2.重难题型卷(一)特殊三角形-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）陕西专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级下 2.重难题型卷（一） 特殊三角形 丹 图州 题型一构造特殊三角形 些期 1.（中考·2021陕西)如图，AB,BC,CD,DE是四根长度均为5cm 的火柴棒，点A,C,E共线.若AC=6cm,CD⊥BC,则线段 CE的长度为( A.6 cm B.7cm C.6v2 cm 第1题图 D.8 cm 2.（月考·22-23咸阳彩虹学校)如图所示的网格是正方形网格 帕 每个小正方形的边长均为1，则∠PAB+∠PBA= (点 A,B,P是网格线交点) 第2题图 第3题图 3.（月考·23-24西安铁一中)如图，△ABC的面积为9cm2, BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,则△PBC的面积 为 cm2. 4.如图，△ABD是等边三角形，△CBD是等腰三角形，且BC= DC,点E是边AD上的一点，满足CE∥AB,如果AB=8,CE =6,那么BC的长是 加 阳 第4题图 第5题图 5.如图，在△ADC中，AC=DC=3,BD垂直AD于点D,连接 AB,有∠CAD=∠BAD,则AB的长为 6.(期中·22-23西安交大附中)如图，在△ABC中，AB=AC ∠CAB=90°，BC=8,分别以点A,C为圆心，AC长为半 径作弧，两弧交于点D(点D在AC的左侧)，连接CD,AD, BD.求△ABD的面积. 第6题图 题型二手拉手模型 7.(月考·23-24西安八十五中)如图，已知等 边△ABC和等边△BPE,点P在BC的延 长线上，EC的延长线交AP于点M,连接 B BM.下列结论：①AP=CE;②∠PME= 60°；③MB平分∠AME;④AM+MC=BM. 其中正确的有( A.1个 B.2个 第7题图 C.3个 D.4个 8.探究性试题（月考·23-24西安三中）(1)如图①，△ABC与 △ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC,DE分别是底边， 求证：BD=CE (2)如图②，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在 同一直线上，连接BE. 填空：∠AEB的度数为 ;线段BE与AD之间的数量 关系是 (3)拓展探究： 如图③，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB= 一5一 ∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为△DCE中DE 边上的高，连接BE.求∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间 的数量关系，并说明理由， M ① ② ③ 第8题图 爱学子 拒绝盗印 题型三最值问题 9.（月考·22-23西安经开一中)如图，△ABC是等边三角形， AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点， 当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=90°，AC= √2，分别以AC,BC为边，向上和向左作等边三角形ACD和 等边三角形CBE,P,Q分别为CE,CD上的两个动点，连接 DP,EQ,PQ,则PD+PQ+QE的最小值为 11.(期中·22-23宝鸡渭滨区)如图，在△ABC中，AC=BC=6, AD,CD分别平分∠BAC,∠ACB,E为BC上一点，若∠ADC =105°，则CD+DE的最小值为 B E 第11题图 第12题图 12.（期中·22-23西安爱知中学)如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠B=30°，AC=4,D,E是AB边上的两个动点，满 足AD=BE,连接CD,CE,则CD+CE的最小值为 13.（月考·23-24西安滨河学校)如图，在平面直角坐标系中， 直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是线 段AB的中点.若动点C在x轴上，连接BC,以BC为直角边， 点B为直角顶点作等腰直角△BCD,连接DP,则DP长度的 最小值是 y B 第13题图 第14题图 第15题图 14.（月考·23-24西工大附中)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB=30°，BC=4,D为AB边上一动点（不与点A 重合)，△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂 线上任意一点，连接EF,G为EF的中点，连接BG,CG,则 BG+CG的最小值是 15.（模考·2024西工大附中一模)如图，线段AB=6,点C在 AB上，且AC=4.以C为顶点作等边三角形CPQ,连接 AP,BQ.当AP+BQ最小时，△CPQ的边长最小是 16.(月考·24-25西安铁一中)如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=BC=4,O为AC的中点， D,E是BC边上的两个动点（点D在点E的 左侧)，且DE=1,连接AD,OE,则AD+OE D E 的最小值为 第16题图 17.(月考·22-23西安交大附中)如图，∠AOB /A M =60°，点M,N分别为角的两边OA,OB 上的点，OC平分∠AOB,点P为射线OC 上一点，且∠PNB=∠MWO,PM=PN= 4,若射线OC上有一点Q,则NQ的最小 第17题图 值为 题型四动点问题 18.已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB=4,E,F 分别为射线AB,DA上的动点，且∠EOF=120°，若AF=1, 则BE的长为 19.如图，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E,∠ABD= ∠ADB (1)求证：AC垂直平分BD. (2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F,如果AB=AF. ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G,H分别是线段AC,线段CD上的动点，当GH+AH 为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有 怎样的数量关系 第19题图 6 20.（期末·22-23西安高新一中)如图①，在平面直角坐标系中， 点B为坐标原点，AB=4,以AB为边在第一象限作等边三 角形ABC,BC刚好落到x轴上，点P,Q分别是边AB,BC 上的动点，点P从点A、点Q从点B分别沿AB,BC方向同 时出发，且它们的速度都为1个单位长度s (1)连接AQ,CP交于点M,则在P,Q运动的过程中， ∠CMQ的度数会变化吗？ (填“会”或“不会”) (2)当△PBQ是直角三角形时，求点P的坐标， (3)如图②，若点P、点Q分别运动到点B和点C后继续在 射线AB,BC上运动，当BP=)BC时，连接AQ,连接PC 并延长交AQ于点M,求∠CMQ的度数和点P的坐标 y M (B) (B) D ① ② 第20题图 学子 拒绝盗印答案与解析 1=受>5，不符合题意.4Q=3品=沿即4Q的长为器 26.【解】(1)2√5分析：如图①，连接BP,BD,:△4BC是等边 三角形，AE是△ABC的中线，D是AC的中点，∴.AE⊥BC, BD⊥AC,.PC=PB,∴PC+PD=PB+PD≥BD,∴.当点P 在BD上时，PC+PD的值最小.由题知AB=4,AD=AC=2, .BD=√AB2-AD2=2√5，∴.PC+PD的最小值为2√3 W H ③ 第26题答图 (2)如图②，过点A作AE⊥AC,并截取AE=AC,连接CE, BE,过点E作EF⊥BC,交CB的延长线于点F,连接BE, ∴.∠CAE=∠F=90°. ,∠BAD=90°，.∠CAE=∠BAD .'.∠CAE-∠BAC=∠BAD-∠BAC, ∴∠BAE=∠CAD. AB=AD,.△EAB≌△CAD(SAS), ∴.BE=CD=20,∠ABE=∠D .∠ABC+∠D=135°， ,∴.∠ABE+∠ABC=135°， .∠EBF=180°-（∠ABE+∠ABC)=45° 在Rt△BEF中，EFP2+BF2=BE2, F=B歌=要aE=105 .∠CAE=90°，AE=AC=26, ∴.CE=VAE2+AC2=26√2， ∴.CF=VCE2-EF2=V(26W2)}2-10W22=24V2, .BC CF-BF =142 (3)如图③，在BA的延长线上截取AE=BC,过点D作 DF⊥BC交BC的延长线于点F,作DG⊥BE于点G,作 EH∥BD,截取EH=BD,连接AH,DH,设BE和DH交于点 A',作A'W⊥EH于点W, ,∴.∠AEH=∠ABD=∠CBD=30°， .∴△AEH≌△CBD(SAS), .'AH=CD, ∴.CD+AD=AH+AD≥DH, ∴，当H,A,D三点共线时，AH+AD最小，即CD+AD最小，此 时点A在点A'处. :BD平分∠ABC,∴.DF=DG. 由S AABD+S△BCD=S四边形ABCD, 得2ABDG+号BCDF=(MB+BC)DG=1600W5-1200, ∴7×(805-60)DG=1600W5-120, 解得DG=40米.，'∠ABD=30°， .BD=2DG=80米， .EH=BD=80米. 在△A'BD和△A'EH中， ∠BA'D=∠EAH, ∠ABD=∠AN'EH, BD=EH, .△A'BD≌△A'EH(AAS), ∴.AE=AB,A'D=A'H, ·.A'E=2BE=(AB+AE)=(AB+BC)=(805-60)= (40√3-30)米， A'W=3A'B=(205-15)米，Ew=AE2-Am= (60-15√3)米，.HW=EH-EW=(20+15√3)米， .AH=VHW2+A'W2=V(20+15V3)2+(20√3-15)2=50（米）， .DH=2AH=100米， .20×100=2000(元)， ∴.公园购买护栏的最少费用为2000元。 2.重难题型卷（一）特殊三角形 1.D【解析】如图，过点B作 B BM⊥AC于点M,过点D 作DN⊥CE于点N A M N BC⊥CD,BM⊥AC, 第1题答图 ∴.∠MBC+∠BCM=90°， ∠BCM+∠NCD=90°，.∠MBC=∠NCD.又.'BC=CD, ∠BMC=∠CND,∴.△BCM≌△CDN(AAS),∴.CN=BM AB=BC CD DE,.AM=MC=3 cm,CN NE. 在Rt△BMC中，由勾股定理得BM=4cm, .∴.CW=BM=4cm,∴.CE=2CWN=8cm.故选D. 2.45【解析诞长AP到点D,点D为网格线交点，连接BD(图 略)，则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,.PD+ DB2=PB2,∴.∠PDB=90°，.∠DPB=∠PAB+∠PBA=45 故答案为45. 3.4.5【解析J延长AP交BC于点E,如图.，BP平分∠ABC, .∠ABP=∠EBP:AP⊥BP, ∴.∠APB=∠EPB=90°. 在△ABP和△EBP中， 「∠ABP=∠EBP, PB=PB. ∠APB=∠EPB, 第3题答图 ∴.△ABP≌△EBP(ASA), .AP PE,SAABP SAEBP:SAACP=SAECP' ·SAc=7SAc=7×9=45(cm2). 故答案为4.5. 4.2√厅【解析如图，连接AC交BD于点O, ,△ABD是等边三角形，∴.AB=AD= BD=8,∠BAD=60°.BC=DC,∴.AC 垂直平分BD,.∠BAO=∠DAO=30°， BO=OD=4.CE∥AB,∴.∠BAO= B ∠ACE=30°，∠CED=∠BAD=60°， ∴.∠DAO=∠ACE,∴AE=CE=6, C ∴.DE=AD-AE=2.:∠CED=∠ADB= 第4题答图 60°，.△EDF是等边三角形，∴EF=DF=DE=2,∴CF= CE-EF=4,OF=OD-DF=2由勾股定理可得OC=VCF2-OF2 =V42-22=2√3，BC=V0B2+0C2=2W7. 故答案为2√7 5.6【解析】如图，延长AC与BD,相交于点E,:AD⊥BD, .∠ADB=∠ADE=90°， .∠CAD+∠E=90°. 又∠BAD=∠CAD, AD=AD,∴.△BAD≌ △EAD(ASA), .'AB=AE..AC CD=3, D ∴.∠CAD=∠ADC ∠ADC+∠CDE=90, 第5题答图 .∠CDE=∠E,∴.DC=CE=3,∴AB=AE=AC+CE= 3+3=6.故答案为6. 6.【解】如图，过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E, :AB=AC,∠CAB=90°，BC C =8,∴.AB=AC=4V2. 由题意得AC=AD=CD= D 4V2,∴.△ACD是等边三角形， .∠DAC=60°，.∠DAE= 第6题答图 180°-∠DAC-∠CAB=30°， ·DE=)AD=22,·△ABD的面积=)AB·DE=专× 4W2×2W2=8,.△ABD的面积为8. 7.D【解析】①·△ABC和△BPE都是等边三角形，∴.AB= BC,∠ABC=∠PBE=60°，BP=BE.在△APB和△CEB中， AB=BC, ∠ABP=∠CBE,∴.△APB≌△CEB(SAS),.AP=CE,故此 BP=BE, 结论正确 ②△APB≌△CEB,∴.∠APB=∠CEB.:∠MCP=∠BCE, .∠PME=∠PBE=60°，故此结论正确. ③如图，过点B作BN⊥AM于点N,BF⊥MB于点F, △APB2△CEB, [∠BNP=∠BFE, ∴.∠BPN=∠FEB.在△BNP和△BFE中，{∠NPB=∠FEB, PB=EB, .△BWP≌△BFE(AAS),.BN=BF,.MB平分∠AME,故 此结论正确， ④如图，在BM上截取BK=CM,连接 AK.由②知∠PME=60°，∴.∠AMC =120°.由③知MB平分LAME, .∠BMC=∠AMK=60°=∠BAC, K B .∠ACM=∠ABK.在△ABK和△ACM AB=AC, 中， ∠ABK=∠ACM BK=CM, ∴.△ABK≌△ACM(SAS),∴.AK= AM,.△AMK为等边三角形，则AM 第7题答图 =MK,故AM+MC=MK+BK=BM,故此结论正确.正确的有 ①②③④，共4个.故选D. 8.(1)【证明】：∠BAC=∠DAE=40°， .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. AB=AC, 在△BAD和△CAE中，{∠BAD=∠CAE, AD=AE, ,.△BAD2△CAE(SAS),.BD=CE. (2)【解】60°BE=AD 真题圈数学八年级下 分析：，△ACB和△DCE均为等边三角形，.AC=BC,CD =CE,∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°， ∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即LACD=∠BCE. [AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS),BE=AD,∠ADC=∠BEC :点A,D,E在同一直线上，∴.∠ADC=180°-∠CDE= 180°-60°=120°，∴.∠BEC=120°， ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60， (3)【解】∠AEB=90°，AE=BE+2CM理由如下： ,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴.AC=BC,CD= CE,∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°， ∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE. [AC=BC. 在△ACD和△BCE中，{∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC .点A,D,E在同一直线上，.∠ADC=180°-45°=135°， ∴.∠BEC=135°，∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=135°45°=90° ∠DCE=90°，CD=CE,CM⊥DE,∴.△CDM,△CME均 为等腰直角三角形，∴.CM=DM=EM,∴DE=DM4EM= 2CM,.AE AD+DE BE+2CM. 9.60【解析】如图，连接BP,BE,,△ABC是等边三角形，E是 AC的中点，.∠ACB=60°，BE⊥AC, ∴.∠CBE=90°-∠ACB=30°. :AD是BC边上的高，AD垂直 平分BC,PB=PC,.PC+PE= PB+PE.当点B,P,E共线时，PB+PE 的值最小，最小值为BE的长，连接 B CP',此时有∠BCP'=∠CBE=30°，则 第9题答图 ∠CP'E=∠BCP+∠CBE=60°.故答案为60. 10.2√2【解析】如图，连接PA,BQ. 由题意可知CE垂直平分AD,CD垂 直平分EB,.PA=PD,QB=QE, .PD+PQ+QE PA+PQ+QB>AB, 当点P,A,Q,B共线时，取等号. :AC=V2,∠ABC=30°，∠ACB= 90°，.AB=2AC=22, ∴.PD+PQ+QE的最小值为2√2 第10题答图 故答案为22】 11.3【解析】如图，连接BD,在AB上截取BE'=BE,连接DE, :AD,CD分别平分∠BAC, A ∠ACB,LCAD=∠BAC, ∠ACD=)∠ACB. .∠ADC=105°，.∠CAD+ E ∠ACD=75°，∴.∠BAC+∠ACB 第11题答图 =150°，.∠ABC=30°.：AD,CD分别平分∠BAC,∠ACB, .BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD. BD=BD. 在△BDE和△BDE'中 ∠EBD=∠E'BD BE=BE', .△BDE≌△BDE(SAS),∴.DE=DE,∴.CD+DE=CD+DE .当C,D,E三点共线时，CD+DE有最小值，此时CE'LAB, 答案与解析 CE=BC=3,.CD+DE的最小值为3.故答案为3. 