专题04图形的平移 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题04图形的平移 （知识点+题型+过关检测） 【题型1 生活中的平移现象】 2 【题型2 图形的平移】 3 【题型3 利用平移的性质求线段长度】 4 【题型4 利用平移的性质求角度】 6 【题型5 利用平移的性质求面积】 8 【题型6 利用平移解决实际问题】 10 【题型7 平移（作图）】 12 【题型8 平移综合题】 14 · 理解平移概念：结合生活实例认识平移现象，掌握平移的定义，明确平移的两大核心要素——平移方向和平移距离，能准确判断生活和几何图形中的平移现象，区分平移与旋转、翻折等图形变换。 · 掌握平移性质：牢记平移的核心性质，理解平移前后图形的形状、大小、对应边、对应角的关系，掌握对应点连线的特殊性质，吃透平移变换的本质特征。 · 规范平移作图：熟练掌握平移作图的步骤和方法，能根据给定的平移方向和平移距离，准确画出平移后的图形，规范标注对应点、对应线段，养成严谨的作图习惯。模块三 知识◎梳理 知识点1：平移的定义 定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移，简称平移。 · 两大核心要素：平移方向（图形移动的指向，如水平向左、竖直向上、斜向等）、平移距离（对应点之间的线段长度）； · 关键特征：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，平移前后的两个图形是全等图形。 知识点2：平移的核心性质 平移性质口诀：平移前后全相等，对应线段平行且等长，对应角相等，对应点连线平行（或共线）且等长 1. 平移前后的两个图形全等，形状、大小完全相同； 2. 平移前后的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 3. 平移前后的对应角相等； 4. 平移前后，一组对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等，这条线段的长度就是平移距离。 知识点3：平移作图的步骤 平移作图核心是找对应点，遵循“定点、移点、连点”三步法，具体步骤： 1. 找关键点：找出原图形的顶点、端点等关键特征点； 2. 移关键点：按照指定的平移方向和平移距离，分别平移每个关键点，得到对应点； 3. 连对应点：按照原图形的形状，顺次连接平移后的对应点，得到平移后的完整图形； 4. 标注：标注对应点字母，确保作图规范清晰。 知识点4：平移的常见应用 · 转化不规则图形为规则图形，简化周长、面积计算； · 利用平移的线段平行且相等，解决几何推理、线段等量问题； · 解决生活中的路径规划、物体移动、装修排版、折叠拼接等实际问题。 模块四 题型◎汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题思路： 紧扣平移定义，判断物体运动是否符合“沿直线方向移动、不改变形状大小和自身方向、无旋转无翻转”，区分平移与旋转、摆动等运动，生活中常见平移现象多为沿直线的匀速移动。 解题口诀：平移运动沿直线，不转不翻不变形，位置改变形不变 【典例1】．下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 【跟踪训练1】．剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可． 【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质， ∴只有C选项的图形是通过平移得到， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【跟踪训练2】．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 【题型2 图形的平移】 解题思路： 核心判断平移的方向和距离，找准一组对应点，对应点的连线方向即为平移方向，对应点连线的长度即为平移距离；同时明确平移前后图形全等，对应边、对应角完全一致，不发生任何形变。 解题口诀：图形平移看对应点，连线方向是走向，连线长度是距离 【典例2】．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 【跟踪训练1】．一个图形经过平移能得到另一个图形，其对应点所连成的线段的关系是（   ） A．平行 B．相等 C．平行且相等或在同一条直线上且相等 D．平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质，需明确平移后对应点所连线段的关系，根据平移的性质，作答即可．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．        【详解】解：∵平移后对应点所连成的线段平行且相等，当对应点在同一条直线上时，对应点连线在同一直线上且相等， ∴对应点所连成的线段的关系是平行且相等或在同一条直线上且相等． 故选：C． 【跟踪训练2】．如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移_______格，再向下平移_______格即可与下面涂色部分的方格块合成一个涂色长方形． 【答案】 2 4 【分析】本题考查作图平移变换，利用平移的性质判断即可．解题的关键是理解平移变换的性质． 【详解】解：如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移2格，再向下平移4格即可与下面涂色部分的方格块合成一个长方形的整体． 故答案为：2，4． 【题型3 利用平移的性质求线段长度】 解题思路： 利用“平移前后对应线段相等、对应点连线相等”的性质，找到所求线段的对应线段，直接利用等量关系求解；若涉及线段和差，结合平移性质转化线段，简化计算。 解题口诀：平移线段互对应，长度相等直接用，对应点连线等长 【典例3】．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据平移的性质得到，，结合四边形的周长解题即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【跟踪训练1】．如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】对于本题，重点把握平移的不变性，即对应边相等． 由平移的性质得到，，，再根据四边形的周长求解即可． 【详解】解：将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到， ，，， 四边形的周长． 【跟踪训练2】．如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【答案】4 【详解】解：是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型4 利用平移的性质求角度】 解题思路： 平移前后对应角相等，找到所求角的对应角，已知对应角的度数，即可直接得出所求角度数；常结合平行线、三角形内角和等知识联合解题，核心抓住“对应角相等”。 解题口诀：平移对应角相等，度数直接来换算 【典例4】．如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，掌握平移不改变角的大小是解题的关键． 直接利用平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移后得到，， ∴． 故选C． 【跟踪训练1】．如图，在锐角三角形中，，将沿射线方向平移，得到，连接．在平移过程中，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质，平行线的性质分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图1， 由平移的性质可知，， ∴， ∵， ∴； 如图2， 由平移的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述的度数为或． 故选：D． 【跟踪训练2】．如图，直线平移后得到直线．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 根据平移的性质可以得到平行，从而推出角相等，则可得到． 【详解】解：如图， 直线平移后得到直线， ， ． ， ， ． 故答案为；． 【题型5 利用平移的性质求面积】 解题思路： 平移不改变图形面积，平移前后图形面积相等；对于不规则图形，可通过平移拼接转化为长方形、正方形、三角形等规则图形，再套用面积公式计算，避免复杂拆分，简化运算。 解题口诀：平移面积不改变，不规则图转规则，拼接之后好计算 【典例5】．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为15，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：B． 【跟踪训练1】．几何直观  如图所示，，将直角三角形沿着射线的方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是平移的性质，解题关键是由平移性质得到，，． 根据平移性质得到，，，再由即可得解． 【详解】解：根据平移性质可知：，，， ， ， ， ， ． 故选：． 【跟踪训练2】．如图，将直角梯形沿平移得直角梯形，若，，，，求图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，，则可证明四边形是梯形，再根据图形之间的关系可推出，据此根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，，， ∴，，四边形是梯形， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型6 利用平移解决实际问题】 解题思路： 将实际问题转化为几何平移模型，利用平移的性质转化线段、角度，解决最短路径、长度计算、面积规划、物品移动等问题，核心是把分散的线段或图形通过平移整合，贴合生活实际场景。 解题口诀：实际问题转几何，平移转化巧解题，线段角度变规整 【典例6】．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 【跟踪训练1】．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，整式的乘法运算．根据平移，可得路的宽度，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：由题意得这块草地的绿地面积为， 故选：B． 【跟踪训练2】．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 【题型7 平移（作图）】 解题思路： 严格按照“找关键点、移关键点、连对应点”三步作图，找准原图形顶点，沿指定方向画等长线段得到对应点，顺次连接对应点，线条笔直，标注对应字母，平移距离和方向必须精准，禁止徒手作图。 作图口诀：找点移点再连线，方向距离要精准，作图规范标字母 【典例7】．如图，在方格纸中平移三角形至三角形，使点A移动到点D，点B的对应点是点E． (1)画出平移后的三角形； (2)写出与的位置关系； (3)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意，得到这是一个向下平移3，再向右平移4的平移变换； （2）根据平移变换的性质求解即可； （3）根据平行线的性质证明即可： 【详解】（1）解：设小正方形的边长为1，根据题意，这是一个向下平移3，再向右平移4的平移变换，画图如下： 则三角形即为所求． （2）解：根据题意，得； （3）证明：由平移可知，，， ∴ ∴， 即． 【跟踪训练1】．如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据点确定平移方式，再画出平移后的点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如答图，四边形即为所求． （2）解：与相等的线段有，，． 【跟踪训练2】．如图所示，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，根据点A和点B的位置可判断出平移方式，根据平移方式作图即可． 【详解】解：∵经过平移，小船上的点A移到了点B， ∴观察图形即可看出，该小船向下平移了5格，向左平移了11格． 所画图形如图所示： 【题型8 平移综合题】 解题思路： 综合考查平移的定义、性质、作图，结合平行线、线段、角度、面积、三角形等知识，先分析图形平移过程，确定平移方向和距离，再逐一运用性质解决线段、角度、面积、推理等问题，分步推导，不跳步骤，规范书写依据。 解题口诀：综合题，分步解，先定平移距和向，性质逐一来应用 【典例8】．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 【跟踪训练1】．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设AC与DE的交点为H，根据平移的性质可得，然后可得，过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，然后利用等积法可进行求解． 【详解】解：设AC与DE的交点为H，如图所示： ∵，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接， ∴根据平移的性质知，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形的周长为 ，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，如图， ∵， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选A． 【点睛】本题主要考查平移的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【跟踪训练2】．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点． (1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到； (2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出； (3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量． 【答案】(1)； (2)图见解析； (3)使，满足条件的平移量有、、、、． 【分析】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“平移量”的定义判断即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，取格点，使，即可得出点平移量． 【详解】（1）解：依题意可知，点在点的左侧个单位，上方个单位， ∴点可看作点按“平移量”平移得到， 故答案为：． （2）解：点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，依次连接、、，如图： ∴为所求的三角形． （3）解：要使，则点到的距离等于点到的距离，所以过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，如图： 在网格上取格点，则， ∴由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， ∴使，满足条件的平移量有、、、、． 模块五 过关◎检测 1．如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是平行四边形，如图所示： 故选：B． 2．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 3．如图，将沿方向平移得到对应的．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键． 据平移的性质可得，列式计算即可得解． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴， ∵， ∴． 故选A． 4．如图，箭头在网格中作平行移动，当点移到点位置时，点移到的位置为点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小．根据平移的基本性质，对应点位置关系不变，即可确定点C的位置． 【详解】解：因为点C在A左边1个单位处，经过平移，点移到点位置时，点C移到的位置为点R． 故选：C． 5．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 6．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测量测得，则这个剪出的图形的周长是（　　）． A．40 B．44 C．48 D．49 【答案】C 【分析】此题主要考查了生活中的平移，关键是利用平移的方法表示出垫片的周长等于正方形的周长加．首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加． 【详解】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置， 这个垫片的周长：． 答：这个垫片的周长为． 故选：C． 7．如图，沿方向平移到 的位置，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，直接利用平移的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，，将沿射线方向平移2个单位后，得到，连接．若，则的周长为_________． 【答案】12 【分析】本题考查了平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．根据平移的性质，求出的三条边，进而求得其周长． 【详解】解：由题意知，， ∴， 由平移的性质可知：， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：12． 9．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是__________． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键． 根据平移，可把路移到右边和上面，再根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：把路移到右边和上面， 路的宽度是， 草地可以看成长是，宽是， 故草地的面积是． 故答案为：． 10．如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，则可得，再根据两点之间线段最短可得，则，由此即可得． 【详解】解：由平移的性质得：，， ∵路①为折线段：， 路②为折线段：， 由平移的性质可知：，， ∴， 由两点之间线段最短得：， ∵路②为折线段：， 路③为折线段：， ∴， 综上，． 故答案为：． 11．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要______元． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图象的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米， 即可得地毯的长度为米，地毯的面积为（平方米）， 故买地毯至少需要（元）． 故答案为：． 12．如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（只填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质对各小题进行解答即可． 【详解】解：将三角形沿直线向右平移得到三角形，得 ，，， 故①正确； ∵，得不到， 故②错误； ∵， ∴, ∵, ∴, ， 故③正确； ∵，， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④； 故答案为：①③④． 13．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点E； (4)线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 【答案】(1)平行 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查平移的性质，网格中的垂线作图，垂线段最短，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质，直接得出与的位置关系； （2）利用网格的垂直特性，过点作竖直线与 交于，得到垂线； （3）根据的格数特征，过点作的垂线，延长该线与交于点，得到垂线； （4）根据垂线段最短即可得出、、这三条线段的大小关系． 【详解】（1）解：已知向右平移个单位，再向上平移个单位至， 平移不改变线段的方向， 则与的位置关系为平行． 答：平行． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． （4）解：， ， ， ， ． 答：． 14．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 15．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 16．如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）由平移的性质知，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出， （2）由平移的性质知，，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，故． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴； （2），理由如下： 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴． 17．如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的平移 （知识点+题型+过关检测） 【题型1 生活中的平移现象】 2 【题型2 图形的平移】 2 【题型3 利用平移的性质求线段长度】 3 【题型4 利用平移的性质求角度】 4 【题型5 利用平移的性质求面积】 5 【题型6 利用平移解决实际问题】 6 【题型7 平移（作图）】 7 【题型8 平移综合题】 8 · 理解平移概念：结合生活实例认识平移现象，掌握平移的定义，明确平移的两大核心要素——平移方向和平移距离，能准确判断生活和几何图形中的平移现象，区分平移与旋转、翻折等图形变换。 · 掌握平移性质：牢记平移的核心性质，理解平移前后图形的形状、大小、对应边、对应角的关系，掌握对应点连线的特殊性质，吃透平移变换的本质特征。 · 规范平移作图：熟练掌握平移作图的步骤和方法，能根据给定的平移方向和平移距离，准确画出平移后的图形，规范标注对应点、对应线段，养成严谨的作图习惯。模块三 知识◎梳理 知识点1：平移的定义 定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移，简称平移。 · 两大核心要素：平移方向（图形移动的指向，如水平向左、竖直向上、斜向等）、平移距离（对应点之间的线段长度）； · 关键特征：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，平移前后的两个图形是全等图形。 知识点2：平移的核心性质 平移性质口诀：平移前后全相等，对应线段平行且等长，对应角相等，对应点连线平行（或共线）且等长 1. 平移前后的两个图形全等，形状、大小完全相同； 2. 平移前后的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等； 3. 平移前后的对应角相等； 4. 平移前后，一组对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等，这条线段的长度就是平移距离。 知识点3：平移作图的步骤 平移作图核心是找对应点，遵循“定点、移点、连点”三步法，具体步骤： 1. 找关键点：找出原图形的顶点、端点等关键特征点； 2. 移关键点：按照指定的平移方向和平移距离，分别平移每个关键点，得到对应点； 3. 连对应点：按照原图形的形状，顺次连接平移后的对应点，得到平移后的完整图形； 4. 标注：标注对应点字母，确保作图规范清晰。 知识点4：平移的常见应用 · 转化不规则图形为规则图形，简化周长、面积计算； · 利用平移的线段平行且相等，解决几何推理、线段等量问题； · 解决生活中的路径规划、物体移动、装修排版、折叠拼接等实际问题。 模块四 题型◎汇总 【题型1 生活中的平移现象】 解题思路： 紧扣平移定义，判断物体运动是否符合“沿直线方向移动、不改变形状大小和自身方向、无旋转无翻转”，区分平移与旋转、摆动等运动，生活中常见平移现象多为沿直线的匀速移动。 解题口诀：平移运动沿直线，不转不翻不变形，位置改变形不变 【典例1】．下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【跟踪训练1】．剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 【题型2 图形的平移】 解题思路： 核心判断平移的方向和距离，找准一组对应点，对应点的连线方向即为平移方向，对应点连线的长度即为平移距离；同时明确平移前后图形全等，对应边、对应角完全一致，不发生任何形变。 解题口诀：图形平移看对应点，连线方向是走向，连线长度是距离 【典例2】．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【跟踪训练1】．一个图形经过平移能得到另一个图形，其对应点所连成的线段的关系是（   ） A．平行 B．相等 C．平行且相等或在同一条直线上且相等 D．平行且相等 【跟踪训练2】．如图，把上面涂色部分的方格块先向右平移_______格，再向下平移_______格即可与下面涂色部分的方格块合成一个涂色长方形． 【题型3 利用平移的性质求线段长度】 解题思路： 利用“平移前后对应线段相等、对应点连线相等”的性质，找到所求线段的对应线段，直接利用等量关系求解；若涉及线段和差，结合平移性质转化线段，简化计算。 解题口诀：平移线段互对应，长度相等直接用，对应点连线等长 【典例3】．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【跟踪训练1】．如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪训练2】．如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【题型4 利用平移的性质求角度】 解题思路： 平移前后对应角相等，找到所求角的对应角，已知对应角的度数，即可直接得出所求角度数；常结合平行线、三角形内角和等知识联合解题，核心抓住“对应角相等”。 解题口诀：平移对应角相等，度数直接来换算 【典例4】．如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，在锐角三角形中，，将沿射线方向平移，得到，连接．在平移过程中，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2】．如图，直线平移后得到直线．若，则_____． 【题型5 利用平移的性质求面积】 解题思路： 平移不改变图形面积，平移前后图形面积相等；对于不规则图形，可通过平移拼接转化为长方形、正方形、三角形等规则图形，再套用面积公式计算，避免复杂拆分，简化运算。 解题口诀：平移面积不改变，不规则图转规则，拼接之后好计算 【典例5】．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为15，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【跟踪训练1】．几何直观  如图所示，，将直角三角形沿着射线的方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，将直角梯形沿平移得直角梯形，若，，，，求图中阴影部分的面积是______． 【题型6 利用平移解决实际问题】 解题思路： 将实际问题转化为几何平移模型，利用平移的性质转化线段、角度，解决最短路径、长度计算、面积规划、物品移动等问题，核心是把分散的线段或图形通过平移整合，贴合生活实际场景。 解题口诀：实际问题转几何，平移转化巧解题，线段角度变规整 【典例6】．如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【跟踪训练1】．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【题型7 平移（作图）】 解题思路： 严格按照“找关键点、移关键点、连对应点”三步作图，找准原图形顶点，沿指定方向画等长线段得到对应点，顺次连接对应点，线条笔直，标注对应字母，平移距离和方向必须精准，禁止徒手作图。 作图口诀：找点移点再连线，方向距离要精准，作图规范标字母 【典例7】．如图，在方格纸中平移三角形至三角形，使点A移动到点D，点B的对应点是点E． (1)画出平移后的三角形； (2)写出与的位置关系； (3)连接，，求证：． 【跟踪训练1】．如图，经过平移，四边形的顶点平移到了点． (1)画出平移后的四边形； (2)请直接写出所有与相等的线段． 【跟踪训练2】．如图所示，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船． 【题型8 平移综合题】 解题思路： 综合考查平移的定义、性质、作图，结合平行线、线段、角度、面积、三角形等知识，先分析图形平移过程，确定平移方向和距离，再逐一运用性质解决线段、角度、面积、推理等问题，分步推导，不跳步骤，规范书写依据。 解题口诀：综合题，分步解，先定平移距和向，性质逐一来应用 【典例8】．如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【跟踪训练1】．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪训练2】．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点． (1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到； (2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出； (3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量． 模块五 过关◎检测 1．如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将沿方向平移得到对应的．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，箭头在网格中作平行移动，当点移到点位置时，点移到的位置为点（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 6．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测量测得，则这个剪出的图形的周长是（　　）． A．40 B．44 C．48 D．49 7．如图，沿方向平移到 的位置，若，则______． 8．如图，在中，，，将沿射线方向平移2个单位后，得到，连接．若，则的周长为_________． 9．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是__________． 10．如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为___________． 11．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要______元． 12．如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（只填序号）． 13．如图，在的正方形网格中，点是的边上的一点． (1)将向右平移个单位，再向上平移个单位至，与的位置关系是______； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点E； (4)线段、、这三条线段大小关系是______．（用“”号连接） 14．如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 15．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 16．如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． (1)求的度数； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 17．如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $