第一章三角形的证明及其应用（提高卷） 2025—2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用（提高卷）北师大版2025一2026学年八年级下册 总分：120分时间：90分钟 姓名： 班级： 成绩： 一。 单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 6 8 答案 1.下列命题是假命题的是() A.对顶角相等 B.三角形的内角和是180° C.内错角相等 D.线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 2.若△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点A,与BC相交于点D,且AB=2AD,则 △ABC中必有一个内角的度数为( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 3.如图， AB=AC,∠A=40°，AB 的垂直平分线交1C于点D,连接D,则<D8C MN D 的度数是() A.20° B.30° C.40° D.70° 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC边上，∠B=∠DAE=∠EAC=36°，则 图中等腰三角形共有() D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=108°，AC的垂直平分线交BC于点D,交 AC于点E,连接AD,∠ADB的平分线交AB于点F.若BF=4,则CD的长与∠ADF的 度数分别是() A.4,40° B.3,36° C.4,36° D.3,40° 6.如图，已知△ABC≌△AEF,若∠F=50°，∠B=25°，则∠CAB的度数为() A.100° B.105 C.110° D.115 7.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的平分线交于点D,连接AD,若 ∠BDC=30°，则∠DAC的度数是() E A.30° B.40° C.50° D.60 8.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,点E分别是BC,AC上一点，且DE1AD,若 ∠BAD=55°，∠B=50°，则∠DEC的度数为() E D A.125° B.120° C.115° D.110° 二.填空题（每小题5分，满分20分） 9.如图，BD是等边三角形ABC的高，E是BC延长线上一点，且BD=DE.若CD=2, 则BE的长是 B E C I0.如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E.若 AB=16,则CE的长为 B 1L.如图，在△ABC中，AB=4,∠ABC=30°，∠ABC的平分线交AC于点D,点P, Q 分别在线段BD,AB PA+PO 运动，则 的最小值是 A D B 12.如图，已知△ABC的外角∠1=122°，若△ABC是等腰三角形，则∠A的度数为 D 三.解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程) I3.如图，△ABC,△ADE都是等边三角形，BE与CD相交于点O,AC与BE相交于点 P,AE与CD相交于点Q. (I)求证：BE=CD: (2)求∠BOC的度数. 14.如图，在等腰Rt△ABD中，∠ADB=90°，点F在线段AD上，点C在BD的延长线 上，连接AC,BF,并延长BF交AC于点E,且BF=AC, F B D (I)求证：BE⊥AC: (2)过点F作FG∥BD,交AB于点G,猜想线段GF、DC、BD满足的数量关系，并证 明； (3)若E为AC中点，求AF:DF的值. l5.如图，已知CD是△ABC的角平分线，∠CDE=∠DCE. D B (I)求证：DE∥BC: (2)若CD⊥AB,∠A=28°，求∠CED的度数. 16.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线MN,AM⊥MN于点M, BN⊥MN于点N. M C N M 图1 图2 (I)若MN在△ABC外（如图1），求证：MN=AM+BN: (2)若MN与线段AB相交（如图2），且AM=2.4,BN=0.9,则MN= 17.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点 F在ED上，∠BAF=∠EAD, A D E C (I)求证：△ABC≌△AFD: (2)若BE=FE,请直接写出图中所有与∠CAF互余的角. I8.在△ABC中，D为线段AC上一点，DE⊥AB于点E,连接BD G E ⊙ E 图1 图2 图3 ()如图1，若点E是AB的中点，∠ADB=120°，G是线段DE上一点，连接GA、GC、GB ,且GC=GB,则∠DCG+∠EBG= (2)如图2，连接CE交BD于点F,若DA=DB,且∠BFE=∠BCD,求证： DA=DC+2DF. (3)如图3，连接CE交BD于点F,若CE=BD,且CF⊥BD,∠CBD+2∠ABD=9O°，请 BF 直接写出CD的值， 参考答案 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.D 5.c 6.B 7.D 8.C 二、填空题 9.6 10.4 11.2 12.61°或58°或64° 三、解答题 13.【详解】(1)证明：，△ABC,△ADE都是等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=6O°， ∴.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE, 即∠BAE=∠CAD, :△BME≌aCAD(SAS .BE=CD: (2)解：△BAESACAD, ∴.∠ABE=∠ACD, 又：∠APB=∠OPC、 .180°-∠ABE-∠APB=180°-∠ACD-∠OPC, 即∠BOC=∠BAC=60° 14.【详解】(1)证明：：等腰Rt△ABD中，∠ADB=90°， .AD=BD,∠ADC=∠BDF=90°， 在RtAADC和Rt△BDF中， [AC=BF AD=BD, :Rt△ADC≌RtBDF(HL) ∴.∠DAC=∠DBF :∠DBF+∠BFD=90°，∠BFD=∠AFE, .∠DAC+∠AFE=90° .∠AEF=180°-90°=90°， .BE⊥AC: (2)解：GF=BD-CD,证明如下： 如图，：FG∥BD, ∴.∠AGF=∠ABD=45°，∠AFG=∠ADB=90°， ∴.△AFG是等腰直角三角形， .GF=AF, Rt△ADC≌Rt△BDF」 ∴.CD=DF, .GF AF=AD-DF=BD-CD 即GF=BD-CD； (3)解：连接CF, .CD=DF,∠CDF=90°， ∴.△CDF是等腰直角三角形， CF-DE :E为AC中点，BE⊥AC, ∴BE垂直平分AC, .CF=AF, .AF=DF AF:DF= 15.【详解】(1)证明：：CD是△ABC的角平分线， ∴.∠BCD=∠ECD .∠CDE=∠DCE, ∴.∠EDC=∠BCD. .DE∥BC: (2)解：CD⊥AB, .∠ADC=90°， .∠A=28°， .∠ACD=62°， ∴.∠EDC=∠ACD=62° ∴.∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=56° 16.【详解】(1)证明：，AM⊥MN,BW⊥MN, ∴.∠AMC=∠CNB=90° :∠ACB=90°， .∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°， .∠MAC=∠NCB, 在△AMC和aCNB中， ∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB :△AMC≌△CNB(AAS ∴.AM=CN,MC=NB. MN=NC+CM .MN AM+BN (2)解：AM⊥MN,BN⊥MN, ∴.∠AMC=∠CNB=90°， ∴.∠MAC+∠ACM=90°， .∠ACB=90°， .∴.∠ACM+∠NCB=90°， ∴.∠MAC=∠NCB, 在△ACM和△CBV中， [∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB :△MCM≌CBN(AAS .AM=CN=2.4,CM=BN=0.9. ∴.MN=CN-CM=2.4-0.9=1.5. 17.【详解】(1)证明：∠BAF=∠EAD, ∴.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF, ∴.∠BAC=∠FAD 在△ABC和△AFD中， [∠BAC=∠FAD AC=AD ∠ACB=∠ADF' :.△1BC2aAFD(ASA) (2)解：，△ABC≌△AFD, .AB=AF,∠DAF=∠BAC, .BE=FE, .AC⊥BF, ∴.∠CAF+∠AFE=90°」 .AB=AF, .∠AFE=∠ABE,，∠BAC=∠CAF, .∠CAF+∠ABE=90°，∠BAC=∠CAF=∠DAF, 延长AF交CD于点G, A B F G C AC=AD,∠DAF=∠CAF, .AG⊥CD .∠CAF+∠ACD=90°，∠DAF+∠ADC=90° .∠CAF+∠ADC=90°， .所有与∠CAF互余的角有∠ABE,∠AFE,∠ACD,∠ADC. I8.【详解】(1)解：点E是AB的中点，DE⊥AB, .DE是AB的中垂线， 4D-DB.AG-GB :∠ADB=1209,AD=DB .∠DAB=∠DBA=30°， .GC=GB. ..AG=GB=GC :∠Gc=∠GCD,∠D8E=∠G4B ∴.∠DCG+∠EBG=∠GAC+∠GAB=∠DAB=30°： (2)证明：如图2，过点C作CN⊥AB于N,交BD于H,连接EH, O E B 图2 .DA=DB, ∴.∠DAB=∠DBA, :∠BFE=∠BCD=∠CFD,∠CBD+∠DCB+∠CDF=180,∠CDr+∠CFD+∠DCF=180r .∠DCF=∠DBC, ∴∠DCF+∠DAB=∠DBC+∠DBA, ∴.∠CEB=∠CBE, .CB=CE, 又，CN⊥AB .EN=NB, ∴.CN是BE的中垂线， .EH=BH, .∠HEB=∠HBE, .∠HEB=∠A, .H∥AC, ∠DCH=∠ADE,∠ADE=∠DEH ∴.∠DCH=∠DEH, DE L AB.CN .DE∥CN .∠EDH=∠CHD DH=DH, :△DCH≌aHED(AAS .CD=EH, ∴.CD=EH=BH, ACEH .∠DCF=∠HEF, .∠CFD=∠EFH, :aDCF≌aHEF(AAS .DF FH, .AD=DB=DF+FH+BH =2DF+DC: (3)解：如图3，过点C作CN⊥AB于N,CM⊥DE,交ED的延长线于M, 4 E B 图3 CF⊥BD,DE⊥AB ∴.∠DEF+∠FEB=9O°=∠FEB+∠DBE, ∴.∠DEF=∠DBE, 又：CE=BD,∠M=∠DEB=90°、 :ADEB≌CME(AAS) CM=DE,BE=EM :∠CBD+2∠ABD=90°，即∠CBD+∠ABD+∠ABD=90°， .∠CBN+∠ABD=90°， :∠CBN+∠BCN=90°， .∠BCN=∠ABD. :CN∥ME, .∠DEC=∠ECN, ∴.∠DEC=∠ECN=∠ABD=∠BCN, 又：∠CNB=∠CNE=90°，CW=CN, :.△CNB≌ACNE(ASA) .EN=NB. ∴.BE=2EN=ME, ∴.MD=MC」 设MC=MD=DE=EN=NB=a, CD=VMC2+MD=Va+a=2a DE=a,BE=2a DB=DE2+BE=a+(2a)2=5a, S.wo=IDE BE=1DB-EF, 2 2 Er=215 .BF=BE2-EF2 2a2- 2W5）2 45 4W5 BF 5a 2W10 CD 2a 5