何实数 a， a 8 27 0 -8 -27 探究2 求下列各式的值： 体会： (1) 求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数； (2) 负号可从“根号内”直接移到“根号外”. 求下列各式的值: (1) ； (2) 探究3 -0.2 -0.2 例2 求下列各式的值： 例3 已知 x－2 的平方根是±2，2x＋y＋7 的立方根是 3，求 x2＋y2 的算术平方根． 方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出 x，y 值，再根据算术平方根的定义求解． 解: 因为x－2 的平方根是±2， 所以 x－2 ＝ 4. 所以 x ＝ 6. 因为2x＋y＋7 的立方根是 3， 所以2x＋y＋7 ＝ 27. 把 x ＝ 6 代入，解得 y ＝ 8. 因为x2＋y2 ＝ 36＋64 ＝ 100， 所以 x2＋y2 的算术平方根为 10. 例4 用计算器求下列各数的立方根：343， -1.331. 用计算器求立方根 解：依次按键： 显示：7 所以 4 3 3 = SHIFT 依次按键： 显示：-1.1 所以 1 (-) . 3 1 3 = SHIFT 3 例5 用计算器求 的近似值（精确到 0.001）. 解 ： 依次按键： 显示：1.25992105 所以 = 2 SHIFT 议一议 1. 下列等式是否成立? 与同学交流你的看法. (1) a ； (2) a. 成立. 学而时习之 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）±4 是 64 的立方根; （2）－64 没有立方根; （3）(－5)3 的立方根是 －5; （4）互为相反数的两个数的立方根也互为相反数. × × √ √ 随堂练习 2. 求下列各数的立方根： （1）－1000；（2） ；（3）－0.008；（4）106. 解：（1） ； （2） ； 随堂练习 2. 求下列各数的立方根： （1）－1000；（2） ；（3）－0.008；（4）106. （3） ； （4） . 随堂练习 （1） ； （2） ； 3. 计算： （3） ； （4） . 解：（1） ； （2） ； 随堂练习 （1） ； （2） ； 3. 计算： （3） ； （4） . （3） ； （4） . 随堂练习 4. 体积为 500 cm3 的正方体，它的棱长大约是多少 厘米（结果精确到 0.01 cm）？ a = （cm） 解：设棱长为 a cm， a3 = 500， 随堂练习 5. 用计算器求下列各数的近似值 （结果精确到 0.001）. （1） ； （2） ； （3） . 解：（1） ； （2） ； （3） . 随堂练习 温故而知新 6. 如图，将一个棱长为 4 的正方体盒子装满水，然后将水全部倒入一个侧面为正方形，长为侧面边长 2 倍的长方体盒子中. 如果长方体盒子正好被装满，求长方体盒子的长（结果精确到0.1）. 解：43 = 64，设长方体侧面为a 则 a2 · 2a = 64，a = 随堂练习 7. 计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中： 式子 ··· ··· 结果 ··· ··· 0.06 0.6 6 60 由此你能发现什么规律？ 被开方的小数点向右或向左移动 3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 1 位。 随堂练习 1. 下列说法中，正确的是( ) D A. 没有立方根 B. 1的立方根是 C. 的立方根是 D. 的立方根是 2. 我们知道，球的体积公式是 .若一个乒乓球的体 积为 ，则这个乒乓球的半径为( ) A A. B. C. D. 中考考法 27 3. 教材P36例2 用计算器计算（精确到 ）: （1） _____; （2） _______. 1.07 4. 利用计算器计算时，按键如图所示，则显示结果是___. 0 5. 比较大小：___3;___ . 中考考法 28 6. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 中考考法 29 7. 求下列各式中 的值： （1） ； 【解】，， . （2） . ，， . 中考考法 30 8. 已知的平方根是， 的立方根是3. （1）求 的平方根； 【解】由题意得， ， 解得，.所以 . 因为，所以的平方根为 . 中考考法 31 （2）若的算术平方根是4，求 的立方根. 因为 的算术平方根是4， 所以.所以，解得 . 所以 . 因为的立方根为，所以的立方根为 . 中考考法 32 9. 已知，则 的值为( ) D A. B. 0或 C. 0 D. 0，或 10. [长沙校级月考] 如果， ， 那么 ( ) B A. 28.72 B. 13.33 C. D. 中考考法 33 11. [邵阳月考] 已知，则 的立 方根为( ) A A. B. C. 1 D. 2 【点拨】因为，所以 解得 所以 .因为 ，所以的立方根为 . 中考考法 34 12. 若，，则 的值是( ) C A. 0 B. C. 0或 D. 0或 中考考法 35 立方根 立方根的概念及性质 开立方及相关运算 课堂小结 $