仿真模拟卷01（广州卷专用）—《中考导航》2026年广东中考数学高分特训专辑

仿真模拟卷01（广州卷专用） 本卷满分120分．考试用时90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在实数，，，中，无理数是（　　） A． B． C． D．3.14 【答案】B 【分析】根据无理数的特征，即可解答． 【详解】解：在实数，，，中，无理数是， 故选：B． 2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 (      )    A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【分析】由题意先根据主视图和左视图可得这个几何体是锥体，再根据俯视图即可得出这个几何体是四棱锥． 【详解】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体是锥体； 根据俯视图可得：这个几何体是四棱锥； 故选：B． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，根据幂的乘方可以判断A；根据同底数幂的除法，可以判断B；根据二次根式的化简和加法可以判断C；根据完全平方公式可以判断D． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．某中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（　　） A．分和分 B．分和分 C．分和分 D．分和分 【答案】B 【分析】本题考查了条形统计图、中位数、众数，根据条形统计图中名学生的成绩，把这名同学的成绩按照从大到小的顺序排列，第名是分，第名是分，所以这名学生成绩的中位数是分，因为这名同学成绩中出现次数最多的是分，所以这名同学成绩的众数是分． 【详解】解：，， 把这名同学的成绩按照从大到小的顺序排列，第名是分，第名是分， 分， 这名同学成绩的中位数是分， 这名同学成绩中出现次数最多的是分， 这名同学成绩的众数是分， 这些成绩的中位数和众数分别是分和分． 故选：B． 5．正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出，进而计算判别式，根据判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6．已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系是关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系判定即可，即，相离；，相切；，相交，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， 以为直径的的半径为， ∵与边有交点， ∴，即， ∴， 故选：A ． 7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 8．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 9．复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（   ） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，分别根据方法①和方法②的描述，先作图，运用圆心角，弧，弦之间的关系，得，再结合圆周角定理进行作答即可． 【详解】解：方法①中，如图： ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 方法②中，如图： ∵点是的中点． ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．当四边形为平行四边形时， D．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 【答案】D 【分析】本题考查了本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，平行四边形的性质，根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到A正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出B正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出C正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断D不正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故A正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故B正确； 令，则， ， 根据顶点坐标公式， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故C正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故D不正确； 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分。 11．若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件计算即可； 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案是：． 12．若点与点关于原点对称，则_____ ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 13．若一个正多边形的内角和为，则该正多边形一个外角的度数为___________． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，根据正多边形内角和计算公式可得，解方程求出边数，再根据正多边形外角和为360度即可求出答案． 【详解】解；设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为9， ∴该正多边形一个外角的度数为， 故答案为：． 14．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点A铺到点C），则地毯的长度需要___________米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故答案为：． 15．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．    【答案】/ 【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积． 【详解】解：连接，    由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 【答案】 / 【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长； （2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小． 【详解】（1）解：连接， 在中，，， ， ， ， 在中，； 故答案为：4 （2）在中，易得， 连接，由题意可知是等腰直角三角形， ， ， 点P是外接圆的上的一个动点， 作的外接圆，连接，得， 是等腰直角三角形， ， 过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小， 当点O、P、G共线时，， ， 是等边三角形，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ， ， 则， 故点P到的距离是． 故答案为： 三、简答题：本大题共9小题，共72分。 17．（4分）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的性质． 先根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18．（4分）如图所示，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC． 【详解】证明：∵， ∴． ∴， 在与中 ， ∴ (SAS)． 19．（6分）已知． （1）化简； （2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式的运算法则和完全平方公式将原式展开，去括号后再合并同类项即可； （2）根据菱形的面积公式可求出的值，然后整体代入由（1）所得的结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． 20．（6分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择线路，第二周（5个工作日）选择线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：） 数据统计表 实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 线路时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 线路时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24 根据以上信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 极差 线路所用时间 22 15 63.2 21 线路所用时间 26．5 6.36 e （1）请直接写出a，c的值，并求出b，d，e三个数量的值； （2）应用你所学的统计知识帮助小红分析如何选择乘车线路，并利用至少2个统计量说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差： （1）根据中位数，众数，平均数，方差的定义解答即可求解； （2）根据中位数，众数，平均数，方差的意义解答即可求解． 【详解】（1）解：从小到大顺序为：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10个数， 中位数在第5和6个数为18和20， 所以中位数为，即， 平均数， 因为线路所用时间25出现的次数最多， 所以众数， ； （2）解：答案一：因为小红统计的选择线路平均数为22，选择线路平均数为，用时差不太多． 而方差， 所以相比较路线的波动性更小， 所以选择路线更优． 答案二：根据A众数为15小于B众数25，说明大多数出行次数耗时A比B更少， 而A线路中位数19小于B线路中位数26．5，说明A线路出行超过一半次数耗时要比B线路的时长更少， 所以选A路线更优． 答案三：A线路极差为21比B线路极差7更大， 所以A线路耗时差异更大， 又因为A线路方差，相比较路线的波动性更小， 所以选择路线更优． 21．