重难点9-3 概率与数列结合的综合问题-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点9-3 概率与数列结合的综合问题 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 有关概率、统计与数列知识交汇的考题，能体现“返璞归真，突破定势”的命题理念，是每年高考的必考内容。这几年概率与数列结合的题目，都是以创新的形式出现。 2025年全国二卷，解答题，15分 2024年新课标Ⅱ卷，解答题，15分 近三年来，以能力立意是数学高考命题的指导思想，在知识点交汇处命题，也应该是2026年高考命题中的重点。所以，概率与数列交汇题目，2026也要重视，积极备考。 秒杀技巧与性质：数列中的递推技巧 1、叠加法：an+1 − an = f(n) ； 2 、叠乘法 3、构造法（等差，等比）： ①形如an+1 = pan + q (其中p, q 均为常数pq(p − 1) ≠ 0 )的递推公式，an+1 − t = p (an − t) ， 其中 构造 ，即 {an − t} 是以a1 − t 为首项，p 为公比的等比数列． ②形如an+1 = pan + qn (其中p, q 均为常数，pq(q − p) ≠ 0 )，可以在递推公式两边同除以 qn +1 ，转化为bn+1 = mbn + t 型． ③形如 可通过取倒数转化为等差数列求通项． 4、取对数法：an+1 = ant ． 5、裂项相消法 常考题型 数列的通项公式 裂项方法 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 等差数列 型 {an } 是公差为d 的等差数列 {an } 是公差为d 的等差数列 无理型 指数型 对数型 三角型 {tan an . tan an+1} {an } 是公差为d 的等差数列 阶乘型 {n . n !} n . n ! = (n + 1)!− n ! 例1．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 【答案】(1) (2)规则不合理、不公平 (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.35 【知识点】判断数列的增减性、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、数学归纳法 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断； （3）（i）找出数列的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明. 【详解】（1）顺子的牌点组合共12种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应种花色组合，故. 顺金要求花色相同且牌点为顺子，共种，故. 由条件概率公式，. （2）分别计算各牌型的概率： ，， ，， ，. 概率从小到大排序：，与规则的牌型大小顺序不一致： 顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型； 顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型. 因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平. （3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率：， 抽到顺子但非顺金的概率：，抽到非顺子的概率：， 初始1次机会，抽1次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜， 故. 初始2次机会，抽1次后剩余1次机会，递推得： 代入，整理得：，即. （i）用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：时，， 因，，，故. （二）归纳推理：假设对任意，都有，即数列前项严格递增. 对任意，递推公式为：， 因此， 由归纳假设，，，且系数均为正，故. 由数学归纳法，对任意，，即数列严格递增. （ii）令，，不等式转化为证明，. 将代入原递推公式，化简得：，边界条件. 令，求导得：，故在上严格递减， 因此对任意. 下面用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：当时，，成立； （二）归纳推理：假设对任意，. 对，由递推公式和归纳假设：， 只需证明，两边除以得：， 代入，右边化简为， 左边减右边得：（因）， 故不等式成立，即. 由数学归纳法，对任意，即，移项得：，得证. 例2．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【详解】（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 （2）由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： （3）由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 例3．（2026·陕西安康·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）列举第一次操作的所求情况和结果，利用古典概型概率的求法求和. （2）先利用全概率公式探索数列的递推公式，再利用等比数列的定义证明数列是等比数列. 【详解】（1）初始时甲､乙两盒均装有1个白球和1个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有4种等可能情况： 甲取白､乙取白：交换后甲盒白球数为1； 甲取白､乙取黑：交换后甲盒白球数为0； 甲取黑､乙取白：交换后甲盒白球数为2； 甲取黑､乙取黑：交换后甲盒白球数为1. 故. （2）记，则， 由全概率公式得： ① 所以②， ③ 由①和③知，结合初始值， 可得对任意有，代入中， 得：，④ 将④代入②式得： 整理得， 即：，又， 所以数列是公比为的等比数列. 例4．（2026·河南南阳·模拟预测）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）； (2) 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（i）先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第 1 局甲胜或乙胜两种情况，计算每种情况下第 2 局负者轮空、第 3 局再由前一轮轮空者先手获胜的概率，最后将两种情况的概率相加；（ii）先确定第 2 局的参与者为第 1 局胜者与丙，再分第 1 局甲胜或乙胜两种大情况，枚举第 2、3 局的胜负结果，筛选出第 4 局参与者与第 2 局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率相加； （2）确定甲出场次数的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望，最后解不等式 得到的取值范围. 【详解】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉， 若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为， 所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为； （ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙. 第①种情形概率为；第②种情形为. 若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲. 第①种情形概率为；第②种情形为. 所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为 ； （2）设甲在前4局的参与次数为随机变量，则， ， ， ， 所以 由得， 令，则，整理得， 解得，所以，又， 所以的取值范围为. 例5．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式； (3)求的数学期望（用表示）． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】(1)根据独立事件概率乘法公式和全概率公式求结论. (2)具体见详解. (3)对递推式进行变形，构造等比数列求解，具体见详解. 【详解】（1）； ； ； （2）记第次操作后，甲袋黑球数的分布为：，，， 第次操作结果是由第次操作后甲袋黑球数(可能值为、、)决定； 当时(甲黑白，乙黑白)：取和的概率分别为和，取的概率为； 当时(甲黑白，乙黑白)：取，，的概率分别为，，； 当时(甲黑白，乙黑白)，取，的概率分别为和，取的概率为； 用全概率公式可得，； 所以， 所以， （3）由（2）， 所以，又， 所以， 因为随机变量的分布列为 0 1 2 故. 例6．（2026·广东茂名·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； (3)求的数学期望. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）列出所有的取球情况，利用古典概型可得答案； （2）利用全概率公式，建立递推公式，然后利用等比数列的定义可证明； （3）利用期望的计算公式以及第（2）小问得到的，可得答案. 【详解】（1）初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共有 4 种等可能情况： 甲取白、乙取白：交换后甲盒白球数为 1； 甲取白、乙取黑：交换后甲盒白球数为 0； 甲取黑、乙取白：交换后甲盒白球数为 2； 甲取黑、乙取黑：交换后甲盒白球数为 1。 故 （2）记 ，则 ， 由全概率公式得： ， ， ， 所以， ， 由 （1） 和（3）知 ，结合初始值 ， 可得对任意 有 ，代入中， 得：， 将（4） 代入（2）式得： ， 整理得， 即：，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由题意知：的取值为：， 分布列为： 0 1 2 ， 由 (2) 知 ， 因此. 例7．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式计算即可. （2）根据全概率公式列出的表达式，确定是首项为，公比为的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. （3）根据（2）中的结果得到，然后根据错位相减法求出，进而求得结果. 【详解】（1）记“经过次传球后，球在乙手中”，1，2，3，…， 当时，， 当时，． （2）由 ，即， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴， ∴． （3）由（2）知，令． 所以， 从而， 将以上两式相减可得 ， 所以． 所以． 例8．（2025·云南昆明·模拟预测）某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立． (1)若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率； (2)在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分． （ⅰ）若，，，，求； （ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），是 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用对立事件的概率公式求概率、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）由题意得甲要赢得全部积分，必须连赢2局比赛，计算概率即可求解； （2）（ⅰ）设比赛再继续进行X局，甲获胜，分别求得和，进而得出甲赢得全部积分的概率，即可求得； （ⅱ）设比赛再继续进行Y局，甲赢得全部积分，分别求得和，进而得出，由导数求得最大值即可得出判断． 【详解】（1）由题意，若，，且乙先赢了第一局，则甲要赢得全部积分，必须赢得后面2局比赛， 所以甲最终赢得全部积分的概率为． （2）（ⅰ）设比赛再继续进行X局，甲获胜， 当时，甲以获胜，， 当时，甲以获胜，， 所以甲赢得全部积分的概率为，乙赢得全部积分的概率为， 故． （ⅱ）设比赛再继续进行Y局，甲赢得全部积分， 当时，甲以获胜，， 当时，甲以获胜，， 所以， 因此， 当时，， 所以函数在上单调递增，， 所以乙赢得全部积分的概率的最大值为， 故当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率小于5％． 例9．（24-25高二下·云南丽江·期末）一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据题意及相互独立事件的概率公式可求解. （2）先由（1），构造出；再根据等比数列的定义即可证明. （3）玩该游戏获胜即为跳到第99站，先根据（2）中结论及等比数列的通项公式得出；再利用叠加法及等比数列的前项和公式可求解. 【详解】（1）根据题意可知：每次骰子之间是相互独立的； 棋子开始在第0站是必然事件，所以. 棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为； ②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以. 棋子跳到第n（）站，包括两种情形， ①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为； ②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为. 故； （2）由（1）知：，所以. 又因为， 所以（1，2，…，99）是首项为，公比为的等比数列. （3）由（2）得：. 所以 ， 所以玩该游戏获胜的概率为. 例10．（2025高三·全国·专题练习）已知数列共有项，其中有项为0，有项为1．若数列满足对任意中的0的个数不少于1的个数，则称数列为“规范数列”． (1)当时，求“规范数列”的个数； (2)记表示数列是“规范数列”的概率，求的最小值． 【答案】(1)5． (2)． 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、数列新定义 【分析】（1）根据定义列出当时，条件下的所有“规范数列”； （2）结合组合数定义确定有项为0，有2项为1，时 数列的个数，再求其中“规范数列”的个数，结合古典概型概率公式求结论. 【详解】（1）当时，满足要求的“规范数列”有0，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，1；0，0，1，1，0，1；0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1， 所以当时，“规范数列”的个数为5． （2）当时，具有“规范数列”特征的数列的个数为， 当时，由已知数列共有项，其中有项为0，有2项为1， 所以满足条件的数列的个数为， 若数列为“规范数列”，则第一项为0， 若第一项为0，第二项为0时，“规范数列”个数为， 若第一项为0，第二项为1，第三项必然为0，此时“规范数列”个数为， 所以． 故， 因为函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，． 1．（25-26高三上·四川内江·月考）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ）答案见解析 (2)6 【难度】0.4 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）（i）根据甲第一次摸到黄乒乓球，接下来乙在第1次恰好摸到白乒乓球求概率即可；（ii）根据分布列的步骤求解即可； （2）先将黄球分组，再利用插空法即可得出事件总数，进而求出概率即可得解. 【详解】（1）（i）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为. （ii）根据游戏规则，的取值可能为1，2，3，4， ； ； ； ； 所以的分布列为 1 2 3 4 （2）整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上. 所以“黄黄—黄黄—黄黄”有种排法； “黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有种排法，总共种； “黄黄黄黄黄黄”有种排法. 不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况， 所以，即有， 解得或（舍去），所以x的最小值为6. 2．（25-26高三上·湖北·月考）某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； (2)讨论与的大小关系. 【答案】(1)（i）分布列见解析，2；（ii） (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】组合数的计算、利用对立事件的概率公式求概率、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（i）由题可得正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，且符合二项分布，即可求出分布列及期望；（ii）； （2）由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，可正常工作的元件个数为，然后分原系统中至少有个正常工作、恰好有个新增2个元件中至少有1个正常工作、恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作共三种情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以. 所以，， ，. 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为. （ii）. （2）由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 3．（2026·陕西榆林·二模）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】充要条件的证明、计算古典概型问题的概率、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】（1）解法1：令得，当时，两式相减化简得，进而求得，又和也满足，即可得解． 解法2：令得，当时，两式相减化简得，累加可得，又和也满足，即可得解． （2）不妨设，由等差数列的单调性知．然后结合三角数组的定义和等差数列基本量的运算，从充分性和必要性两方面证明即可． （3）证法1：先求得总的基本事件有种，再通过作差法和累加法得，即可证明． 证法2：先求得总的基本事件有种，再结合等差数列求和，按照为奇数和为偶数分类讨论，求出这三项不是三角数组的的所有可能取值个数，利用对立事件概率公式证明对任意都成立． 证法3：将原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数，则这三个数为三角数组的概率．设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”，事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”， 则，易知， ，根据对称性证得，又，故，即可证明. 【详解】（1）解法1：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而， 因此， 所以，当时数列为常数列． 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． 解法2：当时，，解得． 当时，两式相减得， 整理得，因为，所以， 所以，从而，累加可得， 由于，因此，即，且和适合上述关系． 因此数列的通项公式为． （2）证明：不妨设，由（1）知数列为递增数列，因此． 充分性：若为三角数组，则．因为、，所以， 所以， 所以为三角数组． 必要性：若为三角数组，则，即， 所以，所以为三角数组． 故为三角数组的充要条件是为三角数组． （3）证法1：由（2）知，从数列的前项中任意取出不同的三项， 这三项为三角数组等价于从前个正整数中依次取出三个不同的数， 这三个数为三角数组．从中一次任取三个数和， 共有种可能． 记从中一次任取三个数为三角数组的可能数为，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，，故， 由累加法可得：， 故． 证法2：由（2）知为三角数组的充要条件是为三角数组． 从中任意取出不同的三个数，不妨设，共有种方法． 对于定值， 当，时，为三角数组，记满足条件的三角数组的个数为， 当为奇数时，， 故为偶数时，， 当为偶数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 此时 当为奇数时，所有满足条件的三角数组的个数为 ， 所以． 故对任意都成立． 证法3：由（2）可知，原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数， 则这三个数为三角数组的概率． 设事件表示“从前个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”， 事件表示“从前个正整数中取出的三个不同的数中最大数为”， 则， 易知，从而， 下面证明：， 由法2的分析可得满足有个，且， 故，又， 故， 下面用数学归纳法证明：， 当时，，故时命题成立； 设，设成立，则成立， 故时，命题也成立， 故对任意． 4．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)（i），其最大值为；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】错位相减法求和、互斥事件的概率加法公式、递推法求概率、构造法求数列通项 【分析】（1）分析给定信息，将问题转化为两个互斥事件的和，并结合概率的乘法公式计算即得. （2）（i）由给定信息可得，，再利用构造法求出数列通项，按分奇偶求出最大值；（ii）由（i）的结论求出，进而求出，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）第1次传球后必为学员控球，第2次传球后教练控球的概率为，学员控球的概率为， 若第2次传球后教练控球，则第3次传球后必为学员控球，学员控球的概率为1； 若第2次传球后学员控球，则第3次传球后教练控球的概率为， 四人进行了3次传球，教练控球2次的事件是初始控球及只在第2次控球的事件， 与初始控球及只在第3次控球的事件的和，概率为， 所以四人进行了3次传球，教练控球2次的概率为. （2）（i）因规则对学员B, C, D完全对称，且第1次传球后他们控球的概率相等，故之后任意一次传球后他们控球的概率均相等， 可记为，则，又， 因此，即，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 于是，当为正奇数时，， 当为正偶数时，，而数列单调递减，则当时，取最大值， 所以的表达式为，其最大值为. （ii）由（i）得，， 因此，，， 两式相减得， 所以. 5．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）（i）利用正难则反思想计算，利用分类讨论结合正难则反思想计算；（ii）分类讨论结合全概率公式得，利用递推关系作差即可证明. 【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对， 其概率为：； （2）（i）； 当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形， 可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、 连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错； 第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对）， 故； （ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形， 则由题意可如下分类： ①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形， 此时概率为； ③第n题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为， 由全概率公式：①， 因此②， ， 所以当时，，故． 6．（2025·广东·模拟预测）在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化学物质A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到含高浓度A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，反之认为“危险”，传递含低浓度A的信息素；种群乙接收到含高浓度A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度A的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，初始时，第1只昆虫属于种群甲，其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有的概率将信息素传递给同种群的昆虫，的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关． (1)设为第n只昆虫属于种群甲的概率，当时，求； (2)求第n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率； (3)证明：当时，，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应环境，p应该满足的要求及原因． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、其他问题中的概率解释 【分析】（1）分析可得当时，第n只昆虫属于种群甲可能有两种情况：第只是甲且第n只与它同种群，或第只是乙且第n只与它不同种群，则，化简整理，代入数据，即可求得答案. （2）当时，第n只昆虫传递高浓度信号可能有两种情况：第n只昆虫接收高浓度信号且是甲种群，或第n只昆虫接收低浓度信号且是乙种群，则，结合（1）结论，可得，根据等比数列的定义，可证为等比数列，化简整理，可得表达式，代入化简，可得. （3）易有，由，则，根据p的范围，化简整理，推理证明，即可得证. 【详解】（1）由题意可知，当时，由初始条件为第1只昆虫是种群甲，所以． 当时，第n只昆虫属于种群甲可能有两种情况： 第只是甲且第n只与它同种群，或第只是乙且第n只与它不同种群， 也即，得，                当时，，解得， 即当，时，第n只昆虫属于种群甲的概率恒为， 又．故第n只昆虫属于种群甲的概率，则． （2）由题意可知，当时，由初始条件为第1只昆虫是种群甲，其传递高浓度信号，所以． 当时，第n只昆虫传递高浓度信号可能有两种情况： 第n只昆虫接收高浓度信号且是甲种群，或第n只昆虫接收低浓度信号且是乙种群， 则， 即．                 由（1）得：，， 则， 当时，是以为首项，为公比的等比数列， 故，则， 经检验，当时也满足上述递推式， 故， 变形可得， 则，                         代入得， 故， 化简得，                 则 ， 故． （3）易有． 由，则， 因为且，则， 当时，恒成立，且， 则，也即，             又，，则， 故． 综上，．                 若认为p趋近于1越好：保证信息传递的准确性和一致性，以便种群内部能快速对特定环境做出统一反应，可以在两个种群之间形成两个高效但隔离的通信网络，若认为p趋近于越好：说明两个种群之间维持了系统的稳定性，且对错误信息有一定的抵抗能力，以便在复杂多变的环境中不被单一信息源误导．（只需提出一个角度，言之有理即可，认为p趋近于其它值不给分．） 1 学科网（北京）股份有限公司 $重难点9-3 概率与数列结合的综合问题 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 有关概率、统计与数列知识交汇的考题，能体现“返璞归真，突破定势”的命题理念，是每年高考的必考内容。这几年概率与数列结合的题目，都是以创新的形式出现。 2025年全国二卷，解答题，15分 2024年新课标Ⅱ卷，解答题，15分 近三年来，以能力立意是数学高考命题的指导思想，在知识点交汇处命题，也应该是2026年高考命题中的重点。所以，概率与数列交汇题目，2026也要重视，积极备考。 秒杀技巧与性质：数列中的递推技巧 1、叠加法：an+1 − an = f(n) ； 2 、叠乘法 3、构造法（等差，等比）： ①形如an+1 = pan + q (其中p, q 均为常数pq(p − 1) ≠ 0 )的递推公式，an+1 − t = p (an − t) ， 其中 构造 ，即 {an − t} 是以a1 − t 为首项，p 为公比的等比数列． ②形如an+1 = pan + qn (其中p, q 均为常数，pq(q − p) ≠ 0 )，可以在递推公式两边同除以 qn +1 ，转化为bn+1 = mbn + t 型． ③形如 可通过取倒数转化为等差数列求通项． 4、取对数法：an+1 = ant ． 5、裂项相消法 常考题型 数列的通项公式 裂项方法 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 等差数列 型 {an } 是公差为d 的等差数列 {an } 是公差为d 的等差数列 无理型 指数型 对数型 三角型 {tan an . tan an+1} {an } 是公差为d 的等差数列 阶乘型 {n . n !} n . n ! = (n + 1)!− n ! 例1．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： (1)在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； (2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； (3)玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 例2．（2026·江苏·一模）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 例3．（2026·陕西安康·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； 例4．（2026·河南南阳·模拟预测）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 例5．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式； (3)求的数学期望（用表示）． 例6．（2026·广东茂名·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为. (1)求； (2)证明：是等比数列； (3)求的数学期望. 例7．（2026·安徽淮南·一模）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设次传球后球在乙手中的概率为． (1)求； (2)求； (3)求． 例8．（2025·云南昆明·模拟预测）某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立． (1)若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率； (2)在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分． （ⅰ）若，，，，求； （ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％． 例9．（24-25高二下·云南丽江·期末）一个掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳1站；若掷出偶数点，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束．（骰子是一种由均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6） (1)求的值，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示（直接写出结论，不用证明）； (2)证明：为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率． 例10．（2025高三·全国·专题练习）已知数列共有项，其中有项为0，有项为1．若数列满足对任意中的0的个数不少于1的个数，则称数列为“规范数列”． (1)当时，求“规范数列”的个数； (2)记表示数列是“规范数列”的概率，求的最小值． 1．（25-26高三上·四川内江·月考）已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 2．（25-26高三上·湖北·月考）某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； (2)讨论与的大小关系. 3．（2026·陕西榆林·二模）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3，5，7是三角数组，3，5，9不是三角数组．设为数列的前项和，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)从数列中任意取出不同的三项，证明：为三角数组的充要条件是为三角数组； (3)从数列的前项中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率．参考公式：． 4．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 5．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 6．（2025·广东·模拟预测）在生态研究中，观察两种昆虫的信息传递，这两种昆虫的信息素中均含某种特殊化学物质A，A的浓度代表环境是否安全，但种群甲与种群乙的响应恰好相反，种群甲接收到含高浓度A的信息素后，认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，反之认为“危险”，传递含低浓度A的信息素；种群乙接收到含高浓度A的信息素后，认为“危险”，传递含低浓度A的信息素，反之认为“安全”，传递含高浓度A的信息素，初始时，第1只昆虫属于种群甲，其接受到了“安全”的环境信息并开始传递．每只昆虫传递信息时，有的概率将信息素传递给同种群的昆虫，的概率将信息素传递给另一种群的昆虫，每次传递仅传递给一只昆虫，且每只昆虫传递信息的准确性与传递给的对象无关． (1)设为第n只昆虫属于种群甲的概率，当时，求； (2)求第n只昆虫传递含高浓度化学物质的信息素的概率； (3)证明：当时，，并阐述若要使这两种昆虫种群更加适应环境，p应该满足的要求及原因． 1 学科网（北京）股份有限公司 $