3.3 离差平方和与方差讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

3.3 离差平方和与方差 讲义 知识梳理 （一）基本概念 离差：一组数据中每个数据与这组数据平均数的差，即 （其中 为单个数据， 为数据的平均数）。离差可正可负，反映单个数据与平均水平的偏离程度。 离差平方和：所有数据的离差的平方之和，计算公式为： 它是衡量数据整体波动的原始指标，值越大说明数据波动越明显。 方差：离差平方和与数据个数 的比值，记作 ，计算公式为： 注意：①若原数据有单位，方差的单位为原数据单位的平方； ②方差是衡量数据在平均数附近波动大小的核心统计量，方差越大，数据波动性越大（越不稳定）；方差越小，数据波动性越小（越稳定）。 （二）核心性质 方差的非负性：方差的值恒大于或等于0，当且仅当所有数据都相等时，方差为0（此时离差平方和也为0）。 数据变换对方差的影响：若一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则： ①若每个数据加（减）同一个常数 ，新数据 的方差仍为 （波动程度不变）； ②若每个数据乘（除）同一个常数 ，新数据 的方差为 （波动程度放大或缩小 倍）； ③若每个数据先乘 再加 ，新数据 的方差为 （平移不影响波动，缩放影响波动）。 方差与离差平方和的关系：方差 = 离差平方和 ÷ 数据个数，即 ，二者本质都是描述数据波动，区别在于方差消除了数据个数对波动指标的影响，更便于不同样本容量的数据组比较。 （三）方差与平均数的联系 ①平均数反映数据的“集中趋势”，方差反映数据的“离散程度”； ②当两组数据的平均数相等或相近时，方差是比较数据稳定性的核心依据：方差越小，数据越集中在平均数附近，稳定性越强； ③若两组数据平均数差异较大，需结合标准差（方差的算术平方根）和平均数共同分析，不能单独用方差判断优劣。 技巧总结归纳 1.方差计算“三步法”： 第一步：先求平均数 （这是计算方差的基础，务必准确）； 第二步：计算每个数据的离差 ，再平方得到 （注意负数平方后为正数，避免符号错误）； 第三步：求离差平方和，再除以数据个数 得到方差（若数据个数较多，可分组计算离差平方和，减少计算量）。 2.简化计算技巧： ①当数据接近某个整数时，可先对数据进行平移变换（如每个数据减常数 ），计算变换后数据的方差，原数据方差与变换后数据方差相等（利用方差性质1）； ②若数据有重复出现的情况，可利用加权平均数公式先求平均数，再用加权形式计算方差：（其中 为对应数据的出现次数，且 ）。 3.稳定性判断技巧： ①先比较两组数据的平均数，若平均数相近，直接比较方差：方差小的更稳定； ②若平均数差异较大，可计算“变异系数”（标准差÷平均数），变异系数小的说明相对波动更小，稳定性更强（拓展技巧）。 典例精讲 题型1 直接计算一组数据的方差 典例1一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的方差是（    ） A． B． C． D． 变式1小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 题型2 已知数据变换求方差 典例2已知样本数据 的平均数为4，方差为5，则样本数据 的方差为多少？ 变式2已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 题型3 离差平方和的计算与应用 典例3在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 变式3体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 题型4 方差的实际应用（比较稳定性） 典例4在甲、乙两个梨园随机各采摘5个香梨，称重绘图如下，则甲、乙两个梨园香梨单果重量较为均匀的是________（填“甲”或“乙”） 变式4对甲、乙两种不同型号的越野吉普车各10辆进行刹车系统性能测试，两种越野吉普车的刹车制动距离（单位：m）如下： 甲 69 81 78 77 72 78 79 74 77 75 乙 78 76 76 80 77 72 82 80 72 67 (1)甲的方差是__________，乙的方差是___________（用计算器计算） (2)哪种型号的越野吉普车刹车系统性能比较稳定？为什么？ 重难题型拓展（方差与样本估计总体结合） 典例5某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； (3)该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 课堂小结 核心公式：方差 = 离差平方和 ÷ 数据个数，计算时需先求平均数，再逐步计算离差、离差平方和； 关键性质：数据平移不改变方差，缩放则方差按平方倍变化； 实际应用：方差用于比较数据稳定性，平均数相近时，方差越小越稳定； 易错点：计算离差平方时注意符号，数据变换时区分“平移”和“缩放”的不同影响，避免方差计算错误。 1．（2025春•义乌市期末）已知样本数据2，3，3，5，7，下列说法不正确的是（　　） A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是3 D．方差是3 2．（2025春•西湖区校级期中）在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分，而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2025春•乐清市校级期中）甲、乙、丙、丁四名同学参加数学竞赛预选赛，他们4次成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选学生（　　） 甲 乙 丙 丁 （分） 90 92 92 89 S2（分2） 3 3.4 3 3.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2025春•义乌市校级期中）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：S2，小程的式子为：S2.则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 5．（2025春•大冶市期末）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 6．（2025春•温州校级月考）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•拱墅区校级期中）某小组6位同学的英语口语成绩依次为：25，23，29，30，24，25，这组数据的方差是　　 ． 8．已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是_____________． 9．（2025春•拱墅区校级期中）一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是a，平均数是b，则另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的方差是 　 ，平均数是 　 　 ． 10．（2025秋•宁波校级期中）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一；甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）比赛中的其他队员的平均成绩均低于8环，你认为推荐谁去更适合．请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 11．（2025春•西湖区校级期中）为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 a 8.6 乙 96 96 b （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； （3）若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将 　 　 （填“变大”、“变小”或“不变”）． 12．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是：92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 离差平方和与方差 讲义 知识梳理 （一）基本概念 离差：一组数据中每个数据与这组数据平均数的差，即 （其中 为单个数据， 为数据的平均数）。离差可正可负，反映单个数据与平均水平的偏离程度。 离差平方和：所有数据的离差的平方之和，计算公式为： 它是衡量数据整体波动的原始指标，值越大说明数据波动越明显。 方差：离差平方和与数据个数 的比值，记作 ，计算公式为： 注意：①若原数据有单位，方差的单位为原数据单位的平方； ②方差是衡量数据在平均数附近波动大小的核心统计量，方差越大，数据波动性越大（越不稳定）；方差越小，数据波动性越小（越稳定）。 （二）核心性质 方差的非负性：方差的值恒大于或等于0，当且仅当所有数据都相等时，方差为0（此时离差平方和也为0）。 数据变换对方差的影响：若一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则： ①若每个数据加（减）同一个常数 ，新数据 的方差仍为 （波动程度不变）； ②若每个数据乘（除）同一个常数 ，新数据 的方差为 （波动程度放大或缩小 倍）； ③若每个数据先乘 再加 ，新数据 的方差为 （平移不影响波动，缩放影响波动）。 方差与离差平方和的关系：方差 = 离差平方和 ÷ 数据个数，即 ，二者本质都是描述数据波动，区别在于方差消除了数据个数对波动指标的影响，更便于不同样本容量的数据组比较。 （三）方差与平均数的联系 ①平均数反映数据的“集中趋势”，方差反映数据的“离散程度”； ②当两组数据的平均数相等或相近时，方差是比较数据稳定性的核心依据：方差越小，数据越集中在平均数附近，稳定性越强； ③若两组数据平均数差异较大，需结合标准差（方差的算术平方根）和平均数共同分析，不能单独用方差判断优劣。 技巧总结归纳 1.方差计算“三步法”： 第一步：先求平均数 （这是计算方差的基础，务必准确）； 第二步：计算每个数据的离差 ，再平方得到 （注意负数平方后为正数，避免符号错误）； 第三步：求离差平方和，再除以数据个数 得到方差（若数据个数较多，可分组计算离差平方和，减少计算量）。 2.简化计算技巧： ①当数据接近某个整数时，可先对数据进行平移变换（如每个数据减常数 ），计算变换后数据的方差，原数据方差与变换后数据方差相等（利用方差性质1）； ②若数据有重复出现的情况，可利用加权平均数公式先求平均数，再用加权形式计算方差：（其中 为对应数据的出现次数，且 ）。 3.稳定性判断技巧： ①先比较两组数据的平均数，若平均数相近，直接比较方差：方差小的更稳定； ②若平均数差异较大，可计算“变异系数”（标准差÷平均数），变异系数小的说明相对波动更小，稳定性更强（拓展技巧）。 典例精讲 题型1 直接计算一组数据的方差 典例1一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的方差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将这组数据从小到大排列：、、、、、， ∴平均数是， ∴方差是． 变式1小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 【答案】D 【分析】本题考查求一组数据的方差，先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式计算即可． 【详解】解：∵这组数据为9、4、7、4、6， ∴平均数， 将代入方差公式得： ． 故选D． 【易错提醒】计算离差平方时，容易忽略负数的平方运算（如 ，而非 ），导致离差平方和计算错误；同时需注意数据个数与公式中分母的一致性，避免漏除数据个数。 题型2 已知数据变换求方差 典例2已知样本数据 的平均数为4，方差为5，则样本数据 的方差为多少？ 【答案】20 【解析】利用数据变换对 方差 的影响性质求解： 已知原数据方差 ，新数据是原数据先乘2再加1； 根据性质：数据乘常数 ，方差变为 ，加常数不影响方差； 因此新数据方差为 。 变式2已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【答案】C 【分析】此题考查了平均数和方差的求法． 根据平均数和方差的变化规律求解． 若原数据平均数为、方差为，则数据的平均数为，方差为． 【详解】解：∵原数据的平均数， 方差 ∴新数据的平均数 新数据的方差 ∴新数据的平均数和方差分别为9和9， 故选：C． 【技巧点拨】数据变换时，只需关注“缩放倍数”对方差的影响（平方倍变化），“平移常数”不影响方差，可直接忽略，快速计算结果。 题型3 离差平方和的计算与应用 典例3在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 【分析】求出组内离差平方和最小值． 【详解】解：数据排序为105，110，120，125，135，140．分组列表如下： 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为与． 变式3体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 题型4 方差的实际应用（比较稳定性） 典例4在甲、乙两个梨园随机各采摘5个香梨，称重绘图如下，则甲、乙两个梨园香梨单果重量较为均匀的是________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据数据的离散程度求解即可． 【详解】解：根据题意，得甲的离散程度比乙的小，故甲梨园香梨单果重量较为均匀． 变式4对甲、乙两种不同型号的越野吉普车各10辆进行刹车系统性能测试，两种越野吉普车的刹车制动距离（单位：m）如下： 甲 69 81 78 77 72 78 79 74 77 75 乙 78 76 76 80 77 72 82 80 72 67 (1)甲的方差是__________，乙的方差是___________（用计算器计算） (2)哪种型号的越野吉普车刹车系统性能比较稳定？为什么？ 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】（1）解：甲的平均数是：， 甲的方差是：， 乙的平均数是：， 乙的方差是：． 故答案为：11.4 ，18.6； （2）解：甲种型号，理由如下： 因为两组数据的平均数相等，甲组数据的方差为11.4，乙组数据的方差为，， 所以甲种型号的越野吉普车刹车系统性能比较稳定． 【技巧点拨】比较两组数据稳定性时，需先确认平均数是否相近，若平均数差异不大，直接通过方差大小判断：方差越小，稳定性越强；若平均数差异较大，需结合实际场景分析，不能单纯依赖方差。 重难题型拓展（方差与样本估计总体结合） 典例5某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； (3)该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 【分析】（1）根据统计图，列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表，求出各自中位数、方差，再比较大小； （2）①分别求出两个年级的综合得分，列出统计表，再根据表中的频数对照频数直方图作出判断； ②先找出该年级知识测评得分最高的学生的知识测评得分，再找出它的综合得分，然后找出他所在的组别； （3）根据（2）分别得出被抽取的学生中可获得“北京小使者”奖章的人数，再估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数。 【详解】（1）解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表如下： 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 七年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为 八年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为, 记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，∴, 七年级10名学生的知识测评得分分别为52，62，65，65，75，79，81，82，82，92， 七年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分）， 七年级10名学生的知识测评得分的方差为 八年级10名学生的知识测评得分分别为61，63，69，73，73，78，78，81，82，87， 八年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分)， 八年级10名学生的知识测评得分的方差为 记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为， ， 故答案为：<， >; （2）解：七年级10名学生的知识测评综合得分分别为112，122，125，135，165，139，171，142，172，172， 组别 学生数 1 2 2 1 0 1 3 八年级10名学生的知识测评综合得分分别为121，133，129，153，163，148，158，171，162，157， 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合， ∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其得分是87分，综合得分是157分，位于第4组； 故答案为：①八，②4； （3）解：综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有120名学生，八年级有100名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人， ∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为 （人）。 