第七章 复数（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

该高中数学复数单元复习讲义通过知识框架图系统梳理复数概念、运算、几何意义及三角形式，用对比表格明确重难点分布，构建“概念-运算-应用”的逻辑体系，突出虚数单位本质、运算规则及几何意义等核心联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如复数几何意义典例结合复平面点位置考查参数范围，培养数学思维的推理能力，最值问题利用模的几何意义转化，发展数学眼光的几何直观。基础题巩固运算规范，综合题提升应用能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

第七章 复数 教学目标 1.理解数系扩充的逻辑：从实数范围内无解方程（如）的矛盾出发，体会引入虚数单位的必要性，掌握的核心性质，明确复数集是实数集的自然扩充，构建“自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集”的完整数系框架。 2.掌握复数的核心概念：熟练掌握复数的代数形式（），明确实部、虚部的定义；能准确区分实数（）、虚数（）、纯虚数（且），理解复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的包含关系；掌握复数相等的充要条件（且），明确复数不能比较大小的本质（仅实数可比较大小）。 3.熟练运用复数运算体系：掌握复数代数形式的四则运算法则，加法遵循“实部相加、虚部分相加”，减法为其逆运算；乘法类比多项式乘法（利用化简）；除法通过“分母实数化”（乘以分母的共轭复数）转化为乘法运算；理解共轭复数的性质（如、），掌握复数模的计算及运算性质（如）。 4.把握复数的几何意义：理解复数与复平面内点、以原点为起点的向量的一一对应关系；明确复数模的几何意义（复平面内点到原点的距离），能解释复数加减运算的几何意义（向量的合成与分解）；能利用几何意义解决简单问题（如求复平面内满足特定模条件的点的轨迹）。 5.具备综合应用能力：能在复数范围内解一元二次方程（含判别式小于0的情况），进行多项式因式分解；能结合实例说明复数在数学、物理（如交流电、波动理论）等领域的应用，初步建立复数模型解决简单问题。 教学重难点 重点 1.复数的核心概念体系：重点掌握复数的代数形式、实部与虚部的定义、复数的分类标准，以及复数相等的充要条件，这是后续学习的基础。 2.复数的四则运算规则：重中之重是复数乘法的多项式展开与化简、除法的分母实数化方法，以及共轭复数、复数模的运算性质，确保运算的准确性与规范性。 3.复数的几何意义：核心是复数与复平面内点、向量的一一对应关系，以及复数模的几何表征，这是数形结合思想应用的关键。 4.数系扩充的逻辑与思想：理解数系扩充的必要性与基本原则，建立“运算封闭性”的数学思维，体会类比、转化等数学思想方法的价值。 难点 1.抽象概念的深层理解：难点在于虚数单位的本质把握（既不是实数，又满足的特殊性质）；复数“不能比较大小”的逻辑根源（缺乏像实数那样的全序关系）；纯虚数与虚数的区别（纯虚数需满足“实部为0且虚部不为0”的双重条件）。 2.运算规则的准确应用：复数乘法中的正确化简（易误将等同于1）；除法运算中分母实数化的步骤规范（忘记乘以共轭复数或计算出错）；共轭复数与复数模的运算性质灵活运用（如忽视的转化价值）。 3.几何意义的融会贯通：难点在于将复数运算与复平面内的向量运动关联（如复数加法对应向量平行四边形法则）；利用复数模的几何意义解决轨迹问题（如对应圆的方程）；区分复数坐标与平面直角坐标系中点坐标的联系与差异。 4.数系扩充的思维突破：学生易受实数运算经验的负迁移影响（如试图比较任意两个复数的大小），难以理解数系扩充后“运算封闭性”的新要求，需突破传统实数思维的局限。 知识点01 复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 【即学即练】 1．若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为 . 【答案】 【分析】先根据复数类型计算求参得出复数，再应用共轭复数定义求解. 【详解】因为为纯虚数， 所以解得， 所以， 所以. 故答案为： 2．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【分析】由复数的模长公式，虚部、共轭复数概念及几何意义逐个判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 知识点02 复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【即学即练】 1．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数运算得，利用共轭复数的定义和几何意义得解. 【详解】由，可得，则， 所以在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B. 2．设、为复数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】BC 【分析】特例法判断AD；根据复数的乘法运算与复数的模长公式判断B；根据复数的乘法运算，以及共轭复数、虚数的定义判断C. 【详解】对于A，因为令，，则，但，所以A不正确； 对于B，设，， 则， ， 所以， ，所以，所以B正确； 对于C，设，，所以，因为，所以为虚数，所以C正确； 对于D，当时，满足，此时，所以D不正确． 故选：BC． 知识点03 复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 【即学即练】 1．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为 ． 【答案】 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可. 【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 2．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是 ，实部是 . 【答案】 / / 【分析】利用复数的三角形式结合复数的除法可化简得出复数，利用复数的概念可得出复数的实部和虚部. 【详解】由题意可得，所以， 所以. 因此，复数的虚部为，实部为. 故答案为：；. 题型01 复数的概念 【典例1】若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据复数相等计算即可. 【详解】因为i是方程，，的一个根， 所以，即， 所以，，所以，， 因此． 故选：B． 【典例2】定义运算，如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意以及复数相等，建立方程组，可得答案. 【详解】由定义运算，得， 故有. 因为x，y为实数，所以有，得，得. 所以. 故答案为： 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 【变式1】若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意，得，解得. 故选：C. 【变式2】若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数为纯虚数得出相应的等式，解出即可. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，即， 所以， 故选：C. 【变式3】复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．或4 C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据纯虚数的概念求的值. 【详解】由或， 由或. 因为复数是纯虚数，所以. 故选：D 题型02 复数的运算 【典例1】若，其中是虚数单位，则的虚部为（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】给复数的分子分母同乘分母的共轭复数进行化简，得到标准形式后，直接取作为虚部. 【详解】，则的虚部为. 故选：D. 【典例2】若，则（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】首先化简得到，再求即可. 【详解】因为，则，所以． 故选：C 设，则 （1） （2） （3） 【变式1】已知复数满足（为虚数单位），则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算化简，再计算复数的模. 【详解】因为，所以， 则. 故选：D 【变式2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，通过移项计算得出复数. 【详解】由，得. 故选：C. 【变式3】在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可. 【详解】由题意得，则 ， 则该复数对应的点位于第三象限，故C正确. 故选：C 题型03 复数的几何意义 【典例1】若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后根据复数的模公式计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：D 【典例2】已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据复数的类型得到方程和不等式，求出答案； （2）根据所在象限得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）由题意得且，解得； （2）由题意得，解得， 故当时，z在复平面内对应的点在第二象限. 复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点． 【变式1】已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 【变式2】欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题设有，结合对应三角函数值符号及复数的坐标表示确定点所在象限即可. 【详解】由题设，而，则， 所以对应点在第二象限. 故选：B 【变式3】已知为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．若复数，则 B．若，则或 C．若复数是纯虚数，则实数或－4 D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 【答案】AD 【分析】根据复数的模长公式求解，进而即可判断选项A；由复数模长的几何意义即可判断选项B；根据纯虚数的意义求解，进而即可判断选项C；根据矩形的性质及向量加法和减法的几何意义即可判断D． 【详解】对于选项A，若，则，故选项A正确； 对于选项B，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆， 即有无数个点与复数对应，故选项B错误； 对于选项C，若是纯虚数， 则，解得，故选项C错误； 对于选项D，若，则复平面内以，为邻边的平行四边形是矩形， 由矩形的对角线相等，则，即，故选项D正确． 故选：AD． 题型04 复数的相等与共轭复数 【典例1】已知，则 ． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 【典例2】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 复数相等： 共轭复数：． 【变式1】已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 【变式2】下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】通过反例可知①②错误；由且可构造方程组求得，知③正确. 【详解】对于①，若，，则，①错误； 对于②，若，，则，②错误； 对于③，由，得：，解得：，③正确. 故选：B. 【变式3】定义：实部相同而虚部互为相反数的一对复数，叫做 ，也称这两个复数互为共轭.复数z的共轭复数用表示，也就是当（a、）时， . 共轭复数的性质： （1）一个复数的共轭复数的共轭复数是它自己，即对任何复数； （2）取共轭复数的过程与复数的四则运算可交换，即对复数与， ① ；② ；③ （）； ④（）；⑤；⑥ ；⑦若Z为纯虚数 . 【答案】 共轭复数 题型05 复数的模 【典例1】已知，若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】根据为纯虚数求出的值，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为为纯虚数，则，则. . 故答案为：. 【典例2】若复数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设复数，根据可得，再结合模长公式，利用二次函数性质可解. 【详解】设复数，，， 整理得，即， 所以， 当时取等，即的最小值为， 故选：C. 【变式1】复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求出坐标即可得出复数，进而求出模. 【详解】由题意可得，，则， 所以，得． 故选：D 【变式2】已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 【变式3】已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先得到，的坐标，得到的坐标，再求其模或直接利用两点之间的距离计算即得. 【详解】法一：因为，，所以，， 所以，则，即. 法二：如图，在坐标系内做出复数，对应的点为，， 由勾股定理易得. 故选：B. 题型06 复数的三角形式 【典例1】已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的乘方运算法则进行计算. 【详解】因为复数， 所以. 故选：C 【典例2】在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以轴为始边，为终边，旋转角度为，则.