12.8【解析】如图，过点B作BF∥AC,且BF=AC,连接CF, EF,.∠CAD=∠FBE.AD= BE,.△ACD≌△BFE(SAS), ∴.CD=FE,故CD+CE=FE+ CE.由图易知，当C,E,F三点共线 时，FE+CE有最小值，且最小值为 第12题答图 CF的长 BF∥AC,∠ACB=90°，.∠FBC=90°.CA=BF,CB =BC,∴.△ACB≌△FBC(SAS),∴.∠FCB=∠ABC=30°. :BF=AC=4,∴CF=2BF=8,即CD+CE的最小值为8. 故答案为8. 13.多【解析】如图，过点B作BM⊥y轴且BM=OB,连接DM, AD,:直线y=x+3与x轴交于点A, y 与y轴交于点B,令y=0,得x=-3, M.- 令x=0,得y=3, D A点坐标为(-3,0)，B点坐标为(0， 3),..OA=OB BM=3. A C x BM⊥y轴，.∠OBM=90°， 第13题答图 ∴.M点坐标为(-3,3) △BCD是等腰直角三角形，.BC=BD,∠CBD=90° ∴.∠CBD=∠OBM=90°， ∴.∠CBD-∠OBD=∠OBM-∠OBD,∴.∠CBO=∠DBM BC=BD. 在△BOC和△BMD中，{∠CBO=∠DBM, OB=MB, .∴.△BOC≌△BMD(SAS),∴.∠BOC=∠BMD=90°，.BM⊥ DM,∴.DM∥OB,∴.M,D,A三点横坐标相同，都为-3， ·M,D,A三点共线，可知四边形OAMB是正方形， .∠BAM=45° :AB=VOB2+OA=3√2，点P是线段AB的中点， AP=号AB=多2 当且仅当PD⊥AM时，线段DP的长度取得最小值，当 DP的长度最小时，△ADP为等腰直角三角形，.DP+ AD=2DP=AP,DP长度的最小值=号AP-3,放DP长度 的最小值为号故答案为号 14.4V7【解析：∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=4, AB=8,AC=AB2-BC2=43 如图，取DE的中点H,连接 HG,AH,易知GH⊥DE. G :△AED为等边三角形， B 、H AH⊥DE,∠DAH=30°， A,H,G三点共线， ∴点G在直线AH上运动. 作点C关于AH的对称点C, 第14题答图 连接CC交AH于点N,连接BC,过点B作BM⊥CC于点M, .BG+CG=BG+CG≥BC,AN垂直平分CC,∴.当B,G,C 三点共线时，BG+CG的值最小.：∠CAB=30°，∴∠CAH= ∠CAD+∠DAH=60,·∠ACN=30°，·AW=)AC=25, .'CN=AC2-AN2=6,.'CC=2CN 12. ∠ACB=90°，∠ACW=30°，∴.∠BCM=60°. :BML CC,·∠CBM=30°，∴.CM=号BC=2,∴.BM= BC2-CM2 23,C'M=CC'-CM 10,.BC ' √BM+CM2=4√7.∴.BG+CG的最小值是4√7.故答案为4√7. 15.2②【解析】以AC为边作等边△ACD,连接DQ,BD,如图 :△ACD和△CPQ都是等边三角形， D .∠ACD=∠PCQ=60°，AC=CD, CP=CQ..'∠ACD+∠DCP= ∠PCQ+∠DCP,.∠ACP=∠DCQ. 在△ACP与△DCQ中， AC=CD, 第15题答图 ∠ACP=∠DCQ, CP=CQ, .△ACP≌△DCQ(SAS),.AP=DQ,.AP+BQ=DQ+BQ, ∴.当D,Q,B三点共线时，DQ+BQ最小，即AP+BQ最小 过点D作DE⊥AB于点E,:AC=4,∠ADE=30°， .AD=4,AE=EC=2,DE=√AD2-AE2=2√3，.BE =AB-AE=4,.BD=VDE2+BE2=2√万. Q在BD上运动，.当CQ⊥BD时，CQ最小，即△CPQ的 边长最小.：SACn=3BC·DE=)BD·CQ, ÷CQ=BC,DE-2x25_2.故答案为2 BD 27 7 7 16.√37【解析在点A右侧取点F,使AF=DE=1,AF∥BC, 连接EF,作点F关于BC的对称点G,FG交BC于点N,连接 EG,OG,如图①， 由对称可得EF=EG,FG⊥BC,易证△ABD≌△FNE, ∴.AD=FE,AB=FN. ∴.AD+OE=EF+OE=EG+OE≥OG, ∴.当O,E,G三点共线时，AD+OE的值最小 如图②，过点O作OM⊥FG于点M,OP⊥BC于点P,则∠B =∠OMN=∠OPC=∠OPB=90°， ,在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4, .AC=√AB2+BC2=4V2,∠C=LBAC=45°， ∴.∠C=∠POC=45°，∴.OP=PC,.MO∥NP :点0为4C的中点，.0C=)4AC=22 OP2+PC2 OC,.'OP PC 2,..BP BC-PC 2. 由对称可得∠MNP=90°，NF=NG,∴.MO∥NP, .MN=PO=2,AB=FN=NG=4,AF=BN=1,OM =NP=BP-BN=2-1=1, '.GM=MW+NG=2+4=6, ∴.0G=VGM2+0M2=V6+1=√37， .AD+OE的最小值为OG=V37 故答案为√37 M ■ B N: ② 第16题答图 17.2【解析】：OC平分∠AOB,∠AOB=60°，.∠C0B= ∠A0B=30°，过点N作N010C于点Q,如图①所示， ∠OQN=90°，∴NQ=号ON..当ON最小时，NQ最小 过点P作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F, OC平分∠AOB,∴，PE=PF :∠PEM=∠PFN=90°，∴.△PEM与△PFN为直角三角形， PM=PW,.Rt△PEM≌Rt△PFN(HL),∴.ME=NF ·PE=PF,OP=OP,△OPE和△OPF为直角三角形， ∴.Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),∴.OE=OF ①当点M在点E的下面，点N在点F的左侧时，如图②所示， OM=OE-ME,ON OF-NF,.'OM=ON. ,∠AOB=60°，.△OMN为等边三角形， .∴.∠MNO=60°，.∠PNB=∠MNO=60° :0C平分∠A0B,∠PON=∠A0B=30, ∴.∠OPW=∠PWF-∠POW=30°， ∴.∠OPN=∠POW,∴.ON=PN=4. A A N BO ② (ME6 FN 一BO FN)B ③ ④ ⑤ 第17题答图 ②当点M在点E的上面，点N在点F的左侧时，如图③所示， .OM=OE+EM,ON OF-NF,.OM>ON, ∴.在△OMN中，∠ONM>∠OMN .∠ONM+∠OMN=180°-∠MON=120°，∴.∠ONM>60° ,∠PNB=∠ONM,∴.∠PNF>60°. ∠POB=30°，∴.∠OPN=∠PNB-∠POB=∠PNB-30°， ∴.∠OPN>30°，∴.在△PON中，∠OPNW>∠PON, ∴.OW>PW,即OW>4. ③当点N在点F的右侧时，如图④所示， 显然∠PWB>90°>∠MNO,.此种情况不符合题意. ④当点M与点E重合，点N与点F重合时，如图⑤所示， .OE=OF,∴.OM=ON, '.△OMN为等边三角形，.∠MNO=60° PN⊥OB,.∠PWNB=90°， ∴.∠PNB>∠MNO,∴.此种情况不符合题意. 综上，ON的最小值为4，Q=分oN=2,即NQ的最小值 为2. 故答案为2. 18.3或1【解析】当点F在线段DA的延长线上时，如图①，作 OM∥AB交AD于M. :O为等边三角形ABD的边BD的中点， .OB=2,∠D=∠ABD=60°， ∴.△ODM为等边三角形， ∴.OM=MD=2,AM=AD-MD=2,∠OMD=60°， ∴FM=FA+AM=3,∠FMO=∠BOM=120°，OM=OB. :∠E0F=120°， 真题圈数学八年级下 .∠BOE=∠FOM 又，∠EB0=180°-∠ABD=120°=∠FM0, .△OBE≌△OMF(ASA), .'.BE=MF=3. D B E ① ③ 第18题答图 当点F在线段AD上时，如图②， 同理可证明△OMF2△OBE, 则BE=MF=AM-AF=2-1=1. 故答案为3或1 19.(1)【证明】，∠ABD=∠ADB,∠ABC=∠ADC=90°， ∴.AB=AD,∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB, .A在BD的垂直平分上，∠CBD=∠CDB, ∴.CB=CD, C在BD的垂直平分上， ∴.AC垂直平分BD (2)①证明】如图①，设∠F=a, .AB=AF, ∠ABF=∠F=a ,∠BAC是△ABF的外角， ∴.∠BAC=∠F+∠AFB=2a 由(1)AC⊥BD,CB=CD, .∠BCE=∠DCE :BF∥CD, ∴.∠F=∠DCE, .∠F=∠BCE=a ∠ABC=90°， .∠BCE+∠BAC=90°，即a+2a=90°， 则a=30°， .∠DCB=2∠BCE=60° BC=CD, .△BCD是等边三角形」 G H A ① ② 第19题答图 ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH. 理由：延长AD至点A',使DA'=AD,如图② ,CD⊥AD, 答案与解析 .A与A'关于CD成轴对称. 过点A'作A'G⊥AC于点G,交CD于点H,连接AH,如图②， ∴.AH=A'H, ∴.AH+GH=A'H+GH=A'G,此时GH+AH为最小. 由①知∠DCE=30°，即∠GCH-30°. :A'G⊥AC,即GH⊥CG, .在Rt△GCH中，∠GCH=30°， .∴.CH=2GH, ∴，GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH 20.【解1(1)不会 分析：：△ABC是等边三角形， .∴.AB=AC,∠ABQ=∠CAP=60° :BQ=AP,∴.△ABQ≌△CAP(SAS), ∴∠BAQ=∠ACP, .∴.∠CMQ=∠ACM4∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠CAB=60°， ∴∠CMQ的度数不变 (2)分情况讨论： ①如图①，当∠BQP=90时， :∠BPQ=90°-∠PBQ=30°， ∴.BP=2BQ=2AP :AB=4,B即=号B=，B0=， ②如图②，当Bn0=0时，同莲可得P-号P径，2) 综上，满足条件的点P的全标为台支子29 (3)如图③，过点P作PH⊥x轴于点H :BP=号BC=2,∠ABC=∠PBH=60, ·.∠BPH=90°-60=30°，.BH=)BP=1, .PH=VBP2-BH2223, .P(-1,-5). ,AC=AB,∠CAP=∠ABQ,AP=BQ, ∴△ACP≌△BAQ(SAS),∴.∠APC=∠BQA. :∠PCB=∠QCM, .∴.∠CBP=∠CMQ=180°-∠ABC=120° 综上，∠CMQ的度数为120°，点P的坐标为(-1，-V3). y (B) O(B) ① ② H(B) ③ 第20题答图 3.第二章学情调研 题号12345678 答案 CDBADBCB 1.C【解析】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不 等式，所以③④⑤为不等式，共有3个.故选C. 2.D【解析】A.若a<b,则-3a>-3b,故本选项正确，不符合题意； B.若a<b,则a-b<0,故本选项正确，不符合题意；C.若a<b,则 2a<2b,故本选项正确，不符合题意；D.若a<b,不等式a2<b不 一定成立，若a=-2,b=1,则(-2)2>12，故本选项错误，符合 题意.故选D 3.B 4.A 5.D【解析】A.2丈2表示2不小于2，即2大于或等于2，正确， 选项A不符合题意； B.-1≯0表示-1不大于0，即-1小于或等于0，正确，选项B 不符合题意； C.100>>1表示100远大于1，正确，选项C不符合题意； D.-2<<-99表示-2远小于-99，这种表述是错误的，应该是-2 远大于-99，即-2>>-99，选项D符合题意， 故选D. 6.B【解析】已知设有学生x人，则书有(6x+10)本， 由题意得0<6x+10-8(x-1)<4. 故选B 7.C【解析】由条件可知关于x的不等式-x+2>+n的解集是 x<-1.在数轴上表示x<-1的解集，只有选项C符合.故选C 8.B【解析】原不等式组可化简为x<a,当a≤-2时，不等式 x>-2, 组无解，故①正确；当a=1时，不等式组的解集为-2<x<1, 整数解有-1,0，故②错误；当不等式组的解集为-2<x<4时，4 =4,故③错误当不等式组只有两个整数解时，为-1,0，所以 0<a≤1，故④正确.综上，正确的有①④，共2个.故选B. 9.3x-2≤-110.2（或0或1） 11.6【解析】设“■”表示的数为a,由题意得a-2x≥4，解得 x≤a,4,由数轴得到不等式的解集为x≤1，故a,4=1,解 得a=6,则“■”表示的数为6.故答案为6. 12.x<3【解析】：一次函数y=ac+b(k≠0)的图象与x轴交于 点A(3,0),∴.+b>0的解集即为一次函数y=+b(k≠0) 的图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围，·.不等式 c+b>0的解集为x<3.故答案为x<3. 13.22【解析】设他答对了x道题，则他答错的共有(25-1- x)道题，由题意列不等式得4x-2(25-1-x)≥80，整理，得 6≥128，解得x≥64.：x为整数，x的最小值为22，他 3 至少需答对22道题.故答案为22. 14.k≥2【解析)懈不等式组3x-6>2-得2<x≤3. x-1≥4x-10 又关于x的不等式x-k≤1的解集为x≤k+1,且关于x的不 等式组 3x-6>2-五是关于x的不等式x-k≤1的“子集”， x-1≥4x-101 .k+1≥3，.k≥2. 故答案为k≥2. 15.【解】去括号，得2x-2<3x+3-2, 移项，得2x-3x<3-2+2, 合并同类项，得-x<3, 系数化为1，得x>-3. 解集在数轴上表示出来如图. -4-3-2-101 234 第15题答图