（8分）下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 【答案】（）画图见解析，一次，反比例；（）①，；② 【分析】（）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②分别求出时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：（）画图如下： 由函数图象可知，饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的一次函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （）解：①设一次函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴第一次加热过程中与的函数表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得，， ∴， ∴第一次水温下降过程中与的函数表达式为， 故答案为：，； ②把代入得，， 解得； 把代入得，， ∴； ∵， ∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为， 故答案为：． 22．（10分）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 23．（10分）如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．    （1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由； ②若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①与相切，理由见解析；②6 【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点． （2）①根据垂直平分线性质求得，则与相切； ②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解． 【详解】（1） 如图，为所作垂线；    （2）①与相切，理由如下∶ 在中，是的垂线， ，且是的垂直平分线， ， ， 与相切于点， ，即， 与相切； ②在中， 根据勾股定理，得： 在中， 【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高 人数 素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． 任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 【答案】任务：；任务2：不会触碰到最边侧的同学；任务：方案能解决同学反映的问题 【分析】本题考查了二次函数的应用， 任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； 任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解； 任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解． 【详解】解：任务：如图建立平面直角坐标系． 设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：． 经过点． ． 解得：． 长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：； 任务2：最右侧同学所在的横坐标为：． 当时，． 长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的， 最右侧同学屈膝后的身高为：． ． 绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学； 任务当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为． 出手高度降低至． 抛物线下降． 下移后的抛物线解析式为：． 当时，． ， 方案能解决同学反映的问题． 25．（12分）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． （1）猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） （2）如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)为等腰直角三角形，证明见解析；， (2)； 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，故有，从而求证； 连接，由，则，再证明，故有，，，从而可得三点共线，则有，设，则，由勾股定理得，再根据即可求解； （）当时，有最小值，当与重合时，有最大值，又点始终处在两平行直线，之间的区域内，从而求出的范围； 过作于点，通过相似三角形的判定可得，，所以，，由题意可知在平行得直线上运动，且，设，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由， 如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：当时，有最小值， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即的最小值为， 当与重合时，有最大值，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 即，解得：， ∵点始终处在两平行直线，之间的区域内， ∴的范围是； 故答案为：； 如图，过作于点， 则， ∴，， ∴，， 由题意可知在平行得直线上运动，且， 设，则， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 仿真模拟卷01（广州卷专用） 本卷满分120分．考试用时90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在实数，，，中，无理数是（　　） A． B． C． D．3.14 2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 (      )    A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的26名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（　　） A．分和分 B．分和分 C．分和分 D．分和分 5．正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 6．已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（    ） A． B． C． D． 8．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（   ） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 10．已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（   ） A． B．当时，随的增大而增大 C．当四边形为平行四边形时， D．若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 二、填空题：本大题共6小题，每题3分，共18分。 11．若分式有意义，则x的取值范围是_________． 12．若点与点关于原点对称，则_____ ． 13．若一个正多边形的内角和为，则该正多边形一个外角的度数为___________． 14．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯（沿台阶从点A铺到点C），则地毯的长度需要___________米． 15．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．    16．已知在四边形中，，，． （1）的长是______； （2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______． 三、简答题：本大题共9小题，共72分。 17．（4分）计算：． 18．（4分）如图所示，，，，求证：． 19．（6分）已知． （1）化简； （2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值． 20．（6分）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择线路，第二周（5个工作日）选择线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：） 数据统计表 实验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 线路时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20 线路时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24 根据以上信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 极差 线路所用时间 22 15 63.2 21 线路所用时间 26．5 6.36 e （1）请直接写出a，c的值，并求出b，d，e三个数量的值； （2）应用你所学的统计知识帮助小红分析如何选择乘车线路，并利用至少2个统计量说明理由． 21．（8分）下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 22．（10分）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 23．（10分）如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．    （1）请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由； ②若，的半径为3，求的长． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高 人数 素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． 任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 25．（12分）如图1，已知正方形边长为，点、点分别是边，上的动点，且，连接，过点作交边于点，连接，设． （1）猜想的形状并证明； 取中点，连接，则 ；的面积 ；（用含的代数式表示） （2）如图，在上方作等边，，分别交边于点，，且点始终处在两平行直线，之间的区域内， 直接写出的范围 ； 计算的值．（结果用含的代数式表示） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $