专题2.5 一元二次方程易错必刷题型专训（48题12个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题2.5 一元二次方程易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃平凉·月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山西晋城·期末）已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·月考）观察下列方程，找出他们的共同特征，试给出名称，并作出定义． ，，，，． 【易错必刷二 由一元二次方程的定义求参数】 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 4．（25-26八年级下·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【易错必刷三 化成一元二次方程的一般式】 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 2．（25-26八年级下·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西汉中·月考）将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【易错必刷四 解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知方程，则的值为（    ） A．0或6 B．0或 C．1或6 D．或3 2．（25-26八年级下·重庆开州·期末）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如果方程可以配方成，那么__________． 4．（23-24八年级下·山东青岛·月考）解方程： (1)公式法：； (2)配方法：； (3)； (4)． 【易错必刷五 配方法的应用】 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 2．（25-26八年级下·四川南充·期末）代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 3．（24-25八年级下·内蒙古包头·月考）代数式的最小值为______． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 【易错必刷六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2026·八年级下 安徽）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南永州·期末）不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．（25-26八年级下·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求的值； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 【易错必刷七 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B．3 C．5 D．8 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 4．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 【易错必刷八 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（2026·八年级下 河北秦皇岛）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 2．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【易错必刷九 增长率问题（一元二次方程的应用）】 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（2026·八年级下 四川成都）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）某品牌新能源汽车的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为______． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期末）年月日，常泰长江大桥正式通车，常泰两地从“地理相邻”向“经济相融”深度迈进．某超市月初购进一批商品，月份销售了件，常泰长江大桥通车后，该商品十分畅销，销售量持续走高，月份的销售量达到了件，求这两个月的月平均增长率． 【易错必刷十 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）小明拟用总长为8米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，帮妈妈围出一块15平方米的矩形菜地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级下·山西临汾·期末）制作山西特色手擀面时，将面团擀成一块矩形面片，其面积为，然后将其均匀切成6根宽为的面条，且每根面条的长比宽多，则可列一元二次方程为_____． 4．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，社区宠物乐园有一块长方形的狗狗活动区，长12米，宽8米，计划在活动区四周修建宽度相等的防滑垫区域（阴影部分），活动区与防滑垫的总面积为140平方米．求防滑垫的宽度． 【易错必刷十一 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 2．（23-24八年级下·山西阳泉·月考）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 4．（25-26八年级下·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【易错必刷十二 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）】 1．（2025·八年级下 云南）云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心．某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川达州·月考）“川超联赛”正在巴蜀大地火热进行，按照规则，每个球队与其他球队主场（其他球队到达州参加比赛称为达州川汉子球队的主场）和客场各进行一场比赛．已知川东赛区一共要进行20场比赛，那么川东赛区除了达州川汉子球队外，还有几支球队（    ） A．3支 B．4支 C．8支 D．10支 3．（25-26八年级下·上海闵行·月考）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是_________人． 4．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 一元二次方程易错必刷题型专训（48题12个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 2．（24-25八年级下·甘肃平凉·月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 3．（25-26八年级下·山西晋城·期末）已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用一元二次方程根的定义，得到，再整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，即， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·月考）观察下列方程，找出他们的共同特征，试给出名称，并作出定义． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．观察方程的特点：含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程可得此方程的名称为一元二次方程． 【详解】解：它们的共同特征是：含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程，这种方程的名称是一元二次方程． 【易错必刷二 由一元二次方程的定义求参数】 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 2．（25-26八年级下·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 4．（25-26八年级下·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 【易错必刷三 化成一元二次方程的一般式】 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级下·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ∴该方程的一般形式为， 故选A 3．（25-26八年级下·陕西汉中·月考）将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 【易错必刷四 解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知方程，则的值为（    ） A．0或6 B．0或 C．1或6 D．或3 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法计算即可． 【详解】解： ∴或 解得． 故选：A 2．（25-26八年级下·重庆开州·期末）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如果方程可以配方成，那么__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求出和的值，再计算并求其2025次幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 已知配方后为 ， ∴，， 解得， 则， 所以 ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东青岛·月考）解方程： (1)公式法：； (2)配方法：； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先确定，，，再计算，判定有两个不相等的实数根，最后利用公式，即可求解； （2）先把二次项系数化为1，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （3）利用因式分解法，得到两个因式分别等于0，即或，再解方程即可； （4）先将方程左边因式分解，得到，从而得到或，再解方程即可． 【详解】（1）解：移项得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：移项，得， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴或， 解得：，； （4）解： 方程左边因式分解，得， ∴或， 解得：，． 【易错必刷五 配方法的应用】 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用与代数式求值，掌握配方法转化一元二次方程的步骤是解题关键．先配方得出，从而得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵配方时需加上一次项系数一半的平方，即， ∴方程两边同时加25，得， ∴， 对比的形式，得，， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·四川南充·期末）代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 3．（24-25八年级下·内蒙古包头·月考）代数式的最小值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了配方法的应用，通过配方将表达式转化为完全平方式与常数的和的形式，再利用非负性即可求出最小值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为1， 即代数式的最小值为1． 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴关于的方程总为一元二次方程． 【易错必刷六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2026·八年级下 安徽）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项方程整理为一般形式，通过判别式的值判断根的情况，找出的选项即可． 【详解】解：A、方程为，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、整理得，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、整理得，，，， ， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、方程为，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．（25-26八年级下·湖南永州·期末）不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，． ∴． ∵ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．（25-26八年级下·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一实数根为3，求的值； (2)求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式． （1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解： 方程有一实数根为3， ， 解得； （2）证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根． 【易错必刷七 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 2．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（   ） A． B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此求出的取值范围，即可选出符合条件的答案，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题关键. 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实数根，这里，，. ∴. 化简得. 解得. ∵四个选项中只有，其余选项的值均大于. ∴故选A. 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，结合方程有实数根可得根的判别式大于等于0，列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且， 即的取值范围是且． 4．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根 (2)m的值为5或9 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义； （1）求出根的判别式，通过判别式与0的大小关系分类讨论方程实数根的情况； （2）先解方程求出c的值，再分等腰三角形的两腰为方程相等的根、腰长为5两种情况，结合三角形三边关系确定m的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，， 计算判别式， 当，即时，方程有两个不相等的实数根； 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程没有实数根； （2）解方程得：， 因为是三角形的边长， 所以， 情况一：若，则方程有两个相等的实数根， 所以， 解得， 将代入方程得， 解得：， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 情况二：若或，即是方程的根， 将代入方程得， 解得， 将代入方程得， 解得：，， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 综上，m的值为5或9． 【易错必刷八 一元二次方程的根与系数的关系】 1．（2026·八年级下 河北秦皇岛）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 通过根与系数的关系，直接计算表达式的值． 【详解】解：∵ 方程， ∴ ， ∴ ，， ∴ . 故选：C． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】6 【分析】利用一元二次方程根的定义将转化为含的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， 则 ． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ∵方程有两个不等实数根 即， ； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ， ． 【易错必刷九 增长率问题（一元二次方程的应用）】 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 2．（2026·八年级下 四川成都）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并正确列出代数式是关键． 根据每月营业额的增长关系推导九月份营业额的表达式，再结合已知条件列方程． 【详解】解：∵七月份的营业额为万元，月均增长率为， ∴八月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元， ∴方程为． 故选：C． 3．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）某品牌新能源汽车的销售量从1月份的万辆增长到3月份的万辆，设从1月份到3月份的月平均增长率为x，则列方程为______． 【答案】 【分析】本题是一元二次方程的实际应用中的平均增长率问题，根据增长后总量的关系，结合已知3月份的销售量列方程即可． 【详解】解：∵1月份销售量为10万辆，月平均增长率为x， ∴2月份销售量为万辆，3月份销售量为万辆， 又∵3月份销售量为12.1万辆， ∴列方程得． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期末）年月日，常泰长江大桥正式通车，常泰两地从“地理相邻”向“经济相融”深度迈进．某超市月初购进一批商品，月份销售了件，常泰长江大桥通车后，该商品十分畅销，销售量持续走高，月份的销售量达到了件，求这两个月的月平均增长率． 【答案】 这两个月的月平均增长率为 【详解】解：设这两个月的月平均增长率为， 根据题意，可列方程， 解得，（负值舍去）， ． 答：这两个月的月平均增长率为． 【易错必刷十 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）小明拟用总长为8米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，帮妈妈围出一块15平方米的矩形菜地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设矩形的一边长为x米，则该边的邻边长为米， 根据题意得：． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过计算花园总面积与种植花草面积的差值来确定小道所占面积 ，进而通过设置未知数，并根据图形分析建立方程求解． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意得，， 即， 解得：或（舍） ∴小道进出口的宽度为． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期末）制作山西特色手擀面时，将面团擀成一块矩形面片，其面积为，然后将其均匀切成6根宽为的面条，且每根面条的长比宽多，则可列一元二次方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． 根据题意得每根面条的长为，再根据6根面条的总面积等于原面片的面积列方程即可． 【详解】解：∵每根面条的宽为， ∴每根面条的长为． ∴每根面条的面积为， ∵6根面条的总面积等于原面片的面积， ∴可列方程：． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图，社区宠物乐园有一块长方形的狗狗活动区，长12米，宽8米，计划在活动区四周修建宽度相等的防滑垫区域（阴影部分），活动区与防滑垫的总面积为140平方米．求防滑垫的宽度． 【答案】1米 【分析】列一元二次方程解决实际问题． 【详解】解：设防滑垫的宽度为米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：防滑垫的宽度为1米． 【易错必刷十一 动态几何问题（一元二次方程的应用）】 1．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 2．（23-24八年级下·山西阳泉·月考）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则，如图所示 当运动时间为秒时，，，， 依题意得：， 即， 解得：，． ∴当时，t的值为秒或秒， 故选D．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 【易错必刷十二 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）】 1．（2025·八年级下 云南）云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心．某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据从昆明南站到广州南站共设计了56种往返车票，列出方程即可． 【详解】解：设这条线路共有个站点，由题意，得； 故选A． 2．（25-26八年级下·四川达州·月考）“川超联赛”正在巴蜀大地火热进行，按照规则，每个球队与其他球队主场（其他球队到达州参加比赛称为达州川汉子球队的主场）和客场各进行一场比赛．已知川东赛区一共要进行20场比赛，那么川东赛区除了达州川汉子球队外，还有几支球队（    ） A．3支 B．4支 C．8支 D．10支 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设川东赛区除了达州川汉子球队外还有支球队，则赛区共有支球队，每两支球队之间需进行主、客场各1场，共2场比赛．总比赛场数为所有球队两两组合的2倍，即总场数，进而列方程求解即可． 【详解】解：设川东赛区除了达州川汉子球队外还有支球队，则赛区共有支球队， 则总场数， ∵总场数为20场， ∴， 解得：（舍去）， ∴川东赛区除了达州川汉子球队外还有4支球队． 故选：B． 3．（25-26八年级下·上海闵行·月考）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是_________人． 【答案】50 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意建立方程． 设学生人数为n，根据题意建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设学生人数为n， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴这个班的学生人数是人， 故答案为：50． 4．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【答案】共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握握手、循环赛问题是解题的关键．设共有支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛，根据“所有参赛队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次）已知联赛计划安排55场比赛”建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设共有x支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛， 根据题意可得：， 整理得：，， 解得：或（舍）． 答：共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛． 学科网（北京）股份有限公司 $