图形中的规律（教学设计）2025-2026学年数学五年级上册北师大版

图形中的规律 教材分析： （1）本节课的主要教学内容是通过平移方法探索图形中的规律，包括三角形、正方形等图形的小棒数量规律，以及数字覆盖中的不同和的个数规律，并运用规律解决实际问题。 （2）本节课主要介绍了平移法在找规律中的应用、图形个数与小棒根数的关系（如摆 n 个连续三角形需 2n+1 根小棒）、数字覆盖中 “框数求和” 的规律（平移次数与不同和的个数关系），以及有序列举、列表思考的解题策略等知识点。 （3）通过学习本节课，学生能够用平移法自主操作、记录数据，发现图形规律并推算结果（如 37 根小棒摆多少三角形、50 人用餐需多少桌子）；能结合规律解决实际问题，体会数学与生活的联系；还能培养主动观察、合作探索的习惯，成为主动发现规律的 “小研究者”。 教学目标： （1）数学眼光：结合摆三角形、正方形等具体图形的情境，用数学的眼光观察图形的排列方式与数量关系，感知图形规律的直观呈现，培养从现实问题中抽象出数学模型的意识。 （2）数学思维：通过动手操作、记录数据、平移观察等过程，运用归纳推理的方法探索图形个数与小棒根数（或覆盖次数）之间的规律，发展逻辑思维和抽象概括能力，能用数学思维解释规律形成的内在逻辑。 （3）数学语言：能用清晰的数学语言（如描述平移次数、列举规律表达式）表达探索图形规律的过程与结果，在小组交流中说明自己的发现思路，提升用数学语言交流和表达规律的能力。 教学重点： （1）经历 “动手操作（摆图形、平移框选）— 记录数据 — 分析关系 — 抽象规律” 的完整探究过程，运用直观想象和逻辑推理，发现图形个数与相关数量（如小棒根数、覆盖和）之间的规律，发展数学抽象与建模能力。 （2）在 “三角形→正方形→桌子坐人” 等真实情境迁移应用规律，通过小组合作解决实际问题，体会数学与生活的联系，培养探究精神、合作意识及应用能力，感受数学学习的价值与乐趣。 教学难点： （1）学生在自主探索图形规律的过程中，难以建立 “操作 — 记录 — 规律发现” 的有序思维链条，尤其是在多步骤活动（如摆图形时无序计数小棒、平移时遗漏覆盖次数、验证规律时方法混乱）中，易因操作无序性导致规律发现中断或错误，无法有效体会 “有序列举” 和 “列表思考” 的策略价值。 （2）从具体图形操作（如三角形、正方形小棒根数与个数关系）到抽象数学规律（如通用公式推导）的转化过程中，学生难以准确提炼 “图形个数与相关量” 的内在联系，且在不同情境（餐桌座位、图形变换）中对规律的迁移应用易出现混淆，无法建立 “规律模型 — 实际问题” 的对应关系，影响数学抽象与模型思想的素养发展。 教学资源准备： （1）多媒体设备（含投影仪、课件等），用于展示小组探究活动要求、图形摆法示例图、习题及相关规律推导过程。 （2）学具材料（小棒若干、三角形卡片、正方形卡片、可移动方框教具），供学生动手摆图形、框数，直观探索图形个数与小棒根数、不同和的个数等规律。 （3）学习记录卡（含图形探究记录表、规律推导表格等），辅助学生自主记录操作数据，梳理规律，完成课堂练习与延伸探索。 教学过程： 【一、游戏导入，激发规律意识】 （师：孩子们，我们先来玩一个 “节奏小侦探” 游戏！请大家竖起耳朵，仔细听老师拍手 ——“啪、啪、啪”，连续拍 3 次，停！（教师示范拍手，全班模仿）现在请你们自己拍 3 次，再拍 3 次，看看能不能重复老师的节奏？（生自由尝试，有的重复 “啪、啪、啪”，有的跟着节奏拍手）） （师：停！刚才老师发现，有同学拍的是 “啪、啪、啪”、“啪、啪、啪”，还有同学拍的是 “啪、啪”、“啪、啪”，为什么不一样呢？（生：老师的节奏是重复的！）（师：没错！重复出现的 “啪、啪、啪” 就是一种 “节奏规律”。生活中这样的规律还有很多，比如日历上每周 7 天重复，楼梯的台阶形状重复，就连我们教室窗户上的玻璃图案也是重复排列的…… 今天，我们就当 “规律小侦探”，一起探索图形中的奥秘 ！） 【二、明确探究方法，铺垫研究基础】 （1）师：我们已经知道，研究规律可以用观察、记录的方法。今天老师给大家介绍一个更厉害的 “小工具”——“平移法”。（教师拿出一张画着小房子的图片，先贴在黑板左边，然后将图片向右移动一格，问：“这是平移吗？”（生：是！小房子的形状没变，位置向右移了！）（师： 对！ 平移就是 “图形不变，位置移动”。接下来我们研究图形规律，就可以用 “平移法”：比如摆三角形时，每次向右平移 1 个，就能发现它的变化规律。 （2）师：现在请大家拿出学习卡一，左边写 “三角形个数 n”，右边写 “小棒根数 m”。任务是：摆连续的三角形，每次用小棒，摆 1 个记录 1 次，看看 “三角形个数” 和 “小棒根数” 之间有什么关系。（课件出示例图：1 个三角形用 3 根小棒，2 个三角形共用 1 条边，所以需要 3+2=5 根小棒；3 个三角形再向右平移 1 个，共用 1 条边，需要 5+2=7 根小棒……） （教师巡视：有的学生用画图法，1 个三角形画 3 根小棒，2 个画 “△△”（共用一条边，所以只画 2 根新小棒），3 个画 “△△△”（再画 2 根）；有的学生直接写算式：n=1，m=3；n=2，m=3+2=5；n=3，m=5+2=7……） （师：谁愿意分享你的发现？（生举手）小明，你来说说！（生：每多 1 个三角形，小棒就多 2 根！）（师：非常好！这就是规律的 “起点”—— 第一个三角形用 3 根，之后每增加 1 个，就比前一个多 2 根。那如果有 n 个三角形，小棒根数 m 怎么表示呢？（生：m=3+2×(n-1)）（师：没错！简化后就是m=2n+1，这就是我们找到的 “规律公式”！） 【三、动手操作，发现 “平移框数” 规律】 （1）师：我们换个角度：如果有一串数字（课件出示：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10），现在用方框每次框出 3 个数，比如 1、2、3，它们的和是 6；再向右平移 1 格，框 2、3、4，和是 9……（停顿）请大家用老师发的数字卡片和方框教具，自己动手试试：“每次平移 1 格，一共能框出多少个不同的和？”（学生分组操作，教师巡视指导：“注意哦，平移时方框不能离开卡片，最后一个框要保证有 3 个数！”） （2）（师：请第三组代表上台展示！）（生上台演示：“我们组先框 1、2、3，和 6；然后框 2、3、4，和 9；接着框 3、4、5，和 12…… 一直框到 8、9、10，和 27。”（师追问：“一共框了几次？得到几个和？”）（生：我们框了 7 次，得到 8 个和！）（另一个学生补充：“因为总共有 10 个数，框 3 个，最后一个起始数是 10-3+1=8，所以有 8 个起始数！”） （3）（师：为什么平移次数是 7 次，得到 8 个和？）（引导学生观察：“如果总数字数是 10，框数是 3，那么不同的和的个数 = 10-3+1=8。”（生点头）（师：对！这就是平移法的关键：“框数固定时，不同结果的数量 = 总数量 - 框数 + 1”。我们再试试框 2 个数，比如 1、2 和是 3，2、3 和是 5…… 总数字 10，框数 2，不同和的个数 = 10-2+1=9，对吗？（生：对！框 1-2，2-3，…9-10，共 9 个！）） 【四、动手操作，发现 “平移摆图形” 规律】 （1）师：我们用平移法研究了数字规律，现在回到图形。刚才我们发现 “三角形个数 n，小棒根数 m=2n+1”，那如果换成长方形呢？（课件出示：1 个长方形需要 4 根小棒，2 个长方形共用 1 条边，需要几根？（生：4+3=7 根！）（师：3 个长方形呢？）（生：7+3=10 根！）（学生在学习卡二上填写：n=1，m=4；n=2，m=7；n=3，m=10……） （2）（师：观察这些算式，“4、7、10”，每增加 1 个长方形，小棒增加几根？）（生：7-4=3，10-7=3，所以每多 1 个长方形，小棒多 3 根！）（师：为什么增加的是 3 根？）（生：因为共用了 1 条边，所以少用 1 根小棒，4-1=3！）（师： 非常棒！那长方形的规律就是 m=3n+1（n=1 时，3×1+1=4；n=2 时，3×2+1=7）。 （3）（师：现在我们有两个规律：三角形 m=2n+1，长方形 m=3n+1，它们有什么共同点？）（生：都是 “每多 1 个图形，小棒增加的数量 = 图形边数 - 1”！三角形 3 条边，增加 2 根；长方形 4 条边，增加 3 根！） 【五、拓展延伸，迁移规律到正方形】 （1）师： 如果是正方形呢？1 个正方形 4 根小棒，2 个正方形共用 1 条边，需要 4+3=7 根；3 个正方形需要 7+3=10 根……（学生填写表格：n=1，m=4；n=2，m=7；n=3，m=10……） （师：正方形的规律是不是 m=3n+1？（生：对！）（师：那如果是五边形呢？）（生：每多 1 个五边形，增加 4 根小棒，所以 m=4n+1！）（师：没错！规律就是：图形边数为 k 时，m=(k-1) n+1！） （2）（师：现在我们用这个规律解决问题：笑笑用小棒摆图形，一共用了 37 根小棒，摆的是三角形，她摆了多少个三角形？）（生独立计算：m=2n+1=37→2n=36→n=18）（师：验证一下，18 个三角形，前 1 个 3 根，后 17 个各 2 根，3+17×2=37，正确！） 【六、解决生活问题，应用规律】 （1）师： 规律不只在图形里，生活中处处有！比如教室里的课桌：1 张桌子坐 6 人，2 张桌子拼在一起坐 10 人，3 张桌子拼在一起坐 14 人……（课件出示人数与桌子数关系表：n=1，m=6；n=2，m=10；n=3，m=14……） （生分组讨论：“每多 1 张桌子，多坐 4 人！”（师追问：“为什么？”）（生：因为拼在一起时，两边各少坐 1 人，所以 6+4=10，10+4=14！）（师： 对！这是 “间隔规律”：n 张桌子坐的人数 m=4n+2（n=1 时，4×1+2=6；n=2 时，4×2+2=10）。 （2）（师：5 张桌子坐几人？）（生：4×5+2=22 人！）（师：如果有 50 人，需要几张桌子？）（生列方程：4n+2=50→4n=48→n=12）（师：我们再用画图验证：12 张桌子，左边 1 张坐 6 人，后面 11 张各坐 4 人，6+11×4=50，正确！） （3）（师：生活中还有哪些规律？比如楼梯台阶：从 1 楼到 2 楼有 18 级台阶，每层台阶数相同，从 1 楼到 5 楼有多少级？）（生：5-1=4 层，18×4=72 级！）（师：这也是 “间隔规律”，和桌子问题一样！） 【七、全课小结，深化策略】 （1）（师：今天我们当 “规律小侦探”，发现了哪些规律？）（生 1： 三角形：n 个用 2n+1 根小棒； 生 2： 长方形：n 个用 3n+1 根小棒； 生 3：桌子拼在一起：n 张坐 4n+2 人……） （师：我们用了什么方法发现规律？）（生：平移法！画图法！列表法！）（师板书 “规律发现三步法”：①观察记录 ：摆一摆、数一数、列一列；②猜想规律：看 “每次增加几”；③验证规律：用新例子验证！） （2）（师：下课前，我们再玩一次 “节奏游戏”！这次老师拍 “啪、啪、啪、啪”，请大家模仿并重复，然后用今天学的规律法，看看 “重复的节奏” 有没有规律？）（生：“啪、啪、啪、啪” 重复，规律是 “每 4 次一拍，每次增加 1 个‘啪’”！）（师：对！生活中的规律就藏在这些重复和变化里，希望大家做生活的 “规律发现者”！） 课后作业： （1）用 1-10 的数字卡片（或在纸上书写 1-10），每次用方框框出 2 个连续的数，平移几次？一共能得到多少个不同的和？请用平移的方法记录过程和结果。 （2）用小棒摆连续的三角形（每相邻两个三角形共用一条边），摆 n 个三角形需要多少根小棒？当小棒总数为 49 根时，能摆多少个三角形？请写出计算过程。 学科网（北京）股份有限公司 $