专题01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式8种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式8种常考题型 题型一：两角和与差的正(余)弦公式 题型二：两角和与差的正切公式 题型三：用和差角公式化简、求值 题型四：给值求值 题型五：给值求角 题型六：逆用和差角公式化简、求值 题型七：辅助角公式的运用 题型八：两角和与差的正弦、余弦、正切公式与其他章节的融合 题型一：两角和与差的正(余)弦公式 1．的值为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式即可得解. 【解析】原式 故选：B. 2.的值等于（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式变形，然后用两角和的余弦公式计算. 【解析】. 故选：B. 3.（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【解析】 . 故选：B. 4.已知且都是第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【解析】因为且都是第二象限角， 所以，， 所以. 故选：C. 5. 的值等于（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正弦公式即可得解. 【解析】， 故选：B. 6.计算（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可. 【解析】， 代入原式可得. 故选：A. 7.已知角，满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【分析】根据已知条件结合（设其值为）的展开式，表示出，，从而可得的最大值. 【解析】因为，所以， 设，所以，， 则， 又，则的最大值为1，所以的最大值为. 故选：B. 8.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题可得，利用展开化简可得. 【解析】由题可得， . 故选：D. 9. . 【答案】 【分析】先利用诱导公式变形，然后用两角和的余弦公式计算. 【解析】 . 故答案为：. 10.求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】利两角和与差的余弦公式计算. 【解析】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二：两角和与差的正切公式 11．已知，，则等于（  ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正切公式可求得的值. 【解析】因为，， 所以. 故选：C. 12.（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式可求得的值. 【解析】 . 故选：A 13.下列说法中正确的是（  ） A．存在，使成立 B．对任意都成立 C．能根据公式直接展开 D．在中，若为钝角，则的值大于1 【答案】A 【分析】对于A，举例判断；对于B，由正切函数的定义域判断；对于C，由正切函数的定义域判断对于D，根据为钝角，由两角和的正切公式判断. 【解析】对于A，当时，成立； 对于B，两角和的正切公式的适用范围是； 对于C，因为没有意义，所以不能直接展开； 对于D，因为为钝角，所以为锐角，从而均为锐角， 所以，且． 故． 故选：A 14.已知在中，，，则的值为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解． 【解析】由已知得，则， 所以， 故选：D． 15．（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案. 【解析】， ， ， 所以， 所以 . 故选：A 16.的值为_________ 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式推得，从而得，依次类推，即可求得的值，即得答案. 【解析】因为，故， 即， 所以， 同理，，， 故， 故答案为： 题型三：用和差角公式化简、求值 17．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用两角差的余弦公式先求，再根据两角和的余弦公式即可求解. 【解析】由，又，所以， 所以， 故选：A. 18.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和、差的正弦可求得和的值，即可得到. 【解析】由题意得， 联立两式得， 故． 故选：A. 19.已知，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合正弦和差公式和三角函数有界性得到答案. 【解析】设， 则，得； ，得． 综上知． 故选：C． 20.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，，再结合两角和与差的三角公式进行化简，然后利用同角三角函数的基本关系可得答案. 【解析】因为 ， ， 所以：，. 又 . 故选：B. 21.若，则（  ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的两角差公式化简求解即可. 【解析】因为， 所以，所以． 故选：C． 22.已知，，则（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可. 【解析】因为， 所以，化简得. ①+②得，①-②得. 所以. 故选：C. 23.若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于（  ） A． B．2 C．1＋ D．2(tan A＋tan B) 【答案】B 【分析】由已知，应用和角正切公式可得tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，利用因式分解求目标式的值. 【解析】由题设得：tan(α＋β)＝＝－1， ∴tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，即2＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(1－tan α)(1－tan β)． 故选：B 24.（多选）已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解. 【解析】因为 ( 为锐角), 故 , 故 正确; 因为 , 所以 , 故 B 错误; 由 , 故 , 故 C 正确; 且 , 所以 , 故 D 错误. 故选: AC. 25.已知 ． 【答案】 【分析】应用两角和的正切公式化简计算求解. 【解析】. 故答案为：. 26.已知，则________． 【答案】 【分析】利用变角凑角将所求式子化为，利用两角和差的正弦公式展开后利用同角三角函数的商数关系化为正切的形式，进而代入已知条件化简即得. 【解析】∵， ∴ . 故答案为：. 题型四：给值求值 27．已知锐角满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差余弦公式可求得结果. 【解析】为锐角，，， 又， . 故选：A. 28.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出和的值，利用，即可求出的值． 【解析】， ， 故选：A. 29.已知，，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系结合求解． 【解析】因为，，所以， 又，则，， 又，所以， 所以， ， 故选：D. 30.若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【解析】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. 31.已知，，则等于（  ） A．1 B． C． D．2或6 【答案】C 【分析】由已知可得，再由诱导公式及，结合差角正切公式即可求. 【解析】因为，则，解得，又， 所以. 故选：C. 32.若，，且都为锐角，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可. 【解析】因为都为锐角，所以，所以，， 所以， 因为。，所以， 因为，， 所以， 所以 . 故选：D. 33.已知，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角差的正切公式计算． 【解析】， ， 故选：C． 34.已知，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出，，利用诱导公式，凑角法和余弦和角公式进行求解. 【解析】由题意得， 则，， 所以 . 故选：B. 35.已知，则_________- 【答案】 【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【解析】因为， 所以，故． 故答案为： 36.在 ABC中，已知，，则cosC=______________ 【答案】 【分析】根据，，结合函数值确定角的范围，分别求得，再由求解. 【解析】在 ABC中，∵， ∴， ∴. ∵， ∴或(舍去)， ∴， ∴， . 故答案为：. 37.已知，，，求的值. 【答案】 【分析】由平方关系结合角的范围求出，，由可得，利用差角公式运算得解. 【解析】由，， ， 又，则， ， 因为， 所以 . 38.已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可； （2）利用同角三角函数的基本关系与余弦的和差角公式求解即可 【解析】（1）因为，为锐角，则，，， 则，， 而． （2）由，得： ，， 则． 题型五：给值求角 39．已知都是锐角，且，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式即可得解. 【解析】因为都是锐角，且， 所以 又 故选：B. 40.已知，，，，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用两角差的余弦可求的值. 【解析】因为，所以，所以， 因为， ， 故， 又因为，所以， 故选：C. 41.已知，，，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用切化弦以及正弦的和角公式即可求解 【解析】因为，， 所以或； 若，则， 此时（舍）； 若，则， 此时（符合题意）， 所以，即； 因为且， 所以且，解得，， 则， 又，所以. 故选：B. 42.已知角，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据求出，注意求得的范围，再根据结合两角和的正切公式即可得解. 【解析】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 故选：A. 43.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【解析】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C. 44.已知，且，求的值为_____． 【答案】 【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定. 【解析】，则，注意到 ，于是 ，不妨记 ，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得： ，而，于是 . 故答案为：. 45.已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【解析】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为：. 46.若，，其中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，进而利用两角和与差的余弦求得，然后求出. 【解析】因为，所以. 因为，所以. 由已知可得，， 则 . 因为，所以. 故答案为： 47.若，，其中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，进而利用两角和与差的余弦求得，然后求出. 【解析】因为，所以. 因为，所以. 由已知可得，， 则 . 因为，所以. 故答案为： 48.已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出. 【解析】（1）由，可得； 所以； 即 （2）由可得， 又，所以 由可得. 即的值为 49.已知，，，， （1）求的值； （2）求角的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据、得到，利用同角的三角函数基本关系式即得； （2）注意到，故只需分别求出的值，利用差角的正弦公式即可求得的值，利用即可求得角的值. 【解析】（1）由得，因，则； （2）又由知，因， 则， 由 ， 又因，故 题型六：逆用和差角公式化简、求值 50．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，逆用和角的余弦公式化简即得. 【解析】依题意，原式. 故选：C. 51.化简，得（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可. 【解析】由，， ∴. 故选：A 52.化简（  ） A．8 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】构造两角和的正切公式，利用特殊角的正切值得到等式即可. 【解析】因为， 所以， 即， 故选：B 53.若，则（  ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用正切的两角差公式的逆用，即可求值. 【解析】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 54. 求值：________． 【答案】 【分析】根据条件，逆用正切的和角公式即可求出结果. 【解析】因为 ， 故答案：. 55.满足的一组、的值是 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】逆用和角余弦公式得，进而可得或，，即可得结果. 【解析】由， 所以或，， 当，时，，满足要求. 故答案为：，（答案不唯一） 题型七：辅助角公式的运用 56． （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将写成，利用两角和的正弦公式化简即可. 【解析】因为 . 故选：A. 57.若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式化简求值得，结合诱导公式利用两角差的正弦公式求值得，即可比较大小. 【解析】因为， ，又，所以. 故选：D 58. 辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中）．若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 过点的直线与的图象一定有公共点 【答案】D 【分析】由可得，，计算出 、可判断A；由三角函数对称性质可判断B；整体代换法和值可判断C；由可判断D. 【解析】函数， 因为， 所以，，取， 所以， 即，解得， ，， 所以，故 A错误； ，故B错误； 当时，， 故在单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 因为是，且的周期函数， 故过点的直线与的图象一定有公共点，故D正确. 故选：D. 59.（多选）已知函数，若有且仅有一个实数，使得，则实数的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】BC 【分析】利用辅助角公式化简，根据题意确定，结合正弦函数性质可得，即可求得答案. 【解析】由题意得， 因为在上有且仅有一个实数满足，而， 则， 解得，所以实数的值可能为或， 故选：BC 60.表示一个整数，该整数使得等式成立，则这个整数______. 【答案】1 【分析】由题设可得，利用倍角正弦、差角余弦公式、诱导公式，将右侧化为含的式子，即可得答案. 【解析】令整数为，则，显然， 所以， 所以， 所以，故. 故答案为：1 61.若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知与没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解. 【解析】由题意可知：与没有交点， 因为， 且，可得， 可知，所以实数k的取值范围是. 故答案为： 62.已知的最大值为，则__________. 【答案】2 【分析】利用两角差的正弦公式化简，再结合辅助角公式列出关于a的方程，即可求得答案. 【解析】由， 由于最大值为，故， 解得，或（负值舍去）， 故答案为：2 63.已知函数，其中，若函数在处取得最大值，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】由三角函数的恒等变换可得函数的解析式，可得函数的最大值时的值与辅助角的关系，再由的正切值的范围，可得的范围，进而求出的范围. 【解析】由函数的对称性， 设，， 且， 所以， 此时， 可得， 所以， 因为， 所以 . 因为递增，所以递增，递减， 且时，，时，， 所以，即. 故答案为： 题型八：两角和与差的正弦、余弦、正切公式与其他章节的融合 64．在平面四边形中，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，故可建立平面直角坐标系，设出相关线段长，表示出各点坐标，结合可得所设参数的关系，利用解直角三角形求出的值，利用两角和的正切公式，即可求得答案. 【解析】由题意知，则， 故以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 故， 由于，故， 即，即， 则在中，， 同理可得， 故， 故选：C 65.中若有，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用三角函数恒等变换公式对原式化简变形可得结论 【解析】由，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以为直角三角形， 故选：B 66.已知，且，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 取不到最大值和最小值 D. 以上均不正确 【答案】D 【分析】注意到，将等式化成，展开整理得到，利用角的范围，将其简化为，代入中整理可得，利用基本不等式即可求得最大值. 【解析】由可得：，展开得：， 即（*），因且，故，由（*）可得：. 由， 因，则，由, 可得：，当且仅当时， 即时，时，等号成立，故时，有最大值为. 故选：D. 67.已知在中，，则角的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据题设作出示意图，令、，利用差角正切公式求，应用基本不等式求其最大值，即可得的最大值，注意取值条件. 【解析】由题意，作，如图所示， 令，则，设，则，， 所以， 则，当且仅当时，取得最大值. 故答案为： 68.在中，已知，．锐角，满足． ①当，______； ②当取最小值时，______． 【答案】 ①. ## ②. 【分析】由条件可知，，展开后利用三角恒等变形， 转化为的二次函数，即可求解；第二问可知， ，展开后利用三角恒等变形，得到 ，代入后，利用基本不等式求最值，即可求解. 【解析】由题意可知，，则，， ，，， ，则,， 时，， 则， ， 两边同时除以，并且， 得， 化简为，得或（舍）， 所以； ，两边同时除以， 得， ，，，, 化简为，则， ， 设，则， 则， 当时，即时等号成立， 此时，， 所以. 故答案为：； 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式8种常考题型 题型一：两角和与差的正(余)弦公式 题型二：两角和与差的正切公式 题型三：用和差角公式化简、求值 题型四：给值求值 题型五：给值求角 题型六：逆用和差角公式化简、求值 题型七：辅助角公式的运用 题型八：两角和与差的正弦、余弦、正切公式与其他章节的融合 题型一：两角和与差的正(余)弦公式 1．的值为（ ） A．0 B． C． D． 2.的值等于（ ） A．0 B． C． D． 3.（  ） A． B． C． D． 4.已知且都是第二象限角，则（ ） A． B． C． D． 5. 的值等于（ ） A． B．1 C．0 D． 6.计算（  ） A． B． C． D． 7.已知角，满足，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（ ） A. B. C. D. 9. . 10.求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4) 题型二：两角和与差的正切公式 11．已知，，则等于（  ） A．1 B．5 C． D． 12.（  ） A． B． C． D． 13.下列说法中正确的是（  ） A．存在，使成立 B．对任意都成立 C．能根据公式直接展开 D．在中，若为钝角，则的值大于1 14.已知在中，，，则的值为（  ） A． B． C．2 D． 15．（  ） A． B． C．1 D． 16.的值为_________ 题型三：用和差角公式化简、求值 17．已知，，则（ ） A． B． C． D． 18.已知，则（  ） A． B． C． D． 19.已知，则的取值范围是（  ）． A． B． C． D． 20.已知，且，则（  ） A． B． C． D． 21.若，则（  ） A．3 B．1 C． D． 22.已知，，则（  ） A．13 B．14 C．15 D．16 23.若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于（  ） A． B．2 C．1＋ D．2(tan A＋tan B) 24.（多选）已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ） A. B. C. D. 25.已知 ． 26.已知，则________． 题型四：给值求值 27．已知锐角满足，则 （ ） A． B． C． D． 28.已知，则（ ） A． B． C． D． 29.已知，，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 30.若，，则（  ） A． B． C． D． 31.已知，，则等于（  ） A．1 B． C． D．2或6 32.若，，且都为锐角，则（  ） A． B． C． D．1 33.已知，，那么等于（  ） A． B． C． D． 34.已知，则 （  ） A． B． C． D． 35.已知，则_________- 36.在 ABC中，已知，，则cosC=______________ 37.已知，，，求的值. 38.已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 题型五：给值求角 39．已知都是锐角，且，，则（ ） A． B． C．或 D．或 40.已知，，，，则（ ） A． B． C． D．或 41.已知，，，则（ ） A． B． C． D．或 42.已知角，，，则（  ） A． B． C． D． 43.已知，则（  ） A． B． C． D． 44.已知，且，求的值为_____． 45.已知，，，，则的值为 . 46.若，，其中，，则的值为 ． 47.若，，其中，，则的值为 ． 48.已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 49.已知，，，， （1）求的值； （2）求角的值. 题型六：逆用和差角公式化简、求值 50．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 51.化简，得（ ） A． B． C． D． 52.化简（  ） A．8 B．1 C．2 D．4 53.若，则（  ） A．0 B．1 C． D．2 54. 求值：________． 55.满足的一组、的值是 ． 题型七：辅助角公式的运用 56． （  ） A． B． C． D． 57.若，，，则（ ） A． B． C． D． 58. 辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中）．若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 过点的直线与的图象一定有公共点 59.（多选）已知函数，若有且仅有一个实数，使得，则实数的值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 3 60.表示一个整数，该整数使得等式成立，则这个整数______. 61.若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 62.已知的最大值为，则__________. 63.已知函数，其中，若函数在处取得最大值，则的取值范围为____________． 题型八：两角和与差的正弦、余弦、正切公式与其他章节的融合 64．在平面四边形中，，则的值是（  ） A． B． C． D． 65.中若有，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 66.已知，且，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 取不到最大值和最小值 D. 以上均不正确 67.已知在中，，则角的最大值为__________． 68.在中，已知，．锐角，满足． ①当，______； ②当取最小值时，______． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $