专题01直线的相交和同位角、内错角、同旁内角 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题01直线的相交和同位角、内错角、同旁内角 （2知识点+8题型+过关检测） 【题型1 对顶角的定义】 3 【题型2 对顶角相等】 3 【题型3 垂线的定义理解】 4 【题型4 与垂直有关的角度计算】 5 【题型5 画垂线】 6 【题型6 垂线段最短】 7 【题型7 点到直线的距离】 8 【题型8 同位角、内错角、同旁内角】 8 · 掌握核心概念：理解相交线、对顶角、邻补角、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义，能精准识别图形中的对顶角、邻补角，区分垂线与垂线段、点到直线的距离的差异。 · 熟练运用性质：牢记“对顶角相等”“邻补角互补”“垂线段最短”三大核心性质，掌握垂直的符号表示，能利用性质进行角度计算、线段判断。 · 识别三类角：明确同位角、内错角、同旁内角的构成前提（两条直线被第三条直线所截），掌握三类角的位置特征，能在复杂图形中快速找准三类角。模块三 知识◎梳理 知识点1：直线的相交 1. 相交线定义 在同一平面内，两条直线只有一个公共点，这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做交点。 2. 对顶角 · 定义：两条直线相交时，形成的四个角中，有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。 · 核心性质：对顶角相等（必背，几何计算高频考点）。 · 特征：有公共顶点、无公共边、两边互为反向延长线。 3. 邻补角 · 定义：两条直线相交时，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。 · 性质：邻补角互补，即和为180°。 4. 垂线与垂直 · 定义：两条直线相交成直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 · · 符号表示：若a⊥b，垂足为O，读作“a垂直于b，垂足为O”。 · 唯一性结论：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5. 垂线段与点到直线的距离 · 垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段。 · 性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简写：垂线段最短）。 · 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（注意：距离是长度，不是线段）。 知识点2：同位角、内错角、同旁内角 1. 构成前提 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，简称“三线八角”，三类角均出现在这个模型中，缺一不可。 三类角识别口诀：同位F型，内错Z型，同旁U型 2. 三类角位置特征 · 同位角：在截线同旁，被截两直线同侧，形状像大写字母“F”，位置完全相同。 · 内错角：在截线两侧，被截两直线之间，形状像大写字母“Z”，交错分布。 · 同旁内角：在截线同旁，被截两直线之间，形状像大写字母“U”，同侧内部。 3. 关键注意点 · 三类角是位置角，只看位置，不看大小，与角度是否相等无关； · 识别时先找截线（第三条线），再找被截直线，最后判断位置； · 复杂图形中，先擦掉无关线条，简化为“三线八角”基础模型再判断。 模块四 题型◎汇总 【题型1 对顶角的定义】 解题思路： 紧扣对顶角三大特征：有公共顶点、无公共边、两边互为反向延长线，逐一排查选项，排除有公共边、不是两条直线相交形成的角，精准判断。 解题口诀：对顶角，找顶点，两边反向无公边，两线相交才出现 【典例1】．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【题型2 对顶角相等】 解题思路： 初一几何角度计算基础题型，直接套用“对顶角相等”性质，结合邻补角互补（和为180°），已知一个角的度数，直接求出对顶角、邻补角度数，计算细心即可。 解题口诀：对顶角，度数等，邻补相加一百八 【典例2】．如图，直线、、相交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，直线和交于点O，，则的度数为 _______． 【题型3 垂线的定义理解】 解题思路： 核心抓住“相交成90°直角”，垂直是相交的特殊情况，判断垂直看夹角是否为90°，区分垂线（直线）和垂线段（线段），牢记同一平面内垂线的唯一性。 解题口诀：两线垂直看直角，九十度是关键，垂线直线要分清 【典例3】．已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【跟踪训练2】．如图，已知为直线上一点，，，所以与重合的理由是______________________． 【题型4 与垂直有关的角度计算】 解题思路： 综合题型，结合垂直（90°）、对顶角相等、邻补角互补三大性质，先找直角，再拆分角的关系，分步计算，标注已知角度，避免计算失误。 解题口诀：垂直就有九十度，对顶相等邻补补，分步计算不出错 【典例4】．如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 【题型5 画垂线】 解题思路： 规范作图题型，分两种情况：过直线上一点画垂线、过直线外一点画垂线，用三角尺的直角边贴合已知直线，沿另一条直角边画直线，标注垂足和垂直符号。 作图口诀：三角尺，直角靠，沿线画垂线，垂足标好 【典例5】．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线，三角板操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【题型6 垂线段最短】 解题思路： 判断线段长短、实际应用题型，核心结论：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短，用于找最短路径、判断最短线段，区分垂线段和斜线段。 解题口诀：点到直线连线段，垂线段最短 【典例6】．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的：用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合．这样做的理由是（    ） A．两点之间线段最短 B．过两点有且只有一条直线 C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线 【跟踪训练1】．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【跟踪训练2】．A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是______． 【题型7 点到直线的距离】 解题思路： 易错题型，牢记：点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，是数值，不是图形，判断时区分“线段”和“长度”，求距离先找垂线段，再测长度。 解题口诀：点线距离是长度，垂线段长度才是它 【典例7】．下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【题型8 同位角、内错角、同旁内角】 解题思路： 识图核心题型，先找“三线”（两条被截线+一条截线），再用口诀判断形状：同位F、内错Z、同旁U，复杂图形先擦去无关线条，简化模型再判断，不被干扰线误导。 解题口诀：三线八角先找准，FZ U型记在心，同位内错同旁分 【典例8】．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，图案“4”中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则________． 模块五 过关◎检测 1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线于，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 4．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 5．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 6．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 7．如图，直线、相交于点O，，平分，，则的度数为________． 8．小丽在探究垂线的性质时，是这样做的：首先通过直线l外一点P作直线l的垂线，垂足为O． 然后在直线l上任取三点A，B，C（与点O不重合），连接，，，通过比较，，，的长短，结果发现最短．如图所示．小丽这样做发现了垂线的性质是：_______________． 9．如图，已知，，相交于点，，则的度数是____________． 10．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为______． 11．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 12．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 13．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 14．如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 15．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 16．根据图形填空： (1)若直线，被直线所截，则和 是同位角． (2)若直线，被直线所截，则和 是内错角． (3)和是直线， 被直线所截构成的 角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01直线的相交和同位角、内错角、同旁内角 （2知识点+8题型+过关检测） 【题型1 对顶角的定义】 2 【题型2 对顶角相等】 4 【题型3 垂线的定义理解】 5 【题型4 与垂直有关的角度计算】 7 【题型5 画垂线】 9 【题型6 垂线段最短】 11 【题型7 点到直线的距离】 12 【题型8 同位角、内错角、同旁内角】 14 · 掌握核心概念：理解相交线、对顶角、邻补角、垂线、垂线段、点到直线的距离的定义，能精准识别图形中的对顶角、邻补角，区分垂线与垂线段、点到直线的距离的差异。 · 熟练运用性质：牢记“对顶角相等”“邻补角互补”“垂线段最短”三大核心性质，掌握垂直的符号表示，能利用性质进行角度计算、线段判断。 · 识别三类角：明确同位角、内错角、同旁内角的构成前提（两条直线被第三条直线所截），掌握三类角的位置特征，能在复杂图形中快速找准三类角。模块三 知识◎梳理 知识点1：直线的相交 1. 相交线定义 在同一平面内，两条直线只有一个公共点，这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做交点。 2. 对顶角 · 定义：两条直线相交时，形成的四个角中，有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。 · 核心性质：对顶角相等（必背，几何计算高频考点）。 · 特征：有公共顶点、无公共边、两边互为反向延长线。 3. 邻补角 · 定义：两条直线相交时，有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。 · 性质：邻补角互补，即和为180°。 4. 垂线与垂直 · 定义：两条直线相交成直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 · · 符号表示：若a⊥b，垂足为O，读作“a垂直于b，垂足为O”。 · 唯一性结论：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5. 垂线段与点到直线的距离 · 垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段。 · 性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简写：垂线段最短）。 · 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（注意：距离是长度，不是线段）。 知识点2：同位角、内错角、同旁内角 1. 构成前提 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，简称“三线八角”，三类角均出现在这个模型中，缺一不可。 三类角识别口诀：同位F型，内错Z型，同旁U型 2. 三类角位置特征 · 同位角：在截线同旁，被截两直线同侧，形状像大写字母“F”，位置完全相同。 · 内错角：在截线两侧，被截两直线之间，形状像大写字母“Z”，交错分布。 · 同旁内角：在截线同旁，被截两直线之间，形状像大写字母“U”，同侧内部。 3. 关键注意点 · 三类角是位置角，只看位置，不看大小，与角度是否相等无关； · 识别时先找截线（第三条线），再找被截直线，最后判断位置； · 复杂图形中，先擦掉无关线条，简化为“三线八角”基础模型再判断。 模块四 题型◎汇总 【题型1 对顶角的定义】 解题思路： 紧扣对顶角三大特征：有公共顶点、无公共边、两边互为反向延长线，逐一排查选项，排除有公共边、不是两条直线相交形成的角，精准判断。 解题口诀：对顶角，找顶点，两边反向无公边，两线相交才出现 【典例1】．下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．与的两边不都互为反向延长线，不是对顶角，故该选项不符合题意， B．与有公共顶点，且两边都互为反向延长线，是对顶角，故该选项符合题意， C．与没有公共顶点，不是对顶角，故该选项不符合题意， D．与没有公共顶点，不是对顶角，故该选项不符合题意． 【跟踪训练1】．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 【跟踪训练2】．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 【题型2 对顶角相等】 解题思路： 初一几何角度计算基础题型，直接套用“对顶角相等”性质，结合邻补角互补（和为180°），已知一个角的度数，直接求出对顶角、邻补角度数，计算细心即可。 解题口诀：对顶角，度数等，邻补相加一百八 【典例2】．如图，直线、、相交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪训练1】．如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用对顶角的性质确定的度数，再根据角平分线的定义，得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【详解】解：直线与相交于点， ． 平分， ． ， 【跟踪训练2】．如图，直线和交于点O，，则的度数为 _______． 【答案】 /60度 【分析】根据对顶角相等可得的度数，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【题型3 垂线的定义理解】 解题思路： 核心抓住“相交成90°直角”，垂直是相交的特殊情况，判断垂直看夹角是否为90°，区分垂线（直线）和垂线段（线段），牢记同一平面内垂线的唯一性。 解题口诀：两线垂直看直角，九十度是关键，垂线直线要分清 【典例3】．已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算及垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题的关键． 根据垂直的定义及角度的计算、对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； C、，不能判定，故该选项符合题意； D、 ∵， ∴， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查对垂线定义的理解． 根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意； B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意； C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【跟踪训练2】．如图，已知为直线上一点，，，所以与重合的理由是______________________． 【答案】同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，熟练掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴与重合（同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）， 故答案为：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型4 与垂直有关的角度计算】 解题思路： 综合题型，结合垂直（90°）、对顶角相等、邻补角互补三大性质，先找直角，再拆分角的关系，分步计算，标注已知角度，避免计算失误。 解题口诀：垂直就有九十度，对顶相等邻补补，分步计算不出错 【典例4】．如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪训练1】．如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 【跟踪训练2】．直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、垂直定义、几何图形中的角度计算，找到角之间的数量关系是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，然后利用平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 【题型5 画垂线】 解题思路： 规范作图题型，分两种情况：过直线上一点画垂线、过直线外一点画垂线，用三角尺的直角边贴合已知直线，沿另一条直角边画直线，标注垂足和垂直符号。 作图口诀：三角尺，直角靠，沿线画垂线，垂足标好 【典例5】．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线，三角板操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．未经过点P，操作错误； B．不垂直于l，操作错误； C．经过点P，且垂直于l，操作正确； D．不垂直于l，操作错误． 【跟踪训练1】．下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练2】．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 【题型6 垂线段最短】 解题思路： 判断线段长短、实际应用题型，核心结论：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短，用于找最短路径、判断最短线段，区分垂线段和斜线段。 解题口诀：点到直线连线段，垂线段最短 【典例6】．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的：用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合．这样做的理由是（    ） A．两点之间线段最短 B．过两点有且只有一条直线 C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线 【答案】C 【分析】根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵跳远成绩的测量，是测量脚后跟与起跳线的距离， ∴这样做的理由是垂线段最短． 【跟踪训练1】．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 【跟踪训练2】．A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是______． 【答案】B（同学） 【分析】此题考查了垂线段的性质．直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，最先通过马路的是B同学，原因是垂线段最短， 故答案为： B同学． 【题型7 点到直线的距离】 解题思路： 易错题型，牢记：点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，是数值，不是图形，判断时区分“线段”和“长度”，求距离先找垂线段，再测长度。 解题口诀：点线距离是长度，垂线段长度才是它 【典例7】．下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：要使线段的长度表示点P到直线的距离，则， 选项中只有A符合． 【跟踪训练1】．如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 【跟踪训练2】．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 【题型8 同位角、内错角、同旁内角】 解题思路： 识图核心题型，先找“三线”（两条被截线+一条截线），再用口诀判断形状：同位F、内错Z、同旁U，复杂图形先擦去无关线条，简化模型再判断，不被干扰线误导。 解题口诀：三线八角先找准，FZ U型记在心，同位内错同旁分 【典例8】．如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同位角的定义，根据“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角”进行分析即可． 【详解】解：的同位角是， 故选：A． 【跟踪训练1】．下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义． 根据内错角的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项与是同位角，不符合题意； B. 该选项与是内错角，符合题意； C. 该选项与是同旁内角，不符合题意； D. 该选项与不是内错角，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练2】．如图，图案“4”中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则________． 【答案】1 【详解】解：同位角有：与，共1对，则； 内错角有：与，共1对，则； 同旁内角有：与，共1对，则； ∴． 模块五 过关◎检测 1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 2．如图，直线于，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直的定义，求得，再根据角平分线的定义，得到，从而求得，最后根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 4．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算余角的性质，熟练掌握三角板中角的特点，是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，即可得到答案． 【详解】解：①图形中，根据同角的余角相等可得，故①符合题意； ②图形中，，和不一定相等，故②不符合题意； ③图形中，，故③符合题意； ④图形中，，，，故④不符合题意； 综上，正确的有①③． 故选：B． 6．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 7．如图，直线、相交于点O，，平分，，则的度数为________． 【答案】/123度 【分析】根据对顶角的性质可得，然后根据角平分线的定义即可求出，再根据垂直的定义进而即可求出． 【详解】解：∵直线、相交于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 8．小丽在探究垂线的性质时，是这样做的：首先通过直线l外一点P作直线l的垂线，垂足为O． 然后在直线l上任取三点A，B，C（与点O不重合），连接，，，通过比较，，，的长短，结果发现最短．如图所示．小丽这样做发现了垂线的性质是：_______________． 【答案】垂线段最短 【分析】根据点与直线上点的连线中垂线段最短解答即可． 【详解】解：因为线段是垂线段，则垂线段最短． 9．如图，已知，，相交于点，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键． 先根据平角定义结合，可求出的度数，然后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，，相交于点，， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 10．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为______． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 11．如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且平分，平分．给出下面四个结论： ①； ②与互补； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、余角、补角和角度的和差关系，根据角平分线的和，利用平角即可判断①，结合补角的定义即可判断②，利用角平分线的性质和平角即可判断③，利用角平分线的性质与角度和差关系即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，， ∴， ∴， ∴与互补，故②正确； ∵，故③不正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 12．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接解答即可； （2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差关系可求的度数． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ． 13．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 14．如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，对顶角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 对于（1），先由对顶角相等和角平分线定义求出，进而求解即可； 对于（2），根据题意证明出，即可得到平分． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：是，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 15．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 16．根据图形填空： (1)若直线，被直线所截，则和 是同位角． (2)若直线，被直线所截，则和 是内错角． (3)和是直线， 被直线所截构成的 角． 【答案】(1) (2) (3)；同旁内 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角判断，根据同位角，内错角，同旁内角定义逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：若直线，被直线所截，则和是同位角； 故答案为：； （2）解：若直线，被直线所截，则和是内错角； 故答案为：； （3）解：和是直线，被直线所截构成的同旁内角． 故答案为：；同旁内． 试卷第1页，共3页 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