2026年中考数学一轮复习 学案 专题3.5反比例函数的图象与性质（全国通用版）

2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块三 函数 专题5 反比例函数的图象与性质 知识梳理 【考点一】反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 【考点二】确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【考点三】反比例函数的图象与性质 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 【考点四】 反比例系数k的几何意义 反比例函数图象中有关图形的面积 S阴影＝|k| S四边形ABOC＝|k|　 S四边形ABCD＝S四边形PQMB 　S阴影＝S△AOB－S△AOD＝|k1|－|k2| S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC＝|k|＋|k|＝|k| S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝CD·|yB－yA| S△ABC＝S△BCO＋S△COA＝CO·|xB－xA| 例题讲解 【题型一】反比例函数相关概念 ◇典例1： 下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． ◆变式训练 1.下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2.函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【题型二】反比例函数的图象与性质 ◇典例2： 关于反比例函数，下列说法中错误的是　　 A．时，随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，有最小值为 ◆变式训练 1.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2.如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【题型三】 反比例函数k 的几何意义 ◇典例3： 如图，反比例函数在第一象限，△的面积是1.5，则反比例函数中，是　　 A．1.5 B． C．3 D． ◆变式训练 1.如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为6，则的值为　　 A．6 B． C．3 D． 2.如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为　　 A．18 B．36 C． D． 【题型四】待定系数法求反比例函数解析式 ◇典例4： 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． ◆变式训练 1.若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 2.如图，已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过点D（﹣1，3），交AB于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△CBE的面积． 一、单选题真题在线 1．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 4．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 5．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 8．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 9．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 10．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 12．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 三、解答题 13．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 14．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 专项练习 一、单选题 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象经过（   ）． A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 3．若函数的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．下列四个点中，只有一个点和其他的三个点不在同一个反比例函数的图象上，则该点是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点B，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．4 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 8．正比例函数与反比例函数的图象如图所示．若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 9．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，点在反比例函数的图象上，且轴于点，连接，则下列说法错误的是（    ） A．点到轴的距离为1 B．当时，随的增大而减小 C．点也在反比例函数的图象上 D． 二、填空题 11．已知反比例函数，当自变量时，函数值的取值范围是 ． 12．如图，点，，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为 ． 13．若方程的解满足，则k的取值范围为 ． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为 ． 15．如图，是反比例函数图象上一点，轴于点，为轴上一点，则的面积为 ． 16．如图，已知矩形的顶点，分别在反比例函数与的图象上，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积和为 ． 三、解答题 17．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)保持点位置不变，将直线逆时针转动得到新的直线，且与反比例函数的图象交于点，（点在第二象限），且点，的横坐标之和为，求点，的坐标． 18．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，交反比例函数图象于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是线段上一点，若，求点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数的解析式： (2)连接，，求面积． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 21．如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块三 函数 专题5 反比例函数的图象与性质 知识梳理 【考点一】反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 【考点二】确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【考点三】反比例函数的图象与性质 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 【考点四】 反比例系数k的几何意义 反比例函数图象中有关图形的面积 S阴影＝|k| S四边形ABOC＝|k|　 S四边形ABCD＝S四边形PQMB 　S阴影＝S△AOB－S△AOD＝|k1|－|k2| S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC＝|k|＋|k|＝|k| S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝CD·|yB－yA| S△ABC＝S△BCO＋S△COA＝CO·|xB－xA| 例题讲解 【题型一】反比例函数相关概念 ◇典例1： 下列函数中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据形如为常数，的函数称为反比例函数，即可判断． 【解答】解：、是一次函数，不是反比例函数， 故选项不符合题意； 、是反比例函数，， 故选项符合题意； 、不是反比例函数， 故选线不符合题意； 、的次数是2次的，不是反比例函数， 故选项不符合题意， 故选： ◆变式训练 1.下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式∶或或的函数是反比例函数． 根据反比例函数或或的形式解答即可． 【详解】解∶A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选∶B． 2.函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【题型二】反比例函数的图象与性质 ◇典例2： 关于反比例函数，下列说法中错误的是　　 A．时，随的增大而减小 B．当时， C．它的图象位于第二、四象限 D．当时，有最小值为 【答案】 【分析】根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可． 【解答】解：、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意； 、，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，，则有最小值为，故本选项正确，不符合题意； 故选：． ◆变式训练 1.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 2.如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称，且点坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【题型三】 反比例函数k 的几何意义 ◇典例3： 如图，反比例函数在第一象限，△的面积是1.5，则反比例函数中，是　　 A．1.5 B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据所给三角形的面积，得出，再根据所给图象即可解决问题． 【解答】解：因为△的面积为1.5， 所以， 则． 又因为反比例函数的图象在第一象限， 所以． 故选：． ◆变式训练 1.如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为6，则的值为　　 A．6 B． C．3 D． 【分析】作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到． 【解答】解：作于，如图， 四边形为平行四边形， 轴， 四边形为矩形， ， 而， ， 而，即， ． 故选：． 2.如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点是点关于轴的对称点，连接，若的面积为18，则的值为　　 A．18 B．36 C． D． 【答案】 【分析】根据点与点关于轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数的几何意义可求出的值． 【解答】解：连接， 点是点关于轴的对称点， ， ， 的面积为18， ， ． 又反比例函数的图象在第二象限， ． 故选：． 【题型四】待定系数法求反比例函数解析式 ◇典例4： 已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据待定系数法求反比例函数解析式解答即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数解析式为． 故选：． ◆变式训练 1.若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把代入函数中求出的值即可求出函数解析式． 【解答】解：设反比例函数的解析式为， 把代入函数，得，． 所以，反比例函数的解析式为：． 故选：． 2.如图，已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过点D（﹣1，3），交AB于点E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△CBE的面积． 【分析】（1）反比例函数的图象经过点D（﹣1，3）可得反比例函数关系式； （2）求出点E的坐标，利用面积公式代入数据计算即可． 【解答】（1）∵反比例函数的图象经过点D（﹣1，3）， ∴k＝﹣1×3＝﹣3， 反比例函数解析式为：y； （2）∵D（﹣1，3）， ∴BC＝DC＝3， ∴点B的坐标（﹣4，0）， 当x＝﹣4时，y， ∴BE． S△CBE． 真题在线 一、单选题 1．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 2．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 5．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 6．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 二、填空题 9．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 10．（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 12．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 三、解答题 13．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； (2)若轴上存在点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，或； (2)或 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； （2）解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 14．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形性质得点，根据 D为的中点，得，得，得； （2）求出和直线解析式，求出，得，求出，，即得． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E， ∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形面积公式，是解题关键． 15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 专项练习 一、单选题 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数进行排除选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的形式为（）， 选项A：，是正比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，是一次函数； 选项D：，不是反比例函数； 故选B． 2．反比例函数的图象经过（   ）． A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握好图象与系数k的关系是解题关键． 反比例函数的图象位置取决于比例系数 k 的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵ 反比例函数 中， ， ∴ 图象经过第二、第四象限． 故选：B． 3．若函数的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，y随x的增大而增大，即可求得的取值范围． 【详解】解：∵函数是反比例函数，且在其象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数， ∴， ∴m的取值范围是， 故选B． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数及一次函数图像，掌握反比例函数、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 分别根据k的符号判断反比例函数和一次函数的图像即可解答． 【详解】解：A．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，与矛盾，不符合题意； B．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即与矛盾，不符合题意； C．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即与矛盾，不符合题意； D．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，符合题意． 故选：D． 5．下列四个点中，只有一个点和其他的三个点不在同一个反比例函数的图象上，则该点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数解析式．反比例函数图象上的点满足（k为常数），计算各点横纵坐标的乘积，比较即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上的点满足（k为常数）， 计算各点坐标乘积： A、 ， B、， C、 ， D、， ∴ A、B、C三点乘积均为6，D点乘积为，故D点与其他三点不在同一个反比例函数图象上， 故选：D． 6．如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点B，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解题的关键．点在反比例函数的图象上，可设，因为轴于点，轴于点，所以． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵轴于点，轴于点， ， 故选：B． 7．对于反比例函数，下列说法正确的是（） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x增大而减小 D．图象与x轴有交点 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数在限定定义域内的性质，根据反比例函数的图象和性质，结合的条件进行判断． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴当时，图象位于第一象限，且y随x增大而减小；图象与坐标轴无交点． 对于A：当时，，该项错误； 对于B：由于，图象仅位于第一象限，不涉及第三象限，该项错误； 对于C：在第一象限内，y随x增大而减小，该项正确； 对于D：反比例函数图象不与坐标轴相交，该项错误． 故选：C． 8．正比例函数与反比例函数的图象如图所示．若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查利用函数图象求不等式解集；不等式的解集即的图象在的图象下方的部分. 【详解】解：从图象上得出：正比例函数与反比例函数的图象在第二象限内交点的横坐标为，在第四象限内交点的横坐标为， ∵当或时，的图象在的图象下方， ∴的解集为或， ∴D项符合题意. 故选：D 9．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，解题的关键是“先判断正负，再比较大小”． 将三个点的坐标代入反比例函数，根据，可判断的正负和大小关系，即可求解． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ，，， ， ，即， ，，即， 最大， ，且， ，即， ． 故选：D． 10．如图，点在反比例函数的图象上，且轴于点，连接，则下列说法错误的是（    ） A．点到轴的距离为1 B．当时，随的增大而减小 C．点也在反比例函数的图象上 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，即可判断A选项，根据反比例函数的图象即可判断B选项，求得，进而判断C选项，根据k的几何意义，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解∶A、点在反比例函数的图象上， ，解得，经检验得是原方程的解， ． 点到轴的距离为1，故该选项正确，不符合题意； B、根据函数图象，可知，当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； C．当时，，则点也在反比例函数，上的图象上，故该选项正确，不符合题意； D． ，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．已知反比例函数，当自变量时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，关键是熟练应用知识点解题； 根据反比例函数的增减性解题即可． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图象在第二、四象限， 在每一象限内 随 的增大而增大； 当 时，， 当时，随增大而增大，且始终小于， ∴ ． 故答案为：． 12．如图，点，，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的运算，勾股定理，特殊角的三角函数值，熟练运用勾股定理是解题的关键． 过点作轴于点，利用特殊角的三角函数值，利用折叠的性质得到，，再利用勾股定理列式求出点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵沿直线AB翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 把代入可得： ， ∴， 故答案为：． 13．若方程的解满足，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是将方程正确的变形，难度中等．首先根据方程得：，进一步整理得，然后根据解满足，得到． 【详解】解：由方程得：， 即：， 满足，且是开口向上的抛物线，对称轴为， 在范围内，随的增大而增大， ． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 15．如图，是反比例函数图象上一点，轴于点，为轴上一点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质、反比例函数中k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 如图：连接，因为轴，所以可得，再根据反比例函数中k的几何意义求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即的面积为3． 故答案为：3． 16．如图，已知矩形的顶点，分别在反比例函数与的图象上，点，在轴上，，分别交轴于点，，则阴影部分的面积和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，矩形的性质，相似三角形的性质与判定；设点的坐标为，根据反比例函数的定义表示出的长，根据矩形的性质得出得，进而表示出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，，则，， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴点的横坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴，, ∴ 故答案为：． 三、解答题 17．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)保持点位置不变，将直线逆时针转动得到新的直线，且与反比例函数的图象交于点，（点在第二象限），且点，的横坐标之和为，求点，的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． （1）将点代入求出反比例函数解析式，将代入反比例函数解析式，求出即可； （2）根据函数图象，得出不等式的解集即可； （3）先求出点C的坐标为，设直线的表达式为，联立，得出，根据点，的横坐标之和为，得出，求出，再求出直线和双曲线的交点坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：； （2）解：由图象可得，的解集为：或； （3）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为， 联立， 则， 整理得：， ， 解得：， ， 解得：，， ∵点在第二象限， ∴点． 18．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于两点，交反比例函数图象于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将坐标代入，可求出反比例函数解析式，再将坐标代入反比例函数解析式，求出坐标，将两点代入一次函数解析式，即可求出一次函数解析式； （2）根据函数图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标和交点横坐标即可求解； （3）设，求出坐标后，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 反比例函数解析式为， 把代入， 得， 解得， ， 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据函数图象， 当或时，； （3）解：设， 当时，， 则， ， ， 解得， 点坐标为． 19．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数的解析式： (2)连接，，求面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数解析式、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先把代入可得，即，再把代入求得，即；然后运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由一次函数可得，即，再运用坐标与图形、三角形面积公式以及割补法求面积即可． 【详解】（1）解：把代入可得，解得：， ∴， 把代入可得，解得：，， ∵一次函数， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图：连接， ∵一次函数解析式为， ∴，即， ∴面积为∶． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）根据，两点坐标判断即可． （3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数图象上， ， 点A的坐标为点， 将点A，B坐标代入中，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：不等式的解集为或； （3）解：令，则， 令，则， 解得， 点C的坐标为，点D的坐标为， 设， 点A的坐标为点，， ， ， 解得：， 21．如图，反比例函数图象的一支位于第一象限． (1)该函数图象的另一支在第______象限，k的取值范围是_____； (2)点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若的面积为6，求k的值． 【答案】(1)三， (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象和性质得出即可； （2）求出B、C的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象的一支位于第一象限， ∴该函数图象的另一支在第三象限，且， ∴k的取值范围是； 故答案为：三，； （2）解：设点A的坐标为， ∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称， ∴，，点B的坐标是，点C的坐标是， ∴，． ∵的面积为6， ∴． ∴． ∴． ∵点A在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴． 解得． 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $