考点02 二倍角的三角函数（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点02二倍角的三角函数 ①sin2a=2 sinacosa: 二倍角公式 2cos2a=cos'a-sin'a=2cos'a-1=1-2sin'a; ③tan2a=2iana 1-tan'a sinacesa-sin2ai 二倍角的三角函数 降次（幂）公式 s's eg cosa=1+cos2a 2 asina+bcosa=-√匠+bsin(a+p) 辅助角公式 (其中sin中= 6 a+b 考点查缺 精准补漏 考点一一：二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 2sina cosa -sin2a sina cosa=-sin2a. cos2 a sin2 a =2cos2 a-1=1-2sin2 a cos 2a. 2tan a 1-tan2a =tan2a· 2、公式的变形 1±sin2a=(sina±cosa)2; 降幂公式：cos2a=1+cos2a 2 sin'a=1-cos2a 2 升幂公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2au 考点二：升（降）幂缩（扩）角公式 升'幂公式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a 降幂公式：cos'a=+cos20,sin'a=1-cos2a 2 2 考点三：辅助角公式 1、形如asin x+bcosx的三角函数式的变形： 1/35 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 asinx+bcosx=va2+b2 a 6 sinx+- coSx Va2+b2 a2+b2 b 令cosp= a ，sinp= ,则 va2+b2 Va2+b2 asinx+bcosx=a2+b2(sinxcoso+cosxsin)=a2+b2 sin(x+) (其中p角所在象限由a,b的符号确定，p角的值由tanp=b确定，或由sinp= b 三和 0 va+b a cos =共同确定.) va+ 题型突破 遥法接凉 题型一：二倍角公式的简单应用 点方法 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角“函数名“幂“形”着手分 析，消除差异 料易绪 易忽略角的范围导致符号错误，公式混用、漏系数2，开方只取正，忽略降幂扩角与正切分母不为0， 变形不彻底。 4 1.已知x∈(0，，cosr=,则 =() an2x 、7 A:24 7 C.24 24 B.- 24 7 D.- 【答案】A 【解折】医为x0.,cosx=所以e(0} 3 4 所以sinx 5、3 则tanx=4=4 5 2tanx 24 所以tan2x 1-an2x=7,所以1= 久tan2x24 故选：A 2. 2/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 1 B.一2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 cos-si cos+sin=cos-sin2=cos= 6 6八0 6 6 6 6 故选：C 3.己知角Θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)，则c0s20=() 24 7 A.- B.一25 c D. 2 25 【答案】B 33 【解析】由三角函数的定义可得cos0= V32+42 5,故c0s20=2c0s20-1=2× 故选：B 4.设角0的终边经过点P-1,-V2),则sin20=() C.22 D.-2W2 3 B. 3 3 【答案】C 【解析】角O的终边经过点P1,-2),r=-2+-2=5. 所以sin0=V巨-V6 3 3=-3 所以sin20=2sin0cos0=2× 故选：C 5.己知角的顶点与坐标原点0重合，始边与x轴非负半轴重合，若它的终边过点P(2,4),则 31 17 B. C. 17 31 D.1? 31 【答案】A 【解析】因为角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，若它的终边过点P(2,4), 4 所以tana=。=2, 2 2tana2×24 所以tan2a= I-tan'a=1-23-3 3/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 tan 2x tan +1 3 所以tan 2a+ 4 4 4 1-tan 2a tan 1-3x1 故选：A 题型二： 给角求值 点方法 对于给角求值问题，一般有两类 ()直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化， 般可以化为特殊角， (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利 用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。 群易猪 给角求值时，易忽略角的象限导致符号错误，混用余弦三种形式，漏乘系数2，开方只取正，正切忽略 分母不为0与角的限制。 1.化简V3-tan10°cos50°的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】B 【解析】原式可化为 5 1 2 sin 100 sinl0° √5cos10°-sinl0° 2 os10°、 cos50° Cos50° cos10 C0s50° cos10% cos10° 2(sin60°cos10°-cos60°sin10） c0s50°= 2sin50°cos50°sin100 cos109 cos10° cos10° sin(10°+90)_cos10° =1, cos10° cos10° 故选：B 2. V5-4sim20°+8sin320°-() 2sin20°sin480 A. 25 3 B.3 D.2 3 c 4/35 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】A 【解析】 √5-4sin20°+8sin320°V3-4sin201-2sin220） 2sin20°sin480° 2sin20°sin60° 2sin60°-4sin20°cos40°2sin40°cos20°-2sin20°cos40°2sin20°2V5 √3sin20° √3sin20° 3sin20°3 故选：A 1 3. cos280° cos210°/c0s200=（) A.16 B.32 C.-16 D.-32 【答案】B 1 3 1 【解析】由 (13）.1_cos210°-3sin210°1 cos280°cos210cos20°(sin210°cos210°cos20°sin210°cos210°cos20 =4×1-4sin210°1 1-21-cos20) =8× 2c0s20°-1 =16 sin220 cos20° sin20°·sin40 c0s20°-40)-c0s20°+40） =16x2c0s20°-1 32× 2c0s20-1=32 1 cos20°- 2cos20°-1 2 故选：B sinl10°cos250 4. cos225°-sin2155 的值为() 1 A.2 B. C.3 2 D.-3 2 【答案】A inl40° 1 【解析】原式=-sin70cos70 sin40 、2 、21 1 c0s225°-sin225 c0s50° sin40° 2 故选：A 5.sin20°3+tan50）=() A. B.2 C.5 D.1 【答案】D sin20°sin50°+√3cos50 【解析】原式= 2sin20°sin50°+60）2sin20°sin(90°+20 cos 50 cos50 cos90°-50） 2sin20°cos20°_sin40° =1. sin 40 sin40° 故选：D 5/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三：给值求角 点方法 (1)给值求角问题的步骤。 ①求所求角的某个三角函数值. ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角. (2)选取函数的原则， ①己知正切函数值，选正切函数. ②己知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是 0 选正弦或余弦函数均可；若角的范 ) 围 是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是-元，刀 -22 选正弦较好. 辩易楷 给值求角时，易忽略角的范围导致多解，未缩小范围、乱用二倍角公式，忽视三角函数符号，求出的角 不在已知范围内，造成增解。 1. 已知an(a-B)=2anB=-7且a,Be(0,). (1)则tana的值为； (2)则2a-B的值为. 【答案】 1 3π 3 4 11 【解所Dna=ma-创+B]ma-B+taB-2子=方 13 14 tan(a-B)+tanc=1. 2》am(2a-B)=a[a-B+a]-1-anla-A例ama 因为anB=-7<0,所以子<B<x。 7 因为ma-有0，所以0a<号 6/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以-元<a-B<0 而amla-j=分0，所以-<a-f<-号 所以2a-B∈(-元，0). 所以2a-B=-3r 4 故答案为：3一4 13π 2.已知oa,B均为锐角，且tana=7,cosB= 25,则a+2B的值是一 5 【答案】4 π 135 【解所】为战角，且cos69SnB55.mB书 5 2× 故tan2B 2tanβ 2 4 1-tan2B >0 0<2B<号0<a+28<, Xtan(a+2B)-tana+tan2B_ 7x4 3 J-tana tan B17x 0+2B=3沉 4 故答案为： 3π 4 3.已知-π a<元，0<B<，sin2a=3 =号c0sB=75,则2a-月= 10 【答案】- 【解析】由-灭<a<亚得-刀<2a< 4 4 2 因sn2a-}0,则0<2a<号则cos2a=1-sm2a--骨-月 72 √2 圆为0cB,osB7<0,则A<,则5血 10 10 7/35 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则-<-B<-号，则-<2a-B<0, 则sin(2a-β)=sin2 x cos B-cos2 a sin B 72-4x2.-2 =-105107 2 cos2a-β=cos2acosβ+sin2 sin B 4 7√2).3√2√2 5×-105*10 2 则20-B=- 3π 4 故答案为：-3弧 4 ππ π 4.若a22) 且cos2au=sin 4-a则a的值为 【答案】子我音 4 【解析】由cos2a=sin 4a, T cos2a-sin'a sin"cosa-cos sin a= (cosa sina, 4 4 2 (cosa+sina)(cosa-sina) cosa-sina), 2 当oa-通a=0时，c0a=na,即aa=1,由a(号》有a-景 当cosa-sina0osa+sma2,所以V2sma+-号 2 即n如引片由a引将a+晋》 所以a+及=工，所以a=-工. 46 12 故a的值为严或-π 412 故答紫为：我吕 5.若cos(a-)= 5cos2a10,且a为锐角，P为钝角，则a+B○ 10 8/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解析】因为a为说角，c02a=而>0，所以0<a< 10 4 又因为B为钝角，所以-π<-B<-刀 2 所以-π<a-B<- π<a+B< 5π 4’2 4 所以sin(a- 3√10 10 所以 B)-cos[2a-(a-B)=cos2a cos(a-B)+sin2asin(a-B)-V105310x2 5105 2 因为号<a+B<开，所以a+B-买 故答案为：4 π 题型四：给值求值 点方法 (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢： ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论 (2)一个重要结论：(sin0±cos0)2=1±sin20 群易结 给值求值时，易忽略角的范围定错符号，混用余弦二倍角形式，漏乘系数2，未统一角与函数名，计算 粗心出错。 1. 已知cos 【答案】 5-5 5万 3 3 33 【1mg0m-任小-g0小- 9/35 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m后-m-g+小-m后09 故答案为：0_5，②5 3 3 2.若m后-9.则n石-9 【答案】-5-5 33 sin gm后小-m-9 故答案为： 3 3.若os20-）}则sm0+} 【答案】08 【解折】因为o20一引- 所以afa0+-r[29引小-m9-引-号引 1-c0s20+2π 3 2 2 故答案为：5 4已知sma则eoa+} 【答案】 5/-02 【解折】由题意知，oma+=cm+u+=-sna+= 3 故答案为青 5.已知ega子则sm任+a小 10/35 考点02 二倍角的三角函数 考点一：二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 考点二：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 考点三：辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 题型一：二倍角公式的简单应用 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 易忽略角的范围导致符号错误，公式混用、漏系数 2，开方只取正，忽略降幂扩角与正切分母不为 0，变形不彻底。 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 4．设角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，若它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：给角求值 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 给角求值时，易忽略角的象限导致符号错误，混用余弦三种形式，漏乘系数 2，开方只取正，正切忽略分母不为 0 与角的限制。 1．化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（   ） A． B． C． D．2 3．=（    ） A．16 B．32 C． D． 4．的值为（    ） A． B． C． D． 5．（ ） A． B． C． D． 题型三：给值求角 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围 是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 给值求角时，易忽略角的范围导致多解，未缩小范围、乱用二倍角公式，忽视三角函数符号，求出的角不在已知范围内，造成增解。 1．已知，，且． （1）则的值为______； （2）则的值为______． 2．已知，均为锐角，且，，则的值是_____． 3．已知，，，，则__________． 4．若，且，则的值为______． 5．若，且为锐角，为钝角，则___________ 题型四：给值求值 (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：. 给值求值时，易忽略角的范围定错符号，混用余弦二倍角形式，漏乘系数 2，未统一角与函数名，计算粗心出错。 1．已知，则______．______． 2．若，则_____________． 3．若，则__________. 4．已知，则___________． 5．已知，则______． 题型五：利用倍角公式化简及证明 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化． (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等． (5)利用“1”的恒等变形，如，等． 化简证明易漏乘系数 2，错用余弦三种形式，未统一角与函数名，忽略定义域与分母不为 0，证明时推理不严谨、步骤跳跃。 1．证明：． 2．（1）证明：； （2）设，证明：； （3）证明：是无理数． 3．某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： 据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 4．证明： (1). (2). 5．证明下列恒等式： (1)； (2)． 题型六：辅助角公式的应用 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 求错辅助角φ、符号搞反、忽略x范围导致最值求错。 1．若函数，则的最大值为______. 2．若，则实数的取值范围是_____________. 3．设当时，函数取得最大值，则_____. 4．已知函数的最小正周期为，如果函数在时取得最大值，则的值为__________. 5．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则___________． 题型七：三角函数的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 三角函数实际应用易忽略角度单位，建系出错、角范围判断失误，未转化为直角三角形，结果与实际意义不符。 1．如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点（不与点，重合），过点引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值． 2．某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示： (1)在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）； (2)求方案一中矩形面积的最大值； (3)欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由． 3．剪纸是中国传统民间艺术，起源于汉朝，具有构图饱满、造型夸张、题材广泛、地域风格多样等艺术特点．现需在半径，面积为的扇形纸张内剪一个矩形ABCD，如图所示，是扇形弧上的动点，在线段OQ上，A，B均在线段OP上． (1)求圆心角的大小（用弧度表示）； (2)设，且，求BC的长； (3)求矩形ABCD面积的最大值． 4．某小区内有一扇形空地，弧长是米，面积是平方米，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建业主活动室．设计师给出了两个设计方案，如图所示： (1)在方案一中，设，求矩形的面积（用表示）； (2)求方案一中矩形面积的最大值； (3)欲使业主活动室的面积最大，应选择哪个方案？说明理由． 5．学校知辛堂旁有一个矩形水池ABCD，如图所示，米，米．为了便于同学们观赏水池中的锦鲤，学校计划在水池内铺设三条栈道OE，EF和OF．考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E，F分别在边BC，AD上（均含端点），且．设． (1)求x的取值范围； (2)求证：； (3)由于锦鲤在18℃-25℃的水温环境下，食欲旺盛，游动活跃，入冬后，学校决定在三条栈道的底部安装加温带．经核算，三条栈道安装加温带的费用为每米50元．试问如何设计才能使费用最低？并求出最低费用． 1．已知，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 2．已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 3．若为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知函数，则下列判断不正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的值域为 D．在上是增函数 7．（多选题）已知实数满足，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 9．已知，则___________． 10．函数的最小正周期为________. 11．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 12．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若，且，求的值. 13．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 14．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求单调递减区间； (3)当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值. 15．已知函数． (1)求的最小正周期及单调区间； (2)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围． 17．已知. (1)分别求和的值； (2)分别求和的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $