专题2.2一元二次方程解法及应用-2026年中考数学一轮复习（全国通用版）

2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块二 方程（组）与不等式（组） 专题2 一元二次方程解法及应用 知识梳理 【考点一】一元二次方程的概念 1.一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式：． 3.概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 4.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【考点二】一元二次方程的解及解法 1.一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 2.直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 3.配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 4.公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 5.因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 6.换元法 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【考点三】根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【考点四】根与系数的关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 2.若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． 3.常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【考点五】一元二次方程的实际应用 1.由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 2.一元二次方程的应用 （1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． （2）列一元二次方程解应用题中常见问题： 1　 数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． 2　 增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． 3　 形积问题： 1) 利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． 2) 利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程． 3) 利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 4　 运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 例题讲解 【题型一】一元二次方程的识别 ◇典例1： 下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． ◆变式训练 下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C. 【题型二】一元二次方程的定义与求参数 ◇典例2： 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可得到答案． 【详解】解：∵方程中，的系数为3，的系数为，常数项为1， ∴ 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1， 故选：A． ◆变式训练 已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 将根代入方程求得或，但需满足一元二次方程的条件，即二次项系数不为零，排除． 【详解】解：∵方程有一个根为0， ∴代入得：， ∴， 解得或. 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故选：A． 【题型三】一元二次方程的解 ◇典例3： 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． ◆变式训练 下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 【题型四】根据一元二次方程的解求参数 ◇典例4： 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程得到a与b的关系式，再整体代入所求代数式计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A． ◆变式训练 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（　　） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元二次方程的解求参数，直接将代入方程，进行求解出m的值，即可作答． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ 将代入方程得：， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【题型五】根据一元二次方程的解求参数 ◇典例5： 把一元二次方程化成一般形式： ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． ◆变式训练 下列一元二次方程是一般形式的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式为，逐项判断是否符合此形式，即可． 【详解】解：选项A：右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意； 选项B：展开后为，右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意； 选项C：符合的形式，且，是一般形式，故本选项符合题意； 选项D：右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型六】直接开方法解一元二次方程 ◇典例6： 方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． ◆变式训练 一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法的步骤． 通过直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，考虑正负平方根． 【详解】解：方程两边直接开平方， 得， 因此两个一元一次方程分别为和， 故另一个方程是． 故答案为：． 【题型七】因式分解法解一元二次方程 ◇典例7： 用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据因式分解法将方程变形为解方程即可； （2）根据因式分解法将方程变形为解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）， ， ， 或， 解得，． ◆变式训练 解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴或， ∴或； （2）解： ∴或， ∴或． 【题型八】配方法法解一元二次方程 ◇典例8： 用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了使用配方法解方程，将常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． ◆变式训练 已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 【题型九】求根公式法与换元法解一元二次方程 ◇典例9： 用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选：A． ◇典例10： 阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． ◆变式训练 解方程： (公式法)． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键． 用公式法求出解即可． 【详解】解： ，， 故方程有两个不相等的实数根 即，． 【题型十】一元二次方程的判别式 ◇典例11： 关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的符号与根的情况的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵对于方程，，，， ∴， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． ◆变式训练 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 【题型十一】一元二次方程根与系数的关系 ◇典例12： 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，然后整体代入所求式子计算． 【详解】解：∵ 方程化为标准形式， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． ◆变式训练 已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 【题型十二】与增长率有关的一元二次方程的应用 ◇典例13： 据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：∵7月产值达到3000万元，该公司8，9两个月产值的月均增长率为x， ∴8月产值为：，9月产值为：， ∵第三季度总产值将达到9930万元， ∴， 故选：B． ◆变式训练 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【详解】∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 【题型十三】与销售利润有关的一元二次方程的应用 ◇典例14： 篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此备受社会各界关注．某商场抓住商机购入一批进价为元/个的篮球，当这批篮球以元/个的价格售出时，平均每月的销售量为个．经市场调查发现：该篮球每个的售价在元到元范围内，每个的售价每上涨元，平均每月的销售量就减少个，设这批篮球每个的售价上涨元． (1)这批篮球每月的销售量为_____个；（结果用含的代数式表示） (2)若该商场销售这批篮球要达到每月元利润的目标，则这批篮球每个的售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据题意列出方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，这批篮球每月的销售量为个， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵该篮球每个的售价在元到元范围内，，， ， 答：这批篮球每个的售价应上涨元． ◆变式训练 2025年9月13日19∶30分，渝超（2025重庆城市足球超级联赛）揭幕战正式在重庆市大田湾体育场举行．这一活动不仅能培养出足球精英人才，也有力地促进了重庆的足球经济发展．某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，已知每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多20元，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半． (1)求A、B两种足球每个的进价； (2)这批足球很快售完，该店计划再购进一批足球，此时每个A种足球的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了2m个；每个B种足球的进价上涨了m元，购进B种足球的数量在第一次的基础上减少了3m个，总花费4512元，求m的值． 【答案】(1)A种足球进价为120元，B种足球进价为100元 (2)6 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设B种足球的进价为x元，则A种足球的进价为元，根据某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半，列出方程求出答案； （2）根据总花费4512元，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设B种足球的进价为x元， 根据题意列方程得： 解之得， 经检验，是原方程的解， 答：A种足球进价为120元，B种足球进价为100元； （2）解：根据题意，得， 整理得： ∴ 解之得：（不合题意，应舍去）， ∴． 【题型十四】与图形问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例15： 如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． ◆变式训练 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据道路宽与中间正方形边长的关系，结合矩形面积公式列出方程，再化为一般形式即可． 【详解】解：设道路宽为， 则中间正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得， 故答案为： ． 【题型十五】与数字问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例16： 两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据积为120列方程． 【详解】解：较小的偶数为，较大的偶数为，根据题意，得 ． 故选：B． ◆变式训练 小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，年龄可表示为，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，年龄为，由条件，个位数字的平方等于年龄，即； 故答案为：． 【题型十六】与行程问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例17： 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． ◆变式训练 数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【题型十七】与工程问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例18： “万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． ◆变式训练 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 真题在线 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 2．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 3．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答． 【详解】解：， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 6．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 7．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 8．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 二、填空题 9．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 10．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ， ， 故答案为∶ 11．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 12．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 14．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 15．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 专项练习 一、单选题 1．用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 使用配方法将二次方程转化为完全平方形式． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴配方，加一次项系数一半的平方：， ∴． 故选：B． 2．下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程都转化为一般形式，再计算判别式，判断方程是否有实数根，若，则有实数根；若，则没有实数根． 本题考查了一元二次方程根的情况，判断是否大于等于是解题关键． 【详解】A、方程化为，，，，，则方程无实数根，故选项不符合题意； B、方程化为，，，，，则方程无实数根，故选项不符合题意； C、方程化为，，，，，则方程有实数根，故选项符合题意； D、方程化为，，，，，则方程无实数根，故选项不符合题意． 故选C． 3．若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，据此即可求解； 【详解】解：由题意得： 且 ； 解 得 ，即 ； 当 时，，二次项系数为零，不符合要求； 当 时，，符合要求； 故选：B 4．关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ 且， ∴ 且． 故选：D． 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的解法，正确理解题意并掌握一元二次方程的解法是解题关键．将代入二次函数关系式，解关于的一元二次方程，同时结合实际意义舍去负值即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ ， 整理，得， 解得，． ∵ ， ∴ ． 故选：C． 7．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽度为x米，利用草坪的面积为540平方米可列方程． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意得． 故选：A． 8．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．电影《731》取材真实，讲述抗战胜利前夕侵华日军在黑龙江哈尔滨平房区开展细菌战研究，屠戮百姓进行人体实验的罪恶行径．某平台统计上映首日观影人次约900万，第三天观影人次约1089万，设平均每天观影人次的增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．从首日到第三天，观影人次经历了两次增长，因此使用增长公式列方程即可，注意天数间隔：从第1天到第3天，增长次数为2次，而非3次． 【详解】解：设平均每天观影人次的增长率为x，则第二天人次为万， 第三天人次为万， 根据题意，得． 故选：B． 9．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 10．商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的应用”，根据题意列出方程是解题关键． 设降价x元，根据题意，分别用x表示销售量和售价，根据利润（售价进价）销售量，列方程求解即可． 【详解】设每台冰箱降价x元，则售价为元， 由题意，得每天的销售量为（台）， 由题意，可列方程， 整理得， 解得或， ∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大， ∴应降价200元， 故选：B． 二、填空题 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，直接根据一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12．已知，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根， 利用根满足方程的性质，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即． ∴ ． 故答案为：2028． 13．已知方程的一个根是，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义,根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于k的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ，即 ， 解得 ． 故答案为: ． 14．某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从年的吨增加到年的吨．则产量从年到年平均每年增长率 （设增长率为，不计算列出方程）． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据年平均增长率的指数增长模型，设产量从年到年平均每年增长率为，从年到年经过两年增长，列出方程． 【详解】解：设产量从年到年平均每年增长率为，根据题意得方程． 故答案为 15．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 【答案】20 【分析】此题考查了一元二次方程的应用销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：单个利润售价进价，总利润单个利润数量．设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件，根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意，得方程：， 展开并整理得， 解得或， 为尽快减少库存，取． 故答案为：20． 16．如图，已知篱笆总长为，现利用一面墙墙的最大可用长度为和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为，则花圃的宽为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 设的长为，则为，然后根据花圃面积为列关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设的长为，则， 根据题意得：， 解得：，， 当时，不符合题意舍去， ∴的长为． 故答案为：5． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 18．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的解； (2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是∶ （1）把代入方程，如何根据因式分解法求解即可； （2）先根据根的判别式求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得出，，再把变形为，整体代入得出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 或， ∴，； （2）解：∵方程有两个不等实数根， ∴， ∴， 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 又， ∴． 19．某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)求这个苗圃园可围建的最大面积． 【答案】(1)x的值为12 (2)最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用与二次函数的最值，解题的关键是列面积表达式并结合墙长确定变量范围． （1）据面积列方程，结合墙长验根； （2）列二次函数表达式，根据函数自变量取值范围求最值． 【详解】（1）解：由题意，平行于墙的边长为， 则面积方程为：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，． 墙长为， ，即， 舍去，取． 答：的值为12． （2）解：设苗圃园面积为，则． 由墙长限制得：， 解得：． ，二次函数开口向下，对称轴为， 在内，随的增大而减小， 当时，． 答：苗圃园可围建的最大面积为． 20．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； 设该品牌头盔的实际售价为每个元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得：， ，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价为元/个， ，， 尽可能让顾客得到实惠， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个元． 21．临近元旦，昆明斗南花卉市场年宵花一路走俏，蝴蝶兰作为传统的年宵花，因其美丽的花朵和吉祥的寓意而受到消费者的青睐．某花店销售一批蝴蝶兰，每箱进价40元，规定每箱销售单价不低于46元且不超过55元，试销售期间发现，若销售单价定为44元每箱时，每周可售出300箱，销售单价每上涨1元，每周的销量将减少10箱． (1)每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，花店每周可以获得利润2400元？ (2)设花店每周获得的利润为W（元），将每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，才能使花店每周获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每箱蝴蝶兰的销售单价定为元时，花店每周可以获得利润元 (2)将每箱蝴蝶兰的销售单价定为元时，才能使花店每周获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）利用每箱的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （2）利用每箱的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时，最大，从而计算出时对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得：， 解得，（舍去）， 答：每箱蝴蝶兰的销售单价定元时，花店每周可以获得利润元； （2）解： ， ， 当时，随的增大而增大， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将每箱蝴蝶兰的销售单价定为元时，才能使花店每周获得的利润最大，最大利润是元． 第 1 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块二 方程（组）与不等式（组） 专题2 一元二次方程解法及应用 知识梳理 【考点一】一元二次方程的概念 1.一元二次方程的定义： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式：． 3.概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 4.判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【考点二】一元二次方程的解及解法 1.一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 2.直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 3.配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 4.公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 5.因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 6.换元法 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【考点三】根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 【考点四】根与系数的关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 2.若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． 3.常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【考点五】一元二次方程的实际应用 1.由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 2.一元二次方程的应用 （1）列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． （2）列一元二次方程解应用题中常见问题： 1　 数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． 2　 增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． 3　 形积问题： 1) 利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． 2) 利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程． 3) 利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 4　 运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 例题讲解 【题型一】一元二次方程的识别 ◇典例1： 下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】一元二次方程的定义与求参数 ◇典例2： 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 【题型三】一元二次方程的解 ◇典例3： 若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】根据一元二次方程的解求参数 ◇典例4： 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 ◆变式训练 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（　　） A．3 B． C．7 D． 【题型五】根据一元二次方程的解求参数 ◇典例5： 把一元二次方程化成一般形式： ． ◆变式训练 下列一元二次方程是一般形式的（    ） A． B． C． D． 【题型六】直接开方法解一元二次方程 ◇典例6： 方程的根是（   ） A． B． C． D． ◆变式训练 一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 【题型七】因式分解法解一元二次方程 ◇典例7： 用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． ◆变式训练 解方程： (1)； (2)； 【题型八】配方法法解一元二次方程 ◇典例8： 用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． ◆变式训练 已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【题型九】求根公式法与换元法解一元二次方程 ◇典例9： 用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 ◇典例10： 阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． ◆变式训练 解方程： (公式法)． 【题型十】一元二次方程的判别式 ◇典例11： 关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ◆变式训练 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【题型十一】一元二次方程根与系数的关系 ◇典例12： 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（   ） A．3 B． C．1 D． ◆变式训练 已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【题型十二】与增长率有关的一元二次方程的应用 ◇典例13： 据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型十三】与销售利润有关的一元二次方程的应用 ◇典例14： 篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此备受社会各界关注．某商场抓住商机购入一批进价为元/个的篮球，当这批篮球以元/个的价格售出时，平均每月的销售量为个．经市场调查发现：该篮球每个的售价在元到元范围内，每个的售价每上涨元，平均每月的销售量就减少个，设这批篮球每个的售价上涨元． (1)这批篮球每月的销售量为_____个；（结果用含的代数式表示） (2)若该商场销售这批篮球要达到每月元利润的目标，则这批篮球每个的售价应上涨多少元？ ◆变式训练 2025年9月13日19∶30分，渝超（2025重庆城市足球超级联赛）揭幕战正式在重庆市大田湾体育场举行．这一活动不仅能培养出足球精英人才，也有力地促进了重庆的足球经济发展．某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，已知每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多20元，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半． (1)求A、B两种足球每个的进价； (2)这批足球很快售完，该店计划再购进一批足球，此时每个A种足球的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了2m个；每个B种足球的进价上涨了m元，购进B种足球的数量在第一次的基础上减少了3m个，总花费4512元，求m的值． 【题型十四】与图形问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例15： 如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． B． C． D． ◆变式训练 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程 ． 【题型十五】与数字问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例16： 两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． ◆变式训练 小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ． 【题型十六】与行程问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例17： 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． ◆变式训练 数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【题型十七】与工程问题有关的一元二次方程的应用 ◇典例18： “万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ ◆变式训练 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 真题在线 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（2023·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 5．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 10．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的解为 ． 11．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 12．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    三、解答题 13．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 14．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 15．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 专项练习 一、单选题 1．用配方法解方程时，配方后得到的方程为（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 4．关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（   ） A． B． C． D．或 7．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．电影《731》取材真实，讲述抗战胜利前夕侵华日军在黑龙江哈尔滨平房区开展细菌战研究，屠戮百姓进行人体实验的罪恶行径．某平台统计上映首日观影人次约900万，第三天观影人次约1089万，设平均每天观影人次的增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 10．商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 二、填空题 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 12．已知，是方程的两个实数根，则 ． 13．已知方程的一个根是，则k的值为 ． 14．某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从年的吨增加到年的吨．则产量从年到年平均每年增长率 （设增长率为，不计算列出方程）． 15．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价 元 16．如图，已知篱笆总长为，现利用一面墙墙的最大可用长度为和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为，则花圃的宽为 ． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的解； (2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值． 19．某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)求这个苗圃园可围建的最大面积． 20．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 21．临近元旦，昆明斗南花卉市场年宵花一路走俏，蝴蝶兰作为传统的年宵花，因其美丽的花朵和吉祥的寓意而受到消费者的青睐．某花店销售一批蝴蝶兰，每箱进价40元，规定每箱销售单价不低于46元且不超过55元，试销售期间发现，若销售单价定为44元每箱时，每周可售出300箱，销售单价每上涨1元，每周的销量将减少10箱． (1)每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，花店每周可以获得利润2400元？ (2)设花店每周获得的利润为W（元），将每箱蝴蝶兰的销售单价定为多少元时，才能使花店每周获得的利润最大？最大利润是多少元？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $