精品解析：湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题

湖北曾都一中2026年春高一数学3月月考 时间：2026-3-21 18:30-20:30 范围：人教版必修1、2（1.1—6.3） 一.单选题（5分/8题，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是偶函数且值域为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 5. 已知在方向上的投影数量为2，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 6. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（ ） A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 是共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若，则或 D. 若与反向，则 10. 函数，则关于的下列说法中正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于点中心对称 C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 11 已知函数，则（ ） A. 图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，，则________． 13. 已知函数的定义域为，则m的取值范围是_______. 14. 已知函数的定义域均为，若，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，记. （1）求方程的解集； （2）若函数，求在区间上的最值. 16. 如图，在△ABC中，点E是CD中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 17. 已知函数 的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在 上的值域. （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图象，求函数 在上的单调减区间. 18. “天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 （1）的解析式； （2）甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ （3）游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 19. 已知函数，，与互为反函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间内有最小值，求实数m的取值范围； （3）若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2026年春高一数学3月月考 时间：2026-3-21 18:30-20:30 范围：人教版必修1、2（1.1—6.3） 一.单选题（5分/8题，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：； 解不等式， 因式分解得， 解得，即， 因此. 2. 下列函数中是偶函数且值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性，以及函数值域，即可求解， 【详解】，是偶函数， 值域为，故A错误， ，是奇函数， 值域为，故B错误， ，，是偶函数， 值域为，故C正确， ,，是奇函数， 值域为，故D错误， 故选：C 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 4. ，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 5. 已知在方向上的投影数量为2，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】设与的夹角为， ，． 6. 为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（ ） A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心 【答案】D 【解析】 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合同角三角函数的基本关系可得或，再结合齐次式求解即可. 【详解】由题意得，且， 可得，解得或， 则， 当时，； 当时，. 综上所述，. 故选：A 8. 已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦函数的对称轴可得函数的对称轴为，进而结合题设得到，进而求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 则函数的对称轴为， 当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴， 所以，解得， 则的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 是共线充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若，则或 D. 若与反向，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据向量的共线及模长关系进行判断；B选项，根据向量的共线性质判断；C选项，根据平面向量数乘运算判断；D选项，根据向量的数量积运算律，结合夹角计算判断. 【详解】若，同向共线时，，则不相等， 所以不是共线的充要条件，故A不正确； 若向量为零向量，为非零向量，则，共线时，不存在实数，使得成立，故B不正确； 若，则或，故C正确； 因为是的夹角， 若与反向，则，所以，故D正确． ​​​​​​​故选：CD. 10. 函数，则关于的下列说法中正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 图像关于点中心对称 C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由三角恒等变形化简，再根据正余弦型函数的性质逐项判断即可． 【详解】 ， 函数的最小正周期，故A正确； 当时，，所以函数图象不关于点中心对称，故B错误； 当时，， 当，即时，，故在区间上不单调，故C错误； 为偶函数，故D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量的夹角为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积公式求出答案. 【详解】因为，所以， ． 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，则m的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数定义域与二次函数的性质，结合判别式及一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为的定义域为，所以恒成立， 则，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域均为，若，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】先由题设得到，进而得到，可得是以4为周期的函数，进而求出即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 则，即, 所以，则函数是以4为周期的函数， 而，，则， 所以， 又，所以， 则， 所以. 故答案为：1. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，记. （1）求方程的解集； （2）若函数，求在区间上的最值. 【答案】（1）或； （2）最大值为，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式求出，再解方程即可. （2）由（1）结合二倍角公式、辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出最值即可. 【小问1详解】 依题意，，由，得， 则或，解得或， 所以方程的解集是或. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，当，即时，， 当，即时，， 所以在区间上的最大值为，最小值为0. 16. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用，表示，； （2）利用向量共线充要条件求得的坐标，进而即可求得的值. 【小问1详解】 在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F， 【小问2详解】 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，， 则，， 则 设，则 由，可得，解之得 则，则 17. 已知函数 的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在 上的值域. （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图象，求函数 在上的单调减区间. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，可得，根据三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解； （3）根据三角函数的图象变换，求得，求得函数的单调递减区间，结合，即可求解. 【小问1详解】 根据函数的部分图象，可得， ，所以， 再根据过，可得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 故函数对称中心为. 【小问2详解】 因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值琙为. 【小问3详解】 先将的图象纵坐标缩短到原来的，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象， 即. 令，解得， 可得的减区间为， 结合，可得在上的单调递减区间为. 18. “天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 （1）的解析式； （2）甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ （3）游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式； （2）代入，即可求解． （3）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 由题意可得，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 小问3详解】 甲、乙两人位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度，     点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：， 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 19. 已知函数，，与互为反函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间内有最小值，求实数m的取值范围； （3）若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得； （2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于的不等式组，求解即得； （3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g(x)的单调性和零点及图象，进而得到的图象，将方程有三个不同的实数解，转化为则有两个根，且一个在上，一个根为0；或有两个根，且一个在上，一个在上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a的取值范围． 【小问1详解】 指数函数的反函数为同底数的对数函数，∴. 【小问2详解】 函数在区间内有最小值， ∴在内先减后增，且， ∴，∴． 【小问3详解】 ∵，∴，∴， ∵g(x)在时单调递增，且g=0, ∴的图象如下： 因为有三个不同的实数解， 设，由的图象可得当或时对于一个确定的的值，对应一个的值，对于的每一个确定的的值，对应两个不同的实数根. 则有两个根，且一个在上，一个根为0； 或有两个根，且一个在上，一个在上. ①有两个根，且一个在上，一个根0， ∴一个根为0，解得，此时， 另一根，舍去； ②有两个根，且一个在上，一个在上， 令， （ⅰ）当一个根在上，一个在上， 则∴∴. （ⅱ）当一个根在上，一个根为2，则，解得． 此时的两根为，，满足题意． 综上，a的取值范围为． 【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是有两个根，且一个在上，一个在上的情况，要注意分两种情况讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $