高一下学期第一次月考真题精选（常考90题18类题型专练）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一下学期第一次月考真题精选（常考90题18类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 平面向量的概念（共5小题） 1．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【解题思路】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【解答过程】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】利用向量的有向知识逐项判断即可得结论. 【解答过程】对于A：当时，，但，得不出，故A错误； 对于B：若，则与没有关系，故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则和不能比较大小，故D错误． 故选：C． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【解题思路】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可． 【解答过程】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 4．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）下列说法正确的是 ③ .（填序号） ①若 ，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【解题思路】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论. 【解答过程】对于①，若 ，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③. 5．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. （1）写出与共线的向量； （2）写出与的模大小相等的向量； （3）写出与相等的向量. 【解题思路】（1）利用共线向量的定义，结合中位线的性质，得到答案； （2）利用中位线的性质结合点是的中点，得到答案； （3）结合相等向量的定义，得到答案. 【解答过程】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以. 所以与共线的向量有：，，，，，，； （2）由（1）知且，又D是BC的中点， 故与模相等的向量有： ，，，，； （3）与相等的向量有：与. 题型2 平面向量的线性运算（共5小题） 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加减法则计算即得. 【解答过程】. 故选：A. 2．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】，,则不存在唯一，使得，故A错误. ，，则. 则，则，两个向量由公共点. 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误. ，，则， 则不存在唯一，使得，故D也错误. 故选：B. 3．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解. 【解答过程】对于A，易得在正八边形中，， 但方向不同，所以不正确，故A错误； 对于B，由，所以正确，故B正确； 对于C，由正八边形的性质知，，且， 根据向量加法法则可知： 为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以， 又与以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量共线， 所以，故C正确； 对于D，在正八边形中，，， 不妨设，又， 所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简： . 【解题思路】根据向量的加减法运算法则化简求解. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解题思路】应用向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 题型3 平面向量的数量积（共5小题） 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【解答过程】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）在中，，，，，则 （    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【解题思路】利用平面向量的线性运算、向量的数量积的定义及运算律即可求解． 【解答过程】根据题意作出图形，如图所示    ， . , . 故选：C. 3．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】选项A，利用数乘向量的定义知，，即可求解；选项B，由数乘向量及数量积的定义，即可求解；选项C，由数量积的定义即可求解；选项D，利用向量数量积的运算律，即可判断出选项D的正误. 【解答过程】对于A，因为，故A错误， 对于B，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 但与不一定共线，故B错误， 对于C，因为，则，故C正确， 对于D，由数量积的运算知，故D正确. 故选：AB. 4．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）向量，满足，，，那么 . 【解题思路】利用向量的模公式即可求解. 【解答过程】由，得，即（*）， 因为，，* 所以，， 代入（*）式得，解得. 故答案为：. 5．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知夹角为，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 【解题思路】（1）根据向量数量积的运算律和，可求 （2）根据平面向量数量积的运算法则求值. （3）欲求向量的夹角，应先求两向量的数量积，再求两向量的模，根据求夹角的余弦，再求夹角. 【解答过程】（1），所以. （2）. （3） 所以，所以. 题型4 平面向量基本定理及其应用（共5小题） 1．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【解答过程】根据题意有： 故选：B. 2．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【解答过程】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 3．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为12 D． 【解题思路】利用平面向量的四则运算判断A，利用三点共线结合平面向量的四则运算判断B，利用基本不等式“1”的妙用判断C，利用向量数量积的计算公式结合基本不等式判断D. 【解答过程】选项A：由题意可得，说法正确； 选项B：因为，， 所以由可知，即， 又因为三点共线，所以，解得，说法正确； 选项C：， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，说法错误； 选项D：因为，， 所以， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以，说法正确； 故选：ABD. 4．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，为线段上的动点，与相交于点，设，，则的最小值为 1 ． 【解题思路】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的推论求出的关系，再借助对勾函数性质求出最小值. 【解答过程】在中，由为线段上的动点，，得， 则， 则，又，于是， 因为点共线，因此，解得， 令，则，， 显然对勾函数在上单调递增，则当时，，， 所以当时，取得最小值1. 故答案为：1. 5．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【解题思路】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【解答过程】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 题型5 平面向量线性运算的坐标表示（共5小题） 1．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量线性运算的坐标表示即可解答. 【解答过程】因为平面向量， 所以，则 . 故选：B. 2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知向量.若向量与共线，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据平面向量的线性坐标运算求得的坐标，然后利用向量共线的坐标运算列式求解即可. 【解答过程】为，所以， 又，所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量坐标表示的线性运算即可得出答案. 【解答过程】解：因为，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 4．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 【解题思路】建系标点，设，根据向量的坐标表示可得，进而可得取值范围. 【解答过程】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 若， 则，解得， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【解题思路】（1）根据向量的坐标运算列方程组求出坐标； （2）根据向量的坐标表示判断向量的共线. 【解答过程】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 题型6 平面向量数量积的坐标表示（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）已知，，则（    ） A．7 B． C．9 D． 【解题思路】根据数量积的坐标运算求解即可. 【解答过程】因为，，所以． 故选：B． 2．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【解题思路】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解. 【解答过程】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故选：C. 3．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）已知平面向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【解题思路】对于A：先求，进而可求，即可判断；对于B：先求，进而根据数量积的坐标表示分析判断；对于C：先求，结合向量的夹角公式分析判断；对于D：根据投影向量的定义结合选项C分析判断. 【解答过程】因为， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且，所以与的夹角为，故C错误； 对于选项D：结合选项C可知：在上的投影向量为，故D正确； 故选：ABD. 4．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知，，则 1 ． 【解题思路】利用平面向量的数量积的坐标运算求解. 【解答过程】解：因为，， 所以， 故答案为：1. 5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 【解题思路】（1）先求出向量，的坐标，由向量的数量积的坐标表示求解即可； （2）求出向量，的坐标，由数量积为零，求解的值即可. 【解答过程】（1），， 所以. （2），， 因为，所以， 解得. 题型7 向量的夹角问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，的夹角为钝角，可得，且与不共线，从而可求出的取值范围. 【解答过程】因为，，，的夹角为钝角， 所以，解得，且， 即的取值范围是， 故选：B. 2．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由求得，再利用夹角公式求解即可. 【解答过程】由，可得， 因为 所以，且，解得：， 所以 所以. 故选：B． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知向量，，记向量，的夹角为，则（    ） A．时，为锐角 B．时，为钝角 C．时，为直角 D．时，为平角 【解题思路】根据向量的数量积的正负，结合向量共线的坐标运算，即可得答案. 【解答过程】向量，，则，，解得， 对于A，当时，，且，不共线，因此为锐角，A正确； 对于B，当时，，而时，为平角，B错误； 对于C，当时，，不为直角，C错误； 对于D，当时，反向共线，为平角，D正确. 故选：AD. 4．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 【解题思路】根据向量夹角为钝角，得到不等式，得到答案. 【解答过程】向量与的夹角为钝角， 所以，且， 解得， 故答案为：． 5．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知向量． (1)求的坐标与； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可； （2）利用平面向量夹角的公式计算即可； （3）由与夹角为钝角，则且与不共线，列出不等式组求解即可． 【解答过程】（1）由已知得，，， 则． （2），， 则． （3）由与夹角为钝角得，且与不共线，即，解得且， 故． 题型8 向量的模长问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据代入计算可得结果. 【解答过程】∵，且，间的夹角为， ∴. 故选：C. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 【解题思路】由数量积定义结合向量模长公式即可计算求解. 【解答过程】由题得， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）已知向量 ，则下列说法正确的是（　　） A．若，则t的值为 B．的最小值为1 C．若，则t的值为2 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 【解题思路】A选项根据向量共线的条件可算出；B，C选项均利用模长公式可以解决；D选项利用两个向量的数量积小于零，注意两个向量不能反向共线. 【解答过程】选项A，，A选项错误； 选项B，，当时取等号，B选项正确； ，根据，解得，C选项正确； D选项，与的夹角为钝角，则，且两个向量不能反向共线， 注意到A选项，时，，于是且,D选项错误. 故选: BC. 4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知，则 5 ． 【解题思路】根据向量的坐标运算求出的坐标，根据模的计算公式，即得答案. 【解答过程】由于，故， 故， 故答案为：5. 5．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，． (1)求的最小值及相应t的值； (2)若与共线，求与的夹角． 【解题思路】（1）将的坐标代入，求得，由二次函数的最值即可求得； （2）由与共线的坐标表达式求得，再运用两向量夹角的坐标公式计算即得. 【解答过程】（1）由，,可得， 则， 故当时，取得最小值为，即时，； （2）因，， 由与共线可得，，解得，， 则，，， 于是， 因，则与的夹角为. 题型9 向量的平行、垂直问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B． C．8 D． 【解题思路】由向量垂直的坐标运算求解. 【解答过程】向量，，且， 则有，解得. 故选：C. 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设向量，根据、的坐标运算可得答案. 【解答过程】设向量，则，， 因为，， 所以，，解得，， 则. 故选：A. 3．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【解题思路】根据向量的数量积判断A，根据向量平行的坐标表示判断B，根据向量模的坐标表示判断C，根据向量的夹角公式及数量积判断D. 【解答过程】对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B错误； 对于C，，则， 当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线， 由，得，由得， 所以的取值范围为，故D错误． 故选：AC． 4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量，，若，则 . 【解题思路】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【解答过程】由题意可得， 因为， 则，解得. 故答案为：. 5．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知向量， (1)若，求的值及在方向上投影向量的坐标. (2)若，求的值. 【解题思路】（1）先根据平行求出，再利用模长公式及投影向量的概念可求答案； （2）先求出两个向量的坐标，利用垂直的坐标表示可得答案. 【解答过程】（1）因为，则，所以， 即，， 在方向上投影向量的坐标为. （2），因为，所以， 即，解得. 题型10 向量在物理中的应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(     ) A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【解题思路】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)． 【解答过程】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 2．（23-24高一下·宁夏银川·阶段练习）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【解题思路】根据数量积公式，即可求解. 【解答过程】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为 . 故选：A. 3．（23-24高一下·云南保山·阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【解题思路】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解. 【解答过程】对于A，根据题意，得，所以， 解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，由题意知的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 4．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【解题思路】根据平面向量加法的几何意义，数量积的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 5．（23-24高一下·山西阳泉·阶段练习）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【解题思路】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【解答过程】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，    ，则， 在Rt中，，从而 ，因此， 故游船的实际航程为. 题型11 余弦定理、正弦定理解三角形（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【解答过程】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理求出，再利用正弦定理计算即得. 【解答过程】在中，，由余弦定理得： ， 由正弦定理得. 故选：B. 3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．若，则外接圆半径为 D．若，则边上的中线长为 【解题思路】利用正弦定理判定选项A正确；利用边角关系和余弦定理判定选项B正确；利用进行求解判定选项C错误；由余弦定理求出，再在中，由余弦定理得到边上的中线长判定选项D正确. 【解答过程】在中，因为， 所以设，，，且， 对于A：由正弦定理，得， 即选项A正确； 对于B：因为，所以角最大， 则， 即为钝角，即是钝角三角形， 即选项B正确； 对于C：若， 因为，所以， 由正弦定理，得，即， 即选项C错误； 对于D：若，则，， 则由余弦定理得，， 所以在中，由余弦定理，边上的中线长为： ， 即选项D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则 . 【解题思路】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为， 由正弦定理知，即，解得， 因为，则，所以一定是锐角， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，的面积为，求a的值 (3)在第（2）问条件下，求边长的值. 【解题思路】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）由面积公式即可求解， （3）根据余弦定理即可求解. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理得： 因为，所以， 从而，又 ， 所以，又， 所以； （2）在中，，得， （3）由余弦定理得：． 所以． 题型12 三角形的个数问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）中，角A、B、C的对应边是a、b、c.已知，则满足条件的有（    ） A．一个解 B．两个解 C．无解 D．不确定 【解题思路】结合条件由正弦定理求，结合大边对大角判断结论. 【解答过程】由正弦定理知，， 又， 所以， 所以， 又，，，所以， 作函数，的图象如下 观察图象可得满足条件的角存在两个. 故选：B. 2．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作图，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【解答过程】如图，作于，，， 根据题意有，又，得到，所以， 故选：B. 3．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（    ） A．当时，有两解 B．当时，有一解 C．当时，无解 D．当时，有两解 【解题思路】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案. 【解答过程】对于A，由正弦定理得，即，所以， 又因为，所以或，有两解，故A正确； 对于B，由正弦定理得，无解，故B错误； 对于C，由正弦定理得，无解，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误. 故选：AC. 4．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为 ． 【解题思路】根据三角形有两解，结合图形列出限制条件可得答案. 【解答过程】依题意得，因为，，所以． 故答案为：. 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在中， ，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围． (1)有一解； (2)有两解； (3)无解． 【解题思路】（1）根据正弦定理，得到.分、、讨论，即可得出； （2）由已知可得，求解不等式即可得出结果； （3）由已知可得，求解不等式即可得出结果. 【解答过程】（1）由正弦定理可得，. （ⅰ）当，即时，. ①若，即，则不存在，无解，此时； ②若，即， ，有一解，此时； ③若，即，因为，此时可能是锐角或钝角，即此时有两解，此时，即. 综上所述，当时，有一解； （ⅱ）当，即时，，有一解； （ⅲ）当，即时，，此时只能是锐角，有一解. 综上所述，有一解时，边长a的取值范围是或. （2）由（1）知，有两解，应满足，由，即，解得. （3）由（1）知，无解，应满足，即，解得. 题型13 判断三角形的形状（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】利用三角形的性质结合两角和差的正弦公式求得，从而，即可判断三角形形状. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以为等腰三角形， 故选：C. 2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形或直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解题思路】先利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解. 【解答过程】由及正弦定理， 得， 因为，且， 则，且，且， 所以或，即或， 故是等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形或者直角三角形 【解题思路】由正弦定理可判断A，结合在上单调递减判断B，由余弦定理判断C，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断D正确. 【解答过程】对于A，若，则，所以，所以A正确； 对于B，由且， 根据函数在上单调递减，可得，所以B错误； 对于C，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，所以C正确； 对于D，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，所以D正确． 故选：ACD. 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）三角形的三条高的长度分别为，则此三角形的形状是 钝角三角形 . 【解题思路】 设出未知数并根据余弦定理求解即可. 【解答过程】根据题意，设三条高线对应的边长分别为最大边对应的角为, 由余弦定理可得，则为钝角，故三角形为钝角三角形. 故答案为：钝角三角形. 5．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 【解题思路】（1）利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可得出，利用（1）中的结果可判断出的形状. 【解答过程】（1）因为，则，整理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则， 由余弦定可得， 即，整理可得，则， 又，故为等边三角形. 题型14 三角形的面积问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】由余弦定理求出长，由求得，代入三角形面积公式计算即得. 【解答过程】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积. 故选：B. 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由结合题意先求出，再由余弦定理求出的值即可由面积公式得解. 【解答过程】因为， 所以由得， 所以，因为，又，则B为锐角，所以， 所以，即， 化简为或， 所以或， 故选：D. 3．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）在中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 【解题思路】对A，利用余弦定理和勾股定理逆定理得到，再利用二倍角的余弦公式即可判断A；对B，直接根据即可求出；对C，利用三角形面积公式即可证明角平分线定理；对D直接利用三角形面积公式即可判断. 【解答过程】对A，由余弦定理得，即， 所以，又，为三角形内角， 所以，，解得（负舍）. 在中，，故A正确； 对B，在中，，代入，解得.故B错误； 对C，，解得，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：AD. 4．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 【解题思路】由正弦定理得，再结合余弦定理，得，利用正弦定理将转化为边，得到，又由余弦定理，结合解出，最后由三角形面积公式，代入数值得到答案. 【解答过程】因为， 在中，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 因为在中，由正弦定理，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以或（舍）所以的面积为． 故答案为：. 5．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 【解题思路】（1）根据余弦定理，即可求解； （2）根据面积公式，得到，再根据基本不等式求的最小值，即可求解面积的最小值. 【解答过程】（1）由条件可知，，， 所以； （2）， 所以， 即，即，当且仅当等号成立 则, 所以面积的最小值为. 题型15 复数的分类及辨析（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由实部为零，且虚部不为零，即可求出实数的值. 【解答过程】因为复数是纯虚数，所以， 解得． 故选：A． 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【解题思路】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【解答过程】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【解题思路】根据复数的概念逐项分析即得. 【解答过程】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实数 1 . 【解题思路】根据复数为纯虚数得到方程，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得. 故答案为：1. 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 【解题思路】（1）由已知可得，计算即可； （2）由已知可得，计算即可； （3）由已知可得，计算即可. 【解答过程】（1）由复数z为实数，得， 解得或 （2）由复数z为虚数，得， 解得且 （3）由复数z为纯虚数，得 解得. 题型16 复数的几何意义（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由题设写出A、B的点坐标，进而得到对应的点坐标，即可判断其对应点所在象限. 【解答过程】由复数的几何意义知，，故， 所以表示的复数所对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【解题思路】由复数表示的点在第四象限，可得实部为正且虚部为负即得. 【解答过程】由可得，又m为整数，所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【解题思路】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【解答过程】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A正确； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 【解题思路】利用复数的几何意义，结合向量的减法运算即可得解. 【解答过程】因为，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，， 则， 所以向量对应的复数所对应的点的坐标为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【解题思路】（1）由虚数的概念列方程求解即可； （2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为. 题型17 复数的模（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 【解题思路】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得. 【解答过程】因为，则 故选：C. 2．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用表示以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【解答过程】因为在复平面内， 表示到点距离为1的所有复数对应的点， 即表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为， 最长距离为， 则的取值范围是. 故选：D. 3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若，则的模为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【解题思路】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD． 【解答过程】对A,由，可得，且，故A错误； 对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确； 对C,若，则的模为，故C错误； 对D,设,若，则， 则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 故选：BD． 4．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 【解题思路】利用复数与平面向量、复平面内点的一一对应关系，通过作图分析，理解题中相关量的几何意义，利用向量的数量积的运算律计算即得. 【解答过程】    在复平面内，分别作出复数对应的向量,如图所示，则对应的向量为, 由题意是边长为2的正三角形，以为一组邻边，作出,则有, 于是 ，故得. 故答案为：. 5．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位. (1)若，求； (2)若复数z为纯虚数，求的值. 【解题思路】（1）时求出，再由复数模的公式求解； （2）由复数为纯虚数，根据虚部、实部满足条件求解即可. 【解答过程】（1）时，，所以. （2）因为复数z为纯虚数， 所以，即， 解得或. 题型18 复数的四则运算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）若复数满足，则其共轭复数的模为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】由复数的四则运算得出，再由模长公式得出共轭复数的模. 【解答过程】 . 故选：A. 2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若复数，则复数在复平面所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】设，则，代入，利用复数的乘除计算即可． 【解答过程】解：设，则， ， 复数在复平面内对应的点在第二象限． 故选：B． 3．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）已知复数，是关于的方程（，，）的两个复数根，且，，则（    ） A．与互为共辄复数 B． C． D． 【解题思路】根据韦达定理与题目所给条件建立方程组，可得，进而可得的值，再逐项判断即可. 【解答过程】因为是关于的方程的两个复数根， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得， 因为， 所以. 对于A，由，得，， 所以与互为共轭复数，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由A选项知， ， 所以，故D错误. 故选：AB. 4．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知复数满足，则 ． 【解题思路】利用复数的乘法运算法则即可求解． 【解答过程】， ， ， 故答案为：． 5．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设复数（其中），. (1)若，求的值； (2)若是实数，求的值. 【解题思路】（1）利用复数乘法运算法则即可得出； （2）利用复数为实数的充要条件即可得出. 【解答过程】（1） （2）是实数， ，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期第一次月考真题精选（常考90题18类题型专练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型1 平面向量的概念（共5小题） 1．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 4．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）下列说法正确的是 .（填序号） ①若 ，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 5．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. （1）写出与共线的向量； （2）写出与的模大小相等的向量； （3）写出与相等的向量. 题型2 平面向量的线性运算（共5小题） 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 3．（23-24高一下·山东滨州·阶段练习）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）化简： . 5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 题型3 平面向量的数量积（共5小题） 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）在中，，，，，则 （    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）向量，满足，，，那么 . 5．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知夹角为，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 题型4 平面向量基本定理及其应用（共5小题） 1．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为12 D． 4．（23-24高一下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，为线段上的动点，与相交于点，设，，则的最小值为 ． 5．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 题型5 平面向量线性运算的坐标表示（共5小题） 1．（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）已知向量.若向量与共线，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 题型6 平面向量数量积的坐标表示（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·山西·阶段练习）已知，，则（    ） A．7 B． C．9 D． 2．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 3．（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）已知平面向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 4．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知，，则 ． 5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 题型7 向量的夹角问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知，向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知向量，，记向量，的夹角为，则（    ） A．时，为锐角 B．时，为钝角 C．时，为直角 D．时，为平角 4．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知向量． (1)求的坐标与； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若与夹角为钝角，求的取值范围． 题型8 向量的模长问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知平面向量与的夹角为，则（    ） A． B． C．4 D．12 3．（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）已知向量 ，则下列说法正确的是（　　） A．若，则t的值为 B．的最小值为1 C．若，则t的值为2 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知，则 ． 5．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，． (1)求的最小值及相应t的值； (2)若与共线，求与的夹角． 题型9 向量的平行、垂直问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量，，若，则 . 5．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知向量， (1)若，求的值及在方向上投影向量的坐标. (2)若，求的值. 题型10 向量在物理中的应用（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(     ) A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 2．（23-24高一下·宁夏银川·阶段练习）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 3．（23-24高一下·云南保山·阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 4．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 5．（23-24高一下·山西阳泉·阶段练习）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 题型11 余弦定理、正弦定理解三角形（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．若，则外接圆半径为 D．若，则边上的中线长为 4．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则 . 5．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，的面积为，求a的值 (3)在第（2）问条件下，求边长的值. 题型12 三角形的个数问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）中，角A、B、C的对应边是a、b、c.已知，则满足条件的有（    ） A．一个解 B．两个解 C．无解 D．不确定 2．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（    ） A．当时，有两解 B．当时，有一解 C．当时，无解 D．当时，有两解 4．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）在中， ，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围． (1)有一解； (2)有两解； (3)无解． 题型13 判断三角形的形状（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形或直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形或者直角三角形 4．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）三角形的三条高的长度分别为，则此三角形的形状是 . 5．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 题型14 三角形的面积问题（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·青海海东·阶段练习）在中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为 4．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 5．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 题型15 复数的分类及辨析（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实数 . 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）复数，其中. (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为虚数，求a的取值范围； (3)若复数z为纯虚数，求a的值 题型16 复数的几何意义（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）若复数对应的点在第四象限，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 4．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 5．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 题型17 复数的模（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 2．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C．若，则的模为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 4．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）在复平面内，已知复数满足，且，则 ． 5．（23-24高一下·吉林四平·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位. (1)若，求； (2)若复数z为纯虚数，求的值. 题型18 复数的四则运算（共5小题） 平面向量线性运算的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）若复数满足，则其共轭复数的模为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若复数，则复数在复平面所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）已知复数，是关于的方程（，，）的两个复数根，且，，则（    ） A．与互为共辄复数 B． C． D． 4．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知复数满足，则 ． 5．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设复数（其中），. (1)若，求的值； (2)若是实数，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$