精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年下学期九年级 数学 3月学情自测

初三数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 3. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 4. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. 1 C. 1 D. 7. 小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 按如图所示的规律拼图，其中第①个图有9个小正方形，第②个图有15个小正方形，第③个图有21个小正方形……，则第⑧个图中小正方形的个数是（ ） A. 57 B. 51 C. 52 D. 56 9. 如图，在正方形中，F为上一动点，连接，点C与关于直线对称，连接，，并延长交于点E，连接，相交于点N，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 10. 已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（ ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 从，，0，这四个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是________． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知该圆锥的母线，底面圆的半径，则此圆锥的侧面积是________．（结果保留） 13. 若m为正整数，且满足，则________． 14. 若实数m，n同时满足，，则的值为________． 15. 如图，平行四边形的顶点，，在上，连接并延长交于点，为的中点，点在上，连接交于点，若，，，则的值为________，的长为________． 16. 一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要得演算过程或推理步骤，画出必要得图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有非负整数解． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 19. 年春节天假期，重庆文旅市场迎来“开门红”．据市文旅委统计，全市重点监测的家级景区累计接待游客万人次，较年同期增长了．为了解游客对热门景区的体验评价，相关部门从甲景区和乙景区各随机抽取了名游客进行满意度评分（满分分，得分均为整数，注：本次调查得分均在至分之间）．相关数据整理如下：乙景区中评分在分段的具体得分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲景区；名游客评分频数分布表： 评分区间x（分） 频数（人数） 甲、乙景区游客评分统计量表： 景区 平均数 中位数 众数 甲景区 乙景区 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个景区的游客体验更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若甲、乙景区共接待游客的数量占年家级景区累计接待游客总人数的，请根据样本数据估计甲、乙景区接待的游客体验“优秀”（评分在分及以上）的人数．（单位：万人次） 20. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 21. 如图1，在矩形中，，，对角线、相交于点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，运动时间为秒（）．连接，的面积为，与的面积比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并分别写出，的一条性质； （3）根据函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 22. 如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． （1）求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） （2）某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点是上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，点，是直线上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当取得最大值时，求此时点的坐标以及的最小值； （3）在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点的对应点为点，点关于新抛物线对称轴的对称点为点，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 24. 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交直线于点，点为中点，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，若为线段上一点，且，连接，延长至，使，延长至，使，连接，若，求证：； （3）如图3，若为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，为的中点，连接，当取最大值时，将绕点逆时针旋转得到，则当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此结合图形找到四个图形的所有对称轴即可得到答案． 【详解】解：A选项中的图形有1条对称轴，B选项中的图形有5条对称轴，C选项中的图形有1条对称轴，D选项中的图形有3条对称轴， ∴对称轴条数最多的是B选项中的图形． 3. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 【答案】B 【解析】 【分析】只需根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵该调查从1200个芯片中抽取200个进行检测，只调查了部分个体，∴是抽样调查，不是全面调查，A错误． ∵样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了200个芯片，∴样本容量是200，B正确． ∵样本是被抽取的200个芯片的运行效率，不是200个芯片本身，∴C错误． ∵总体是1200个新型芯片的运行效率，不是1200个新型芯片本身，∴D错误． 4. 如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 5. 如图，点，，均在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由同弧所对的圆周角为圆心角的一半可得， ． 6. 春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A. B. 1 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设主干长出x支支干，则每根支干又会分出支小分支，再根据主干、支干、小分支的数量总和为21列方程即可． 【详解】解：设主干长出x支支干，则小分支一共有支， 由题意得． 7. 小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴相等长度的木棍的投影应该在同一侧，且影子的长度相等，只有选项C符合． 8. 按如图所示的规律拼图，其中第①个图有9个小正方形，第②个图有15个小正方形，第③个图有21个小正方形……，则第⑧个图中小正方形的个数是（ ） A. 57 B. 51 C. 52 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知序号每增加1，则小正方形的个数增加6，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图有个小正方形， 第②个图有个小正方形， 第③个图有个小正方形， ……， 以此类推可知，第n个图形有个小正方形， ∴第⑧个图中小正方形的个数是． 9. 如图，在正方形中，F为上一动点，连接，点C与关于直线对称，连接，，并延长交于点E，连接，相交于点N，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，可证明，得到，设，则，，证明，得到，则；由轴对称的性质可得，，过点A作于点G，则，可证明，则可证明，，得到；设，，则，，，由勾股定理可得，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴在中，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得，， 如图所示，过点A作于点G，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵，且， ∴，， ∴； 设，，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（ ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到系数为严格递增整数，结合平方和条件，分情况讨论逐一验证三个说法即可． 【详解】解：①∵是单项式，则只有一个非零系数， ∵，故仅，其余． 当时，，不满足，排除； 当时，仅，则，满足， ∴，， ∴正整数或2或3或4，共4个单项式，故①正确； ②当，时，，， ∵（i为整数，）均为整数，，且， ∴或或 ∴或或 ∴所有满足条件的整式M之和为 ∵ ∴抛物线开口向上 ∴二次函数的最小值为，故②正确； ③当时，，， ∵（i为整数，）均为整数，， ∴或或或或或或或或或或或， ∴满足条件的整式M共有12种，故③正确． 综上，正确个数为3． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 从，，0，这四个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的定义找出无理数的个数，而抽到无理数的概率等于无理数的个数除以数的总个数，据此求解即可． 【详解】解：在，，0，这四个数中，无理数有，，共2个， ∴从，，0，这四个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知该圆锥的母线，底面圆的半径，则此圆锥的侧面积是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面积为． 13. 若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 14. 若实数m，n同时满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化简为，再分情况求出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，， 当时，，无解； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，与矛盾，故无解； 当时，，无解； 综上，，则． 15. 如图，平行四边形的顶点，，在上，连接并延长交于点，为的中点，点在上，连接交于点，若，，，则的值为________，的长为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接交于点，连接，设，由垂径定理可得，，容易证明，则，结合，可得．由圆周角定理可得，从而得到，因此．在直角中，利用勾股定理构造方程，解出，则，，．通过可得，容易证明，则．通过可得，则．最后由平行判定，则． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，设， ∵为的中点， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 16. 一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义直接得出的值，根据，分别求得的值，设千位，百位，十位，个位，得出，根据为完全平方数，得出，则，根据为整数，得出为整数，结合，且数位互不相等，得出，或，，进一步计算，即可求解． 【详解】解：，调换后，则： 已知，且，所有数位数字互不相等且不为0： 若：，十位为，不符合各个数位的数字均不为0的要求，舍去； 若：，设千位，百位，十位，个位，满足，，均不为0． 骐骥数满足，即 对任意四位数，调换后， ∵ ∴ ∴ ∴ 数位和，， 范围内的完全平方数只有， ∴ ∴ ∵为整数， ∴， ∴，即为整数， 又∵结合数位互不相等， 当，时，数位为，符合条件，； 当，时，数位为，符合条件，； 所有满足条件的的和为 三、解答题：（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要得演算过程或推理步骤，画出必要得图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再写出其中的非负整数解即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集表示在数轴上为： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的所有非负整数解为：，，． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，当时，原式的值为 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式法则，完全平方公式，分式的运算法则对原式进行化简，再把x的值化简后代入化简后的算式计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 19. 年春节天假期，重庆文旅市场迎来“开门红”．据市文旅委统计，全市重点监测的家级景区累计接待游客万人次，较年同期增长了．为了解游客对热门景区的体验评价，相关部门从甲景区和乙景区各随机抽取了名游客进行满意度评分（满分分，得分均为整数，注：本次调查得分均在至分之间）．相关数据整理如下：乙景区中评分在分段的具体得分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲景区；名游客评分频数分布表： 评分区间x（分） 频数（人数） 甲、乙景区游客评分统计量表： 景区 平均数 中位数 众数 甲景区 乙景区 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个景区的游客体验更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若甲、乙景区共接待游客的数量占年家级景区累计接待游客总人数的，请根据样本数据估计甲、乙景区接待的游客体验“优秀”（评分在分及以上）的人数．（单位：万人次） 【答案】（1），，； （2）乙景区的游客体验更好．理由见解析（言之有理即可） （3）甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有75.6万人次 【解析】 【分析】（1）用甲景区的样本总数减去其他组的频数即可求得，用减去其他组的圆心角即可得到，根据中位数的定义可计算出； （2）从平均数、中位数和众数的维度选一条评价即可； （3）利用样本中“优秀”的人数的占比，估算总体即可． 【小问1详解】 解：， ，即， 乙景区分段和分段的人数之和为（人）， ∴从低到高排序，乙景区数据的第个数为，第个数为， ∴乙景区数据的中位数； 【小问2详解】 解：乙景区的游客体验更好．理由：乙景区游客满意度评分的中位数89分高于甲景区游客满意度评分的中位数85分，所以乙景区的游客体验更好．（言之有理即可） 【小问3详解】 解：甲、乙景区接待总人数：（万人次） 乙景区样本优秀人数：（人）， ∴甲、乙景区样本总优秀率：， ∴甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有（万人次） 答：甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有万人次． 20. 年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． （1）若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【答案】（1）甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 21. 如图1，在矩形中，，，对角线、相交于点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，运动时间为秒（）．连接，的面积为，与的面积比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并分别写出，的一条性质； （3）根据函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）， （2）图见解析，性质见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）分为点在边和边两种情况讨论，结合同高的三角形的面积之比等于底之比，表示出和即可； （2）根据解析式画出图象，结合图象写出性质即可； （3）结合图象得出取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∵，， ∴， ∴， 当时，如图，点在边上， 由题意可得，， ∵， ∴； 当时，点与点重合，故舍去； 当时，如图，点在边上， 由题意可得，， ∵， ∴； 综上所述，； 由勾股定理可得， ∵， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：与的图象如图所示， 由图可知，在上，随的增大而减小；在上，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：即反比例函数的图象不低于一次函数的图象， 由图可知，当或时，符合要求， ∴的取值范围为或． 22. 如图，某海域捕鱼作业区B位于补给中心的北偏东方向距离海里处，位于岛屿的北偏西方向，岛屿位于补给中心的正东方．（参考数据：，）． （1）求岛屿与捕鱼作业区之间的距离；（结果保留到小数点后一位） （2）某渔船在处监测发现大量鱼群向正西方向迁移，渔船立即向补给中心发送信号并同时以每小时海里的速度向正西方向追赶鱼群．补给中心接到信号后，立即派出另一艘大型渔船从出发（接受信号及通知时间忽略不计），沿正北方向以每小时海里的速度前往协同捕捞．当两船相距海里时，它们开始启动协同捕鱼作业．请问大型渔船出发后多少小时，两船开始启动协同捕鱼作业？（结果保留根号） 【答案】（1）岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里 （2）大型渔船出发后经过小时，两船开始启动协同捕鱼作业 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数计算出，再计算出即可； （2）设大型渔船出发后经过小时，两船可以开始启动协同捕鱼作业．此时大型渔船到达点，渔船到达点，过点作交延长线于点，用表示出和后，在中，利用勾股定理构造方程，求解出的值即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意得：海里，，， 在中，（海里）， 在中， （海里）． 答：岛屿与捕鱼作业区之间的距离为海里． 【小问2详解】 解：如图，设大型渔船出发后经过小时，两船可以开始启动协同捕鱼作业．此时大型渔船到达点，渔船到达点，过点作交延长线于点， 由题意可知：大型渔船行驶路程海里，渔船行驶路程海里，海里， 由（1）可知，海里， 在中，（海里）， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴海里，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴ ， ∴． 答：大型渔船出发后经过小时后，两船开始启动协同捕鱼作业． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，点是上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，点，是直线上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当取得最大值时，求此时点的坐标以及的最小值； （3）在（2）问中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点的对应点为点，点关于新抛物线对称轴的对称点为点，点为新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2），的最小值 （3） 解：，，下面求： 如图，沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作轴于，交轴于， ∴平移方式为向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，， ∵， ∴新拋物线解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴，， 当点在上方时， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（舍） ∴， 当点在下方时，过点作于，交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴，， 设， ∴， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过及对称轴为直线得出，解方程组求出、的值即可得答案； （2）先求出直线的解析式为，设，可得，，证明，得出，，根据二次函数点性质求出，将平移至，点与点是对应点，作点关于的对称点，连接、，根据平移的性质得出，得出四边形是平行四边形，，利用勾股定理求出，根据点为的中点得出，即可得出当且仅当、、共线时，取得最小值，最小值为； （3）先求出新抛物线解析式为，，，根据，分点在上方和下方两种情况，利用一次函数的性质、结合全等三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：如图，将平移至，点与点是对应点，作点关于的对称点，连接、， ∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，， 设， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， ∵， ∴此时， ∵对称轴为直线，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵将平移至，， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设与交于点， ∵， ∴ 解得：，（与点重合，舍去）， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵点与点关于的对称， ∴， ∴当且仅当，共线时，取得最小值，最小值为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式、平移的性质及勾股定理，合理作出辅助线是解题关键． 24. 如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交直线于点，点为中点，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，若为线段上一点，且，连接，延长至，使，延长至，使，连接，若，求证：； （3）如图3，若为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，为的中点，连接，当取最大值时，将绕点逆时针旋转得到，则当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作于点，由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，．使用三角函数计算出，再计算出； （2）作，交的延长线于点，连接，由，可得点是的中点，从而得到．容易证明，则，进一步可证明，因此，．结合可证明，则，．利用正弦函数的定义可得，因此，．通过等量代换可得，因此是等边三角形，则，结合，可得和都是等腰直角三角形．利用三角函数可计算得．容易证明，则，因此是等腰直角三角形，从而得到，结合，命题得证； （3）先求的最大值，连接，取的中点，连接、，设，容易判断是等腰直角三角形，因此，，由中位线的性质可得，．根据线段公理，，因此当、、三点共线时，取得最大值，此时点在延长线上，且与点重合．再确定的最小值，作于点，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点，由，可计算得，．容易证明，则，，进一步计算得．根据垂线段最短可知，当与重合时，取得最小值．此时，，计算得，最后相除并化简即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点， 在直角中，点为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， 在直角中，； 【小问2详解】 解：如图，作，交的延长线于点，连接， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：先分析取得最大值的情况， 如图，连接，取的中点，连接、，设， 由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点为中点， ∴，， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴、、三点共线， 如图，当、、三点共线，点与点重合，作于点，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 在直角中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值， 如图，当时，点与点重合，点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查旋转与全等三角形，线段最值问题，三角函数的应用，掌握好动点的轨迹是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $