专题7.5 复数24道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

专题7.5 复数24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 已知复数的类型求参数 题型二 在各象限内点对应复数的特征 题型三 与复数模相关的轨迹(图形)问题 题型四 复数加减法几何意义的运用 题型五 复数范围内方程的根 题型六 复数乘、除运算的三角表示 【经典例题一 已知复数的类型求参数】 1．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可 【详解】由题意， 故为实数 或 故选：A 2．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 3．已知是虚数单位，则上的虚部为_______；若，则_______． 【答案】 【分析】根据复数除法运算可化简为，根据虚部的定义可得结果；将整理为，根据实数的定义可构造方程求得结果. 【详解】    的虚部为：     ，解得： 本题正确结果：； 【点睛】本题考查复数虚部的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，关键是能够根据复数的四则运算化简复数. 4．已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)；(2)；(3)不存在实数使得为纯虚数. 【分析】(1)由复数z为实数可得其虚部为0，又，由此求m； (2) 由复数z为虚数可得其虚部不为0，又，由此求m； (3) 由复数z为纯虚数可得其实部为0，虚部不为0，又，由此求m. 【详解】(1)当为实数时，有 得 所以，即当时，为实数. (2)当为虚数时，有且， 所以且且， 即当时，为虚数. (3)当为纯虚数时，有 所以故不存在实数使得为纯虚数. 【经典例题二 在各象限内点对应复数的特征】 5．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(　　)． A．复数z对应的点在第一象限 B．复数z一定不是纯虚数 C．复数z对应的点在实轴上方 D．复数z一定是实数 【答案】C 【详解】∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正， ∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D. 又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确． 选C. 6．定义：设非零复数z对应的点为M，角(0≤≤2)的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边为射线OM，则称角为复数的幅角，记作=argz如图所示的阴影区域(含边界)所对应的集合是（    ） A．{z||z|=1，≤argz≤ } B．{z||z|=1，Imz≥ } C．{z||z|≤1，≤argz≤ } D．{z||z|≤1，Imz≥ } 【答案】CD 【分析】根据题中所给的图，可以判断出其模的范围，根据阴影区域内点的纵坐标的范围，得到其虚部的范围，结合复数幅角主值的取值范围，最后得到正确选项. 【详解】因为阴影区都在单位圆内部， 所以，所以A、B不正确， 因为复数的幅角主值取值范围为， 所以，所以C正确， 从图中可以发现，阴影区点的纵坐标的取值范围为， 即其虚部的取值范围为，所以D正确， 故选：CD. 7．设复数，，满足，，，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值. 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故答案为： 【点睛】结论点睛：复数的几何意义： （1）复数复平面内的点； （2）复数 平面向量. 8．（1）已知复数，（是虚数单位）是关于的方程的根，、R，求的值． （2）若复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点在第二象限，求实数m的集合． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将复数代入方程中，利用复数相等的充要条件即可求解. （2）求出共轭复数，由题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）复数，（是虚数单位）是关于的方程的根， 则即， 根据复数相等可得，解得：，所以. （2）复数 对应的点在第二象限， 则对应的点为， 则，解得： 【经典例题三 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 9．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 10．已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【分析】求出复数和的模比较即可判断选项A，利用复数的几何意义即可求解出俩个复数的距离即可判断选项B，满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，利用圆的周长公式即可求解选项C,满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以，为半径的两个圆所夹的圆环，利用圆的面积公式即可求解. 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 11．已知复数z满足，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】先由复数几何意义得复数z所表示的点Z在圆上，再由复数的模长公式结合两点间距离公式得到取得最小值时取得最小值即可求解. 【详解】设，则，所以复数z所表示的点Z在圆上， 因为， 表示圆上的点与定点距离d的平方， 当该距离平方取得最小值时，取得最小值， 而该距离d的平方的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（1）求复数的模的最小值； （2）复数，若，，，求复数对应的点的集合形成的图形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据复数的模的定义求的解析式，再由二次函数性质和根式性质求其最小值即可； （2）由条件确定复数对应的点的集合形成的图形，再求其面积. 【详解】（1）∵ 所以， 当且仅当时，等号成立， ∴当时，取得最小值． （2）复数在复平面上的对应点的坐标为， 因为，，， 所以，，， 所以复数对应的点的集合形成的图形如下图中的阴影部分（不包括轴上的点）：    所以复数对应的点形成的图形的面积. 【经典例题四 复数加减法几何意义的运用】 13．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 14．已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点在复平面上的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】A：根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可； B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可； C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确； 复数，所以复数，故B正确； 设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径， 表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.    而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误． 故选：ABC． 15．复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为______． 【答案】 【分析】设，则，根据，可得，从而可得对应的点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】设，则，所以， 因为，所以， 说明对于给定的，对应的点在以对应的点为圆心、1为半径的圆上运动， 又对应的点在连接和对应的点线段上移动， 所以对应点的移动范围的面积为， 即复数对应的点在复平面上移动的范围的面积是． 故答案为：． 16．下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值. 解法一：∵， 又∵是纯虚数，令（且）， ∴. 故当时，即当时，所求式有最大值为. 解法二：∵，∴. 故所求式有最大值为. 解法三：∵， 又∵为纯虚数，∴， ∴. 故所求式有最大值为. 【答案】答案见解析 【分析】解法一，直接验证不能使得中的等号成立，可判断解法一；解法二：根据复数的几何意义、以及复数模长的三角不等式以及取等条件可判断解法二；解法三：根据为纯虚数、复数的几何意义以及复数模长的三角不等式以及取等条件可判断方法三. 【详解】解：上述解法中仅解法三正确，本题的几何意义在于“在虚轴上找一点， 使其到定点距离之和为最小”. ∵在虚轴同侧， 对于解法一：当时，， ，则， 即不能使得不等式中的等号成立， 故解法一错误； 对于解法二：不等式中， 等号成立的条件是复数在复平面内对应的点在线段上， 而线段与虚轴没有公共点，故这个等号不成立，解法二错误； 解法三由于找到点关于虚轴的对称点， 显然连线与虚轴交点即是所找的一点，. ∵， 故所求式最大值为. 【经典例题五 复数范围内方程的根】 17．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 18．下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【分析】根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中表示复数对应的点在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有；选项B涉及复数的平方，若，则必须是正实数，进一步判断选项正误；选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积. 【详解】选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数， 如，满足，但，故A错； 选项B：设（），则. 若，则必为正实数，需满足：， 若，由，此时，矛盾. 故，即，故B对； 选项C：把代入方程， 则 即等式成立，故是方程的根，故C对. 选项D：复数满足， 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）. 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对. 故选：BCD. 19．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________． 【答案】或 【分析】设方程的两根分别为，，用表示出，利用韦达定理求得或，分情况结合两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，求得的值. 【详解】解：方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为， 设方程的两根分别为，， 则，得，，则， 则， 则或 当时，， ， 设在复平面上对应的点为，则，设在复平面上对应的点为，则， 则，得， 则， 当时，，， ， 此时，即，即， ∴， 故答案为：或. 20．代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简该方程后借助因式分解结合求根公式计算即可得； （2）化简方程后借助推论三计算即可得； （3）设出中点，代入计算后结合推论三可得点坐标，结合体型菱形对角线垂直计算即可得解. 【详解】（1）由题意，，即，所以， 所以或，对，有， 即复根有. （2）由题意，，化简得，， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数，得，解得. （3）在菱形中，与互相垂直平分，设中点， 由得，所以， 即， 化简得：， 由点是的图象上的四个不同的点，故该关于的方程有四个不同的解， 故，解得，故， 又，故 由菱形，可得， 所以， 故． 【经典例题六 复数乘、除运算的三角表示】 21．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 22．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误. 【详解】对于A项，当时，而故A项错误； 对于B项，设其中， 则，则； 而 ，故B项正确； 对于C项，设其中， ，则，而，故C项正确； 对于D项，设其中，,依题，不全为零， 则由可得，化简得 ，即 因不全为零，不妨设，则有，即, 故得，即，故D项正确. 故选：BCD. 23．在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为_________________________. 【答案】 【分析】分析可知，设点、对应的复数分别为、，利用复数三角形式乘法的几何意义得出，结合复数的乘法可得结果. 【详解】因为菱形在复平面的上半平面，且， 由复数的几何意义可得，故菱形位置只能如图，且，， 记点、对应的复数分别为、， 由复数三角形式乘法的几何意义 . 故点所对应的复数是. 故答案为：. 24．将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】(1)，，， (2) (3)为正三角形，证明见解析 【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【详解】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 复数24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 已知复数的类型求参数 题型二 在各象限内点对应复数的特征 题型三 与复数模相关的轨迹(图形)问题 题型四 复数加减法几何意义的运用 题型五 复数范围内方程的根 题型六 复数乘、除运算的三角表示 【经典例题一 已知复数的类型求参数】 1．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 3．已知是虚数单位，则上的虚部为_______；若，则_______． 4．已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【经典例题二 在各象限内点对应复数的特征】 5．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(　　)． A．复数z对应的点在第一象限 B．复数z一定不是纯虚数 C．复数z对应的点在实轴上方 D．复数z一定是实数 6．定义：设非零复数z对应的点为M，角(0≤≤2)的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边为射线OM，则称角为复数的幅角，记作=argz如图所示的阴影区域(含边界)所对应的集合是（    ） A．{z||z|=1，≤argz≤ } B．{z||z|=1，Imz≥ } C．{z||z|≤1，≤argz≤ } D．{z||z|≤1，Imz≥ } 7．设复数，，满足，，，则__________． 8．（1）已知复数，（是虚数单位）是关于的方程的根，、R，求的值． （2）若复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点在第二象限，求实数m的集合． 【经典例题三 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 9．复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 10．已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 11．已知复数z满足，则的最小值为________． 12．（1）求复数的模的最小值； （2）复数，若，，，求复数对应的点的集合形成的图形的面积． 【经典例题四 复数加减法几何意义的运用】 13．已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 14．已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．点在复平面上的坐标为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 15．复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为______． 16．下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值. 解法一：∵， 又∵是纯虚数，令（且）， ∴. 故当时，即当时，所求式有最大值为. 解法二：∵，∴. 故所求式有最大值为. 解法三：∵， 又∵为纯虚数，∴， ∴. 故所求式有最大值为. 【经典例题五 复数范围内方程的根】 17．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 18．下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 19．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则__________． 20．代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【经典例题六 复数乘、除运算的三角表示】 21．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 22．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 23．在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为_________________________. 24．将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $