专题10.1 两角和与差的三角函数重难点题型讲义（3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题10.1 两角和与差的三角函数重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 题型二 求15°等特殊角的余弦 题型三 用和、差角的余弦公式化简、求值 题型四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 题型五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 题型六 求15°等特殊角的正弦 题型七 用和、差角的正弦公式化简、求值 题型八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 题型九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 题型十 求15°等特殊角的正切 题型十一 用和、差角的正切公式化简、求值 题型十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值 拓展训练一 两角和与差的余弦相关求值 拓展训练二 两角和与差的正弦相关求值 拓展训练三 两角和与差的正切相关求值 知识点一： 两角和与差的余弦公式 1、两角和的余弦公式：． 2、两角差的余弦公式：． 3、使用注意事项 （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。例如：当，时，； （3）要掌握公式的逆用，如． 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结论． 【详解】， ， ， ， 故选：D． 2．（25-26高一上·四川广元·期末）______． 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得. 【详解】. 故答案为： 知识点二： 两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式：． 2、两角差的正弦公式：． 3、使用注意事项 （1）公式中的，都是任意角； （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即； （3）注意公式的逆向运用：如． 【即时训练】 1．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正弦公式即可求出. 【详解】根据两角和的正弦公式，得. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式计算即得. 【详解】 . 故答案为： 知识点三： 两角和与差的正切公式 1、两角和的正切公式：． 2、两角差的正切公式：． 3、使用注意事项 （1）公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； （2）公式的变形：． 【即时训练】 1．（24-25高三上·辽宁朝阳·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出、的值，利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】因为，，所以，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则_________． 【答案】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 【经典例题一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 【例1】（24-25高三上·重庆·月考）已知角α，β都是锐角，且，是方程的两个不等实根则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，进而由同角三角函数的关系可求的正余弦值，进而利用两角和的余弦公式可求的值. 【详解】由，可得或， 又，是方程的两个不等实根，不妨设，， 又都是锐角，所以由同角的三角函数关系可得，， . 故选：A. 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）已知为锐角，且，求的值． 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式计算即可. 【详解】因为为锐角，且，所以 所以 1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 2．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系以及和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 由可得， 故， 故选：A 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 【答案】60° 【详解】由已知得，，， 则，， ， 又， ． 【经典例题二 求15°等特殊角的余弦】 【例1】（24-25高一上·新疆喀什·月考）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：C 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）求75°，15°角的余弦值． 【答案】，. 【分析】利用两角和与差的余弦公式即可 【详解】 ， ． 1．（24-25高一下·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合两角差的余弦公式运算求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二·甘肃·课后作业）的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦函数的差角公式和特殊角，化简可得的值． 【详解】根据余弦的差角公式，化简得 故选：B 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为______． 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式化简可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）过C作，利用直角三角形边角关系求出即可得解. （2）求得，再分别求出即可得解. 【详解】（1）如图，过C作于，    由，得四边形为矩形， 又，，，则，， 而，，则，， 于是，，在中，同理， 所以，. （2）由，，得， ， 而，，则， 又，，则， 所以. 【经典例题三 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦的差角公式，得： . 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）与相等吗？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】取，时，则，， 此时与不相等； 取，时，． 与一般情况下不相等．但在特殊情况下也有相等的时候． 1．（25-26高三上·安徽·期中）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，再分别求得，，，，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】，由是锐角可得，， 代入题干条件得到，由是锐角可得， 所以. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·广东梅州·月考）下列说法中，正确的是（ ） A．存在，的值，使 B．不存在无穷多个，的值，使 C．对于任意的，，都有 D．不存在，的值，使 【答案】ACD 【分析】根据两角和的余弦公式，结合特值法判断即可. 【详解】对于A，令，则，， 此时，故A正确； 对于B，令，，， 此时，故B错误； 对于C，由两角和的余弦公式可知， 对于任意的和，，故C正确； 对于D，不存在，的值，使， 若存在和，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确. 故选：ACD. 3．（2026·辽宁辽阳·一模）已知，，则________． 【答案】/ 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，， 则，所以， 故. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）你能分别用与求的值吗？ 【答案】能 用：． 用： 【详解】用求解：令，代入两角和的余弦公式得： ； 用求解：令代入两角差的余弦公式得： 【经典例题四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角差的余弦公式，即可化简求值. 【详解】． 故选：C 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用两角和的余弦公式； （2）逆用两角差的余弦公式即可求值． 【详解】（1）原式； （2）原式． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代k数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以O为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形写出的正弦和余弦值，然后验证各选项等式． 【详解】是矩形，则，又，，则， 而，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得平面，而平面，因此，又，所以， 于是，，，，，， ，，其中，， 因为，，， 所以，，故A、B不正确； 因为，故C不正确，D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解. 【详解】． 故选：C 3．（2025·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，试写出一个满足上述条件的的解析式：__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的递推关系，可猜想函数为，验证即可. 【详解】因为中间符号为“”，前后两个代数式中间符号为“”， 所以类比两角差的余弦公式， 但，所以猜测的一个解析式为. 检验，， 所以，满足题意， 又，满足题意， 故的一个解析式为. 故答案为：（答案不唯一）. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）化简下列各式： (1)sin100°cos200°； (2) cos15°. 【答案】(1) (2)cosα 【分析】利用三角函数诱导公式和和差角公式化简求解即可解决. 【详解】（1）sin100°cos200° sin160°+cos160°cos80° = （2） cos15° cos15°sin15° 【经典例题五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 【例1】（24-25高二上·云南临沧·期末）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，，则， . 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把看作一个整体，将化为，用两角和的正弦公式求解； （2）由第（1）问求出的结果，用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）∵，∴， 又∵，∴，∴ ∴， ∴ . ∴. （2）由第（1）问，，，∴， ∴ . ∴. 1．（24-25高一下·山西长治·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算得到，，再根据展开得到答案. 【详解】，都是锐角，，，故，. . 故选：. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 2．（多选）（24-25高一下·江苏淮安·月考）对任意的锐角，下列不等关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ACD，举反例判断C． 【详解】都是锐角，则， ，A错； ，B错； 时，，， （其中），，C错； ，D正确． 故选：ABC． 3．（2026·陕西西安·三模）函数的最大值为________. 【答案】 【分析】设，代入计算结合辅助角公式计算可得结论. 【详解】设， 则， 故当时，即时，取得最大值. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知，且，是方程的两个实根，求和的值． 【答案】，． 【分析】根据韦达定理即可得到，，变形计算可得，同理可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由韦达定理得， 再由得： ； ∴， . 【经典例题六 求15°等特殊角的正弦】 【例1】（24-25高三上·广西·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可. 【详解】， 代入原式可得. 故选：A. 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）求75°，15°角的正弦值． 【答案】， 【分析】由两角和与差的正弦公式计算． 【详解】． ． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角差的正弦公式计算即可求解. 【详解】 . 故选：D. 2．（24-25高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 3．（2024高三·全国·专题练习）________． 【答案】 【分析】先利用诱导公式得，再利用两角和的正弦公式求解. 【详解】 ． 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）原式 ． 【经典例题七 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例1】（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由两角差正弦公式结合题意可得答案. 【详解】. 故选：A 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值： 【答案】 【分析】将拆成，再由正弦差角公式化简求解. 【详解】原式 . 1．（2026·山东德州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，代入原式化简求即可. 【详解】令，则，因此， 将其代入已知等式， 展开得， 整理得，因此. 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对等式的描述正确的是（    ） A．时成立 B．只对有限个α，β的值成立 C．对于任何角α，β都不成立 D．有无限个α，β的值使等式成立 【答案】AD 【分析】对条件进行展开，可以得到等式恒成立的条件，验证选项即可. 【详解】因为， 所以且可使等式成立. 所以， 因为，所以α，β有无限多个，包含，故A，D正确. 故选： 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则的值是____________． 【答案】 【分析】由两角和差的正弦公式化简计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 两式相加得，故. 故答案为：. 4．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由同角三角函数的平方关系可得，再由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由，得． ， . （2）由得，由得， ， 又. 【经典例题八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】逆用两角和的正弦公式计算. 【详解】. 故选：B． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用两角和的正弦公式计算； （2）逆用两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）原式． （2）原式． 1．（2025高三·全国·专题练习）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角和、差的正弦公式即可求解. 【详解】原式. 故选：A. 2．（多选）（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据两角差的正弦公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以当在第三象限时，有， 所以； 当在第四象限时，有， 所以， 故选：BD 3．（2025·浙江金华·二模）已知，则________. 【答案】/ 【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 即，所以. 故答案为： 4．（25-26高一·湖南·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合和差角公式化简即可； （2）由结合和差角公式以及诱导公式化简即可. 【详解】（1） （2） 【经典例题九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 【例1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆的内接四边形中，，，，则（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由于圆内接四边形对角互补，故，求出，，利用两角和的正切公式即可求解． 【详解】圆的内接四边形中，，则， 在中，， 在中，， 所以． 故选：A 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知是方程的两个根，且，，求的值． 【答案】 【分析】根据韦达定理求出的值，然后根据展开式，代入的值求解，再根据的范围求出的范围得到的值. 【详解】是方程的两个根，根据韦达定理可得： ， 又因为 又因为 所以 故答案为： 1．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解． 【详解】由题可知， ， 由于均为锐角，且，故， 同理有， 故，所以， 故选：A． 2．（24-25高三上·山西太原·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，然后结合角范围可得． 【详解】由已知， ，∴． 故选：C． 3．（24-25高一上·山东淄博·开学考试）一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，已知四边形ABCD为筝形，其对角线AC，BD相交于点O.若，，，则筝形ABCD的面积为____________.    【答案】 【分析】应用两角和差正切公式计算可以得出对角线的长，再应用对角线垂直求出四边形面积即可. 【详解】 , . 故答案为: . 4．（24-25高一下·云南·月考）已知. (1)求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方关系式求解，再利用和差公式求解即可得答案； （2）根据商数关系可得的值，再根据正切两角和差公式求解即可. 【详解】（1）因为所以 则 所以. （2）由（1）可得 所以 【经典例题十 求15°等特殊角的正切】 【例1】（24-25高一下·山东潍坊·期末）设为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设条件求得，利用，结合两角差的正切函数，即可求解. 【详解】因为，可得， 由，所以，可得， 所以. 故选：C. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2- 【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解. 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）， ； （4）， . 1．（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·吉林通化·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式计算可得结果. 【详解】. 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值______． 【答案】 【详解】． 4．（24-25高一下·四川雅安·月考）计算：. 【答案】 【分析】由于，据此结合两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】因为，所以 故答案为： 【经典例题十一 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差的正切公式进行计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C. 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）已知，且及都是锐角，求证：． 【答案】见解析 【分析】由题意得到，代入两角和的正切公式即可得证． 【详解】证明：， ， ， ， ，都是锐角， ， 综上所述，结论得证． 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 所以. 2．（多选）（24-25高三上·辽宁抚顺·月考）若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据已知条件及两角差的正切公式即可求解. 【详解】设，则， 所以，解得或. 故选：AD. 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知的三个内角满足，则________． 【答案】 【分析】根据三角形正切恒等式即可求解． 【详解】由三角形正切恒等式知， 恒等式证明：在中，，所以， 则， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和的正弦公式即可求解； （2）由同角三角商的关系及两角和的正切公式即可求解； 【详解】（1）因为角是第二象限角，， 所以， 所以； （2）为第二象限角，， 所以， ， 所以 【经典例题十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要涉及三角函数的两角和正切公式 及其变形的应用,对于第一小问，需要利用和，和等角度和为的关系进行化简；对于第二小问，直接利用两角和正切公式的变形来求解. 【详解】（1）解法1：由， 同理得，… ， 以上各式相乘得原式． 解法2：用倒序积求解． 设， ， 从而， 所以． （2）解法1：因为， 所以， 所以． 解法2： ． 1．（25-26高一上·贵州·期末）的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】 ． 故选：C． 2．（多选）（24-25高一下·江苏扬州·月考）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正弦的和差角公式即可判断A，由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B；由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】对于A，， 故A错误； 对于B，， 故B正确； 对于C，， 故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则______． 【答案】 【分析】由条件可得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故答案为： 4．（2024高一下·江苏·专题练习）求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据两角和的正切公式求解； （2）由特殊角的三角函数值及两角差的正切公式求解； （3）两角和的正切公式变形求解. 【详解】（1）. （2）原式. （3）因为， 所以， 所以. 【拓展训练一 两角和与差的余弦相关求值】 【例1】（24-25高一下·河南南阳·月考）若为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合平方关系和和差公式求出的余弦即可得解. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以，所以， 所以 因为，所以. 故选：B. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，． (1)求、的值； (2)求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据角的象限，利用同角三角函数的平方关系直接计算可得； （2）利用两角差的余弦公式直接计算即可. 【详解】（1）因为，，且，， 所以， . （2）由（1）可得 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，即可由和差角公式求解. 【详解】故， 因此 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·江苏淮安·月考）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（    ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据大小正方形的面积可得边长，由锐角三角函数以及边角关系可求，，且，，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A，4个直角三角形的面积之和为，故每个直角三角形的面积为，故A正确， 对于BC,由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2， 可得,由于互余，所以，故B错误，C正确， 对于D，，①，，②，且，， ,故，故D错误， 故选：AC 3．（24-25高一下·江西吉安·期末）________． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式与和差公式计算即可. 【详解】原式 . 故答案为：． 4．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，，，均为锐角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先根据同角三角函数基本关系式，求，即可求得的值；（2）利用角的变换，再结合两角差的余弦公式，化简求值. 【详解】解：（1）∵，且为锐角， ∴，即； （2）∵，且，均为锐角， ∴， 即， 则， . 【拓展训练二 两角和与差的正弦相关求值】 【例1】（25-26高一上·云南红河·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式求解. 【详解】， 故选：D. 【例2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）化简下列各式： (1) ； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式计算可得结果； （2）由两角和的正弦公式的逆运用计算可得结果. 【详解】（1）易知； （2）. 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出，再根据计算可得. 【详解】∵为锐角，则，又， 所以， ∴， ∴ . 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·月考）若，则不等于（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】由可得，然后利用两角和与差的正弦公式对化简可得答案 【详解】因为，所以， 所以， 故选：ABD. 3．（2025·陕西渭南·三模）已知，则__________. 【答案】 【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解. 【详解】由， 可得， 由，可得：， 即， 联立可得：， 所以， 故答案为： 4．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的取值范围； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可求出可得答案； （2）由两角和的正弦展开式化简，再由及的范围求出可得答案. 【详解】（1）由余弦定理可知. 因为，所以， 则的取值范围为； （2）. 由， 得， 由（1）可知，所以， 则，解得， 则. 【拓展训练三 两角和与差的正切相关求值】 【例1】（24-25高三下·湖南·月考）如图，在正方形中，分别是边上的点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的和差公式得到，然后得到，即可得到. 【详解】由题可知， 则，即，. 故选：D. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，，，求的值． （2）已知，，求，，． 【答案】（1）；（2），， 【分析】（1）根据的范围求出和的范围，利用平方关系求出和的值，将求转化为求，利用两角和的正弦公式求解； （2）将求转化为求，利用两角和的正切公式求解；将求转化为求，利用两角差的正切公式求解；利用两角和的正切公式求即可. 【详解】（1）， ，． 又， ，． ，． ． （2） ， ， ． 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·江苏徐州·期末）在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出. 【详解】对于选项A： 因为， 所以① ②， 所以，所以A正确； 对于选项B： 因为，. 所以，即，所以B正确； 对于选项C： 因为，所以. 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为，. 又，所以， 化简得，所以解得. 又是锐角，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）计算：________． 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式可得，再结合题意分析求解. 【详解】因为， 整理得， 则， 所以 ， 即. 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知是一元二次方程的两个根，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据，得到，再利用两角差的正切公式求解； （2）利用两角和的正切公式求解. 【详解】（1）解方程得． 因为， 所以， 则． （2）． 因为， 所以， 从而． 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 2．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以， 所以， ， ， 故选：C 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和差公式分别计算和，再计算即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用两角差的正弦公式计算. 【详解】. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏常州·月考）（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【详解】， 因， 则， 故. 6．(多选)（24-25高三上·江苏常州·月考）已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，由，得， 因为，所以， 又，其中， 若，则，则，与矛盾， 所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D正确． 故选：ACD 7．（多选）（24-25高一下·湖北孝感·月考）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，利用正弦函数的和角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于B，利用辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于C，根据余弦的二倍角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于D，根据正切函数和角公式，结合特殊角三角函数，可得答案. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由则 所以，故D正确． 故选：AD． 8．（多选）（24-25高三上·山东济南·月考）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用两角差的正弦余弦公式求出的值即可，对于B，利用两角和的余弦公式求解，对于C，求出的值代入化简即可，对于D，利用两角和的正切公式求解 【详解】对于A，因为， ， 所以，所以A正确， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为， 所以，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 9．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）下列等式中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由结合诱导公式、商数公式即可判断A；由两角差的正弦公式化简计算即可判断B；由诱导公式结合两角和的余弦公式即可计算判断C；由结合两角差的正切公式即可计算判断D. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； 因为， 所以，D正确. 故选：AD 10．（多选）（24-25高一上·湖南株洲·期末）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式、正切公式逐一判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确： 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误； 故选：ABC 11．（2025·江西宜春·二模）若，，则________. 【答案】/ 【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用的范围及的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以，则， 整理得到， 又因为，当时，，不合题意， 当时，，则， 所以，， 由，得到，解得， 故答案为：. 12．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】过分别作轴的垂线，交轴于，设，根据条件，求出，利用正、余弦的和角公式，求出，再求出，即可求解. 【详解】如图，过分别作轴的垂线，交轴于，设， 因为，则， 所以， 由题知， 所以， ， 则，， 所以点的坐标为，    故答案为：. 13．（25-26高一上·吉林·期末）的值为___________． 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式计算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为： 14．（24-25高一上·天津·期末）已知，，则__________. 【答案】 【分析】利用两角差的正切公式可求的值. 【详解】因为， ， 所以. 故答案为： 15．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）设a，b是非零实数，且满足，则______. 【答案】/ 【分析】先将原式化简得到，再令，即可得到，从而求得结果. 【详解】由题意可得，， 令，则， 即， 所以，即 故. 故答案为： 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，为锐角，求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由和为锐角可得， 由可得， 于是 . 或 . 所以， 17．（24-25高一下·江苏·月考）已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系即可求解， （2）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解. 【详解】（1）由于故 因此 （2）由于则，结合，故 ， 故 ， 由于则， 故， 18．（2025高三·全国·专题练习）设，求的值，(，) 【答案】0 【分析】首先对已知条件整理，再通过合分比定理以及积化和差即可求解. 【详解】对整理可得， ， 由合分比定理，得 ， 即，， 由积化和差可得，， 即． 19．（24-25高一下·江苏南通·月考）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)试判断是否为定值，如是，求出该定值，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）设，得出，求三角函数的值域即可求出的最小值； （2）设，，利用表示的周长即可化简得出，再利用两角和差的正切公式求出即可. 【详解】（1）设，则，， 因的周长为，则， 所以， 又，得，得， 当，即时，取得最小值，且的最小值； （2）设，，，则，， 则，，， 因的周长为，故， 即，得， ， 又，，则，故， 故，为定值； 20．（2026高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan44°)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将用替换，逆用两角差的正切公式即可求解； （2）根据两角和的正切公式可得即可求解； （3）根据即可求解. 【详解】（1）原式. （2）因为 ， 同理，…， 所以原式. （3）∵， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 两角和与差的三角函数重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 题型二 求15°等特殊角的余弦 题型三 用和、差角的余弦公式化简、求值 题型四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值 题型五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 题型六 求15°等特殊角的正弦 题型七 用和、差角的正弦公式化简、求值 题型八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值 题型九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 题型十 求15°等特殊角的正切 题型十一 用和、差角的正切公式化简、求值 题型十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值 拓展训练一 两角和与差的余弦相关求值 拓展训练二 两角和与差的正弦相关求值 拓展训练三 两角和与差的正切相关求值 知识点一： 两角和与差的余弦公式 1、两角和的余弦公式：． 2、两角差的余弦公式：． 3、使用注意事项 （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。例如：当，时，； （3）要掌握公式的逆用，如． 【即时训练】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川广元·期末）______． 知识点二： 两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式：． 2、两角差的正弦公式：． 3、使用注意事项 （1）公式中的，都是任意角； （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即； （3）注意公式的逆向运用：如． 【即时训练】 1．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）__________． 知识点三： 两角和与差的正切公式 1、两角和的正切公式：． 2、两角差的正切公式：． 3、使用注意事项 （1）公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； （2）公式的变形：． 【即时训练】 1．（24-25高三上·辽宁朝阳·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）已知，则_________． 【经典例题一 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦】 【例1】（24-25高三上·重庆·月考）已知角α，β都是锐角，且，是方程的两个不等实根则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·湖南·课后作业）已知为锐角，且，求的值． 1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，中，，是上一点，且．求的大小． 【经典例题二 求15°等特殊角的余弦】 【例1】（24-25高一上·新疆喀什·月考）的值为（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）求75°，15°角的余弦值． 1．（24-25高一下·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·甘肃·课后作业）的值为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京海淀·期中）求的值为______． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【经典例题三 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）与相等吗？ 1．（25-26高三上·安徽·期中）已知，均为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东梅州·月考）下列说法中，正确的是（ ） A．存在，的值，使 B．不存在无穷多个，的值，使 C．对于任意的，，都有 D．不存在，的值，使 3．（2026·辽宁辽阳·一模）已知，，则________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）你能分别用与求的值吗？ 【经典例题四 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代k数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的都是以O为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，．记，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，试写出一个满足上述条件的的解析式：__________. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）化简下列各式： (1)sin100°cos200°； (2) cos15°. 【经典例题五 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦】 【例1】（24-25高二上·云南临沧·期末）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 1．（24-25高一下·山西长治·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏淮安·月考）对任意的锐角，下列不等关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）函数的最大值为________. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知，且，是方程的两个实根，求和的值． 【经典例题六 求15°等特殊角的正弦】 【例1】（24-25高三上·广西·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）求75°，15°角的正弦值． 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值． (1)； (2)； 【经典例题七 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例1】（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简求值： 1．（2026·山东德州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列对等式的描述正确的是（    ） A．时成立 B．只对有限个α，β的值成立 C．对于任何角α，β都不成立 D．有无限个α，β的值使等式成立 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则的值是____________． 4．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知． (1)求； (2)若，且，求． 【经典例题八 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D．1 【例2】（25-26高一·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 1．（2025高三·全国·专题练习）的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江金华·二模）已知，则________. 4．（25-26高一·湖南·课后作业）化简： (1)； (2)． 【经典例题九 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切】 【例1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆的内接四边形中，，，，则（    ） A．-3 B． C． D．3 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知是方程的两个根，且，，求的值． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高三上·山西太原·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东淄博·开学考试）一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，已知四边形ABCD为筝形，其对角线AC，BD相交于点O.若，，，则筝形ABCD的面积为____________.    4．（24-25高一下·云南·月考）已知. (1)求的值； (2)已知，求的值. 【经典例题十 求15°等特殊角的正切】 【例1】（24-25高一下·山东潍坊·期末）设为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 1．（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林通化·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值______． 4．（24-25高一下·四川雅安·月考）计算：. 【经典例题十一 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·上海·课堂例题）已知，且及都是锐角，求证：． 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（多选）（24-25高三上·辽宁抚顺·月考）若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一下·全国·专题练习）已知的三个内角满足，则________． 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知角是第二象限角，，为第二象限角，． (1)的值； (2)求的值． 【经典例题十二 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B．1 C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 1．（25-26高一上·贵州·期末）的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏扬州·月考）下列各式中值为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则______． 4．（2024高一下·江苏·专题练习）求值： (1)； (2)； (3). 【拓展训练一 两角和与差的余弦相关求值】 【例1】（24-25高一下·河南南阳·月考）若为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，． (1)求、的值； (2)求的值； 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏淮安·月考）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（    ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 3．（24-25高一下·江西吉安·期末）________． 4．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，，，均为锐角. （1）求的值； （2）求的值. 【拓展训练二 两角和与差的正弦相关求值】 【例1】（25-26高一上·云南红河·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·新疆喀什·期末）化简下列各式： (1) ； (2). 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏盐城·月考）若，则不等于（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 3．（2025·陕西渭南·三模）已知，则__________. 4．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的取值范围； (2)若，且，求的值. 【拓展训练三 两角和与差的正切相关求值】 【例1】（24-25高三下·湖南·月考）如图，在正方形中，分别是边上的点，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，，，求的值． （2）已知，，求，，． 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江苏徐州·期末）在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）计算：________． 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知是一元二次方程的两个根，且． (1)求的值； (2)求的值． 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高一下·江苏常州·月考）（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 6．(多选)（24-25高三上·江苏常州·月考）已知，，下列选项正确的有（ ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·湖北孝感·月考）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高三上·山东济南·月考）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）下列等式中正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一上·湖南株洲·期末）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·江西宜春·二模）若，，则________. 12．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，将点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 13．（25-26高一上·吉林·期末）的值为___________． 14．（24-25高一上·天津·期末）已知，，则__________. 15．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）设a，b是非零实数，且满足，则______. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，为锐角，求的值. 17．（24-25高一下·江苏·月考）已知. (1)求； (2)求. 18．（2025高三·全国·专题练习）设，求的值，(，) 19．（24-25高一下·江苏南通·月考）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)试判断是否为定值，如是，求出该定值，若不是，请说明理由； 20．（2026高一下·江苏·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan44°)； (3). 学科网（北京）股份有限公司 $