故答案为：78. 课堂小结 核心公式：方差 = 离差平方和 ÷ 数据个数，计算时需先求平均数，再逐步计算离差、离差平方和； 关键性质：数据平移不改变方差，缩放则方差按平方倍变化； 实际应用：方差用于比较数据稳定性，平均数相近时，方差越小越稳定； 易错点：计算离差平方时注意符号，数据变换时区分“平移”和“缩放”的不同影响，避免方差计算错误。 1．（2025春•义乌市期末）已知样本数据2，3，3，5，7，下列说法不正确的是（　　） A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是3 D．方差是3 【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A．平均数是（2+3+3+5+7）÷5＝4，故本选项说法正确，不符合题意； B．3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项说法正确，不符合题意； C．把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项说法正确，不符合题意； D．这组数据的方差是：[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025春•西湖区校级期中）在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分，而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【解答】解：甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分， ∵方差越小，成绩就越稳定，0.46＜7.25＜8.72＜10.39， ∴丁是四人中成绩最稳定的一个， 故选：D． 3．（2025春•乐清市校级期中）甲、乙、丙、丁四名同学参加数学竞赛预选赛，他们4次成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选学生（　　） 甲 乙 丙 丁 （分） 90 92 92 89 S2（分2） 3 3.4 3 3.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】要选择成绩较好且稳定的学生，需比较平均数和方差．平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 【解答】解：由题意，∵乙和丙的平均分均为92分，最高；甲和丁的平均分分别为90分和89分，较低， ∴选成绩较好的考虑乙和丙． ∵乙的方差为3.4，丙的方差为3，方差越小成绩越稳定， ∴丙更优． 综上，应选丙． 故选：C． 4．（2025春•义乌市校级期中）题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差．”在计算时小方的式子为：S2，小程的式子为：S2.则小方，小程所列的式子（　　） A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确 C．都正确 D．都错误 【答案】B 【分析】根据方差的定义和计算公式计算即可． 【解答】解：小方的式子中缺少（d﹣6）2的项，错误； 小程的式子S2 （a2﹣12a+36+b2﹣12b+36+c2﹣12c+36+d2﹣12d+36+e2﹣12e+36） [a2+b2+c2+d2+e2﹣12（a+b+c+d+e）+5×36] （a2+b2+c2+d2+e2﹣12×30+5×36） （a2+b2+c2+d2+e2）﹣36，正确； 故选：B． 5．（2025春•大冶市期末）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】C 【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案． 【解答】解：原数据的平均数为（190+194+198+200+202）＝196.8（cm）， 新数据的平均数为（196+194+198+200+202）＝198（cm）， 原数据的方差为[（190﹣196.8）2+（194﹣196.8）2+（198﹣196.8）2+（200﹣196.8）2+（202﹣196.8）2]＝15.464， 新数据的方差为[（196﹣198）2+（194﹣198）2+（198﹣198）2+（200﹣198）2+（202﹣198）2]＝8， 所以平均数变大，方差变小， 故选：C． 6．（2025春•温州校级月考）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据折线统计图分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解． 【解答】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90， 乙所中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80， ∴， ， ， ， ∴，． 故选：B． 7．（2025春•拱墅区校级期中）某小组6位同学的英语口语成绩依次为：25，23，29，30，24，25，这组数据的方差是　　 ． 【答案】． 【分析】先求6个数据的平均数，再根据方差公式求解． 【解答】解：∵数据25，23，29，30，24，25的平均数为：（25+23+29+30+24+25）÷6＝26， ∴这组数据的方差为：[2×（25﹣26）2+（23﹣26）2+（29﹣26）2+（24﹣26）2+（30﹣26）2]． 故答案为：． 8．已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是_____________． 【答案】15 【分析】利用方差乘以数据个数即可求出离差平方和．本题主要考查离差平方和的计算，熟练掌握方差是离差平方和的算术平均数是解题的关键． 【详解】解：∵数据个数，方差， 则离差平方和为． 故答案为： 15． 9．（2025春•拱墅区校级期中）一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是a，平均数是b，则另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的方差是 　9a ，平均数是 　3b+2　 ． 【答案】9a，3b+2． 【分析】按照平均数和方差的计算公式，计算化简即可． 【解答】解：∵x1，x2，x3，……，xn的平均数是b， ∴x1+x2+x3+......+xn＝nb， ∴3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的平均数， ∵x1，x2，x3，……，xn的方差是a， ∴， ∴3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差，， 综上，另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的方差是9a，平均数是3b+2． 故答案为：9a，3b+2． 10．（2025秋•宁波校级期中）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛、在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一；甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：m＝　8.5　 ，n＝　8　 ； （2）比赛中的其他队员的平均成绩均低于8环，你认为推荐谁去更适合．请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【分析】（1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出m，n的值即可； （2）根据平均数，中位数、众数以及方差作决策即可． 【解答】解：（1）将乙中数据排序：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10， 第5个和第6个数据分别为8和9， ∴； 甲中数据出现次数最多的是8，则众数为8，故n＝8； 故答案为：8.5，8； （2）推荐乙更加合适，因为其他队员的平均成绩均低于8环，甲和乙的平均数一样（均为8.3环），乙的中位数和众数更高，且乙的方差小，成绩更稳定，所以推荐乙更加合适． 11．（2025春•西湖区校级期中）为提高同学们的宪法意识，学校将组织“弘扬宪法精神，共筑法治校园”知识竞赛，共100道单选题，每题1分，满分为100分．王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，对他们进行了培训和指导，期间甲、乙完成了十次模拟答题．为了比较这两名同学的成绩，绘制了如下的统计图和统计表： 甲、乙成绩统计表 平均成绩/分 中位数/分 方差/分2 甲 96 a 8.6 乙 96 96 b （1）a＝ 　96　 ，b＝ 　1.2　 ； （2）你认为王老师会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由； （3）若将每题1分改为每题0.5分，其余不变，则甲这10次成绩的方差将 　变小　 （填“变大”、“变小”或“不变”）． 【分析】（1）将甲的分数从小到大排列，求出a；根据方差计算公式可得b； （2）选择乙同学，因为甲、乙同学的平均数，中位数，方差均相同，而乙可以得到更高的分数，所以选择乙同学参赛； （3）当数据同时加或减相同的数，方差不变；当数据同时乘或除相同的数，方差乘或除该数的平方． 【解答】解：（1）甲的分数为：94，95，96，95，96，98，97，96，97，96， 从小到大排列为：94，95，95，96，96，96，96，97，97，98， ∴a（分）， 乙的分数为：91，92，95，94，95，97，98，99，99，100， ∴b[（94﹣96）2+（95﹣96）2+（96﹣96）2×4+（95﹣96）2+（98﹣96）2+（97﹣96）2×2]＝1.2（分2）， 故答案为：96；1.2； （2）选择乙同学，理由如下： 因为甲、乙同学的平均数，中位数，而乙的方差比较小，所以选择乙同学参赛； （3）∵分数÷2， ∴方差÷22， ∴甲的方差将变小， 故答案为：变小． 12．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是：92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据频数分布表即可解决问题； ②根据平均数的定义即可判断； （2）根据题意得，根据平均数相同，方差越小，排名越靠前即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意， 共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为               平均数为： ∴， 故答案为：； （2）解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙；． 学科网（北京）股份有限公司 $