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：对于复数，有.由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式，已知，则 . 【答案】16 【分析】利用棣莫弗定理可求出复数z，继而可得，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 故，， 故答案为：16 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 【变式1】已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由实部与虚部相等建立等量关系，结合角的范围计算可得结果； （2）代入可得复数，将复数代入方程，根据方程建立新的复数的实部与虚部求解可得结果. 【详解】（1）若的实部与虚部相等，则 ，化简可得：，即，， . （2），， 代入方程可得：，即， 则，解得：. 【变式2】已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模的公式求解即可； （2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. （2）解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 【变式3】在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故选：. 题型07 与复数有关的最值问题 【典例1】已知是虚数单位，若复数满足，则（   ） A．的共轭复数为 B． C． D．若复数满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，结合共轭复数、复数的模公式、复数的乘方运算法则和复数模的几何意义逐一判断即可. 【详解】. A：因为的共轭复数为，所以本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C：因为，所以本选项说法错误； D：设复数在复平面对应的点为，设复数在复平面对应的点为， 因为，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上， 式子表示复平面内两点的距离， 因此的最大值为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 【典例2】若复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由复数除法、共轭复数的概念即可判断；对于B，由模的计算公式即可判断；对于C，由复数的几何意义即可求解；对于D，由复数的几何意义，三角函数性质即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D，复数满足，设复数对应的点为， 则， 由辅助角公式可知，存在使得，， 其中，， 故的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 利用几何意义进行转化 【变式1】已知 ，复数 满足 ，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 2 【答案】ACD 【分析】利用复数的乘方、乘法运算，结合共轭复数及复数的几何意义逐项求解判断. 【详解】对于A，，得， 则，A正确； 对于B，由选项A知，，即，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内对应点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以的最大值为，D正确. 故选：ACD 【变式2】若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．若，则的最大值为 【答案】AB 【分析】利用复数的除法求出，再结合共轭复数、复数的几何意义和复数减法运算的几何意义逐项判断. 【详解】依题意，，则， 对于A，的虚部为1，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由复数的几何意义可知，表示复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 由复数减法运算的几何意义可知，表示复数对应的点和复数对应的点，两点间的距离， 故问题转化为求点与以原点为圆心的单位圆上的动点间的距离的最大值， 因与之间的距离为， 则的最大值为，D错误. 故选：AB 【变式3】已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若复数的共轭复数为，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若复数是纯虚数，则实数或 D．若复数满足，则的最大值为2 【答案】AD 【分析】设，直接计算可判断A；根据复数减法运算和虚部概念可判断B；根据纯虚数概念列方程组求解可判断C；设，根据的几何意义求解可判断D. 【详解】对A，设，则，又因为，故A正确； 对B，若，，则，其虚部为，故B错误； 对C，若是纯虚数， 则，解得，故C错误； 对D，设，则， 即，所以复数表示的点在圆心为，半径为的圆上， 表示点到原点的距离，所以 当时，取得最大值为2，故D正确. 故选：AD 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再根据复数的几何意义即可判断. 【详解】由可得， 则复数对应的点为，在第一象限. 故选：A. 2．已知复数满足，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的概念运算求解即可． 【详解】因为满足， 所以， 故的共轭复数为， 故选：D. 3．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】求出，根据复数的几何意义即可求出答案. 【详解】由得， 所以复数在复平面内对应的点为， 所以在复平面内所对应的点位于第一象限. 故选：A. 4．已知，则（ ） A． B． C． D．40 【答案】B 【分析】利用复数的运算法则先求出，再求出，所以. 【详解】，则， 所以； 所以， 故选：B 5．设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得､互为共轭复数，根据，再由模的计算公式可得的取值范围； （2）根据题意，，则，，根据韦达定理可得，可解问题. 【详解】（1）由已知得､互为共轭复数，设，则， 则，可得， 又因为，即，则， 综合可得，即； （2）根据题意，两点关于轴对称，则，    又为等腰直角三角形，所以， 所以，即，， 根据韦达定理可得， 所以，解得或（舍）， 所以. 6．复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C 7．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算先求共轭复数，再求得，利用公式求解模长即可. 【详解】，， ，故. 故选：D. 8．已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求复数，再根据复数的几何意义确定对应点的坐标. 【详解】因为. 所以在复平面内对应点的坐标为. 故选：D 9．已知复数，则（   ） A．的实部大于的实部 B．为纯虚数 C．的虚部小于的虚部 D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念、复数的乘法运算一一判定即可. 【详解】对于A选项：的实部2小于的实部3，A错误； 对于B选项：，不是纯虚数，B错误； 对于C选项：的虚部大于的虚部，C错误； 对于D选项：，D正确. 故选：D. 10．已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算求解，结合复数的几何意义得到在复平面内对应的点位于第几象限. 【详解】，， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 11．在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】应用复数的除法化简求复数，再由共轭复数的定义及对应点坐标确定所在象限. 【详解】由题设， 所以，对应点位于第三象限. 故选：C 12．已知是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】因为 所以 故答案为： 13．在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法化简复数，从而由对称性得复数，再根据共轭复数的概念得所求. 【详解】因为复数， 所以复数，则. 故选：C. 14．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则和模长公式计算可得. 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故选：D. 15．已知i为虚数单位，复数，则（    ）． A． B． C． D．的虚部为 【答案】AC 【分析】根据复数的模长公式，复数的运算定义及性质可依次判断. 【详解】，，故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ，的虚部为，故D错误. 故选：AC 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数 教学目标 1.理解数系扩充的逻辑：从实数范围内无解方程（如）的矛盾出发，体会引入虚数单位的必要性，掌握的核心性质，明确复数集是实数集的自然扩充，构建“自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集”的完整数系框架。 2.掌握复数的核心概念：熟练掌握复数的代数形式（），明确实部、虚部的定义；能准确区分实数（）、虚数（）、纯虚数（且），理解复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的包含关系；掌握复数相等的充要条件（且），明确复数不能比较大小的本质（仅实数可比较大小）。 3.熟练运用复数运算体系：掌握复数代数形式的四则运算法则，加法遵循“实部相加、虚部分相加”，减法为其逆运算；乘法类比多项式乘法（利用化简）；除法通过“分母实数化”（乘以分母的共轭复数）转化为乘法运算；理解共轭复数的性质（如、），掌握复数模的计算及运算性质（如）。 4.把握复数的几何意义：理解复数与复平面内点、以原点为起点的向量的一一对应关系；明确复数模的几何意义（复平面内点到原点的距离），能解释复数加减运算的几何意义（向量的合成与分解）；能利用几何意义解决简单问题（如求复平面内满足特定模条件的点的轨迹）。 5.具备综合应用能力：能在复数范围内解一元二次方程（含判别式小于0的情况），进行多项式因式分解；能结合实例说明复数在数学、物理（如交流电、波动理论）等领域的应用，初步建立复数模型解决简单问题。 教学重难点 重点 1.复数的核心概念体系：重点掌握复数的代数形式、实部与虚部的定义、复数的分类标准，以及复数相等的充要条件，这是后续学习的基础。 2.复数的四则运算规则：重中之重是复数乘法的多项式展开与化简、除法的分母实数化方法，以及共轭复数、复数模的运算性质，确保运算的准确性与规范性。 3.复数的几何意义：核心是复数与复平面内点、向量的一一对应关系，以及复数模的几何表征，这是数形结合思想应用的关键。 4.数系扩充的逻辑与思想：理解数系扩充的必要性与基本原则，建立“运算封闭性”的数学思维，体会类比、转化等数学思想方法的价值。 难点 1.抽象概念的深层理解：难点在于虚数单位的本质把握（既不是实数，又满足的特殊性质）；复数“不能比较大小”的逻辑根源（缺乏像实数那样的全序关系）；纯虚数与虚数的区别（纯虚数需满足“实部为0且虚部不为0”的双重条件）。 2.运算规则的准确应用：复数乘法中的正确化简（易误将等同于1）；除法运算中分母实数化的步骤规范（忘记乘以共轭复数或计算出错）；共轭复数与复数模的运算性质灵活运用（如忽视的转化价值）。 3.几何意义的融会贯通：难点在于将复数运算与复平面内的向量运动关联（如复数加法对应向量平行四边形法则）；利用复数模的几何意义解决轨迹问题（如对应圆的方程）；区分复数坐标与平面直角坐标系中点坐标的联系与差异。 4.数系扩充的思维突破：学生易受实数运算经验的负迁移影响（如试图比较任意两个复数的大小），难以理解数系扩充后“运算封闭性”的新要求，需突破传统实数思维的局限。 知识点01 复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的______，b叫z的______；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为______复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为__________________，显然，． 【即学即练】 1．若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为 . 2．若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 知识点02 复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点______； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的______． 【即学即练】 1．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设、为复数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 知识点03 复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的______．叫做复数的三角表示式，简称____________． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别______． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于____________除以____________所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 【即学即练】 1．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为 ． 2．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是 ，实部是 . 题型01 复数的概念 【典例1】若虚数i是关于的方程的一个根，则（   ） A． B．1 C．0 D．不能确定 【典例2】定义运算，如果，则的值为 ． 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 【变式1】若复数是纯虚数，则实数（   ） A．2或3 B．3 C．2 D．0 【变式2】若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3】复数是纯虚数，则实数（    ） A． B．或4 C．6 D．4 题型02 复数的运算 【典例1】若，其中是虚数单位，则的虚部为（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【典例2】若，则（   ） A．0 B． C．2 D． 设，则 （1） （2） （3） 【变式1】已知复数满足（为虚数单位），则 （   ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型03 复数的几何意义 【典例1】若复数，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知复数，则 (1)当实数m取什么值时，z是实数； (2)当实数m在什么范围时，z在复平面内对应的点在第二象限． 复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点． 【变式1】已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】已知为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．若复数，则 B．若，则或 C．若复数是纯虚数，则实数或－4 D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 题型04 复数的相等与共轭复数 【典例1】已知，则 ． 【典例2】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 复数相等： 共轭复数：． 【变式1】已知复数，其中、．求x、y的值． 【变式2】下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】定义：实部相同而虚部互为相反数的一对复数，叫做 ，也称这两个复数互为共轭.复数z的共轭复数用表示，也就是当（a、）时， . 共轭复数的性质： （1）一个复数的共轭复数的共轭复数是它自己，即对任何复数； （2）取共轭复数的过程与复数的四则运算可交换，即对复数与， ① ；② ；③ （）； ④（）；⑤；⑥ ；⑦若Z为纯虚数 . 题型05 复数的模 【典例1】已知，若为纯虚数，则 . 【典例2】若复数满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 【变式2】已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 题型06 复数的三角形式 【典例1】已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 【典例2】在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以轴为始边，为终边，旋转角度为，则.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：对于复数，有.由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式，已知，则 . 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 【变式1】已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【变式2】已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【变式3】在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（    ） A． B． C． D． 题型07 与复数有关的最值问题 【典例1】已知是虚数单位，若复数满足，则（   ） A．的共轭复数为 B． C． D．若复数满足，则的最大值为2 【典例2】若复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 利用几何意义进行转化 【变式1】已知 ，复数 满足 ，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 2 【变式2】若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．若，则的最大值为 【变式3】已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若复数的共轭复数为，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若复数是纯虚数，则实数或 D．若复数满足，则的最大值为2 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数满足，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 3．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知，则（ ） A． B． C． D．40 5．设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 6．复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 9．已知复数，则（   ） A．的实部大于的实部 B．为纯虚数 C．的虚部小于的虚部 D． 10．已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．在复平面内，若复数z满足，则对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知是虚数单位，则 ． 13．在复平面内，若复数z与复数关于虚轴对称，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 14．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 15．已知i为虚数单位，复数，则（    ）． A． B． C． D．的虚部为 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $