图形中的规律（教学设计）-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

课题：图形中的规律 提供者： 单位： 教学内容分析 （1）本节课主要内容是从 “图形规律” 入手，用 “平移” 的方法探索规律：通过摆三角形、正方形发现小棒根数与图形个数的关系，解决 “框数和不同和” 的覆盖问题，最终应用规律解决生活实际（如 37 根小棒摆多少三角形、50 人用餐需多少桌子）。 （2）主要知识点包括：①用平移法探索规律的操作方法（如框数时平移次数与不同和的数量关系）；②发现图形规律公式（三角形：3+2 (n-1) 根小棒，正方形：4+3 (n-1) 根小棒）；③掌握覆盖现象规律（每次框 k 个数，平移次数 = 总数 - 框数，不同和的数量 = 总数 - 框数 + 1）；④运用规律解决实际问题（如 “5 张桌子坐几人” 的递推计算）。 （3）通过学习，我们能掌握 “平移→观察→归纳→应用” 的规律探索流程，自主动手摆图形就能快速发现小棒与图形个数的关系；能熟练用规律解决复杂问题（如 37 根小棒反推三角形个数）；更重要的是，学会用 “有序列举”“列表” 等策略，在解决 “桌子坐人” 等生活问题中体会数学实用性，提升观察与概括能力，获得探索成功的成就感。 【以下为教学内容分析】 （1）本节课的主要教学内容是：通过摆三角形、正方形等图形，以及数字覆盖的操作活动，用平移的方法探索图形个数与小棒根数（或不同和）的规律，并用规律解决生活中的实际问题。 （2）本节课主要介绍了：①摆连续三角形时，三角形个数 n 与小棒根数的关系（如摆 1 个用 3 根，2 个用 5 根，规律为 2n+1 根）；②摆连续正方形时，类似的规律（如 3n+1 根）；③数字覆盖中，每次框 3 个数时平移的次数与不同和的个数关系（平移次数 = 总数 - 3，不同和个数 = 总数 - 3+1）；④生活场景中桌子与人数的规律（1 张坐 6 人，2 张坐 10 人，规律为 4n+2 人）。 （3）通过学习本节课，学生能够：在动手操作中理解 “平移法” 找规律的步骤（先确定框出个数，再算平移次数，最后数结果）；通过列表、列举等方法培养有序思考能力；运用规律解决实际问题（如 37 根小棒摆三角形的个数 =（37-1）÷2=18 个）；还能在小组合作中主动探索，发现生活中的规律，提高解决问题的能力和学习数学的信心。 教学目标 （1）数学眼光：通过观察连续三角形、正方形的摆法，能用数学的眼光发现图形个数与相关数量（如小棒根数）之间的规律，感知现实生活中图形排列的数学本质，培养从数学角度观察和抽象数量关系的意识。 （2）数学思维：通过动手操作（摆图形、平移方框），运用平移、有序列举等策略分析数量关系，经历自主探索与合作交流过程，体会解决问题的逻辑思维方法，提升发现和概括规律的推理能力。 （3）数学语言：能用数学语言（如描述规律、解释操作过程）清晰表达图形规律（如 “摆 n 个三角形需要 3+2 (n-1) 根小棒”），并通过列表、公式等方式呈现规律，运用规律解决简单实际问题（如计算 37 根小棒能摆多少个三角形），培养用数学语言准确表达和解释规律的能力。 教学方法 游戏教学法、动手操作法、小组讨论法、自主探究法 教学重点及难点 （1）教学重点：通过平移操作（摆三角形、正方形等图形）探索图形个数与小棒根数（或其他数量）的规律，能结合规律解决简单实际问题（如框数和、摆图形人数），发展逻辑推理与数学应用意识。 （2）教学难点：从具体操作中抽象概括出数量关系的数学表达式（如摆 n 个三角形需 2n+1 根小棒），并用规范语言描述规律，提升数学抽象与表达能力。 二、教学重难点 【以下为教学重难点】 （1）教学重点：通过平移操作探索图形覆盖（如数阵框数）和图形组成（如小棒与三角形 / 正方形个数关系）的规律，掌握用平移法解决规律问题的核心方法。 （2）教学难点 1：从具体操作（摆小棒、平移框数）中抽象出规律的数学表达，建立图形元素数量与图形个数的线性关系（如三角形小棒数 = 3+2 (n-1)）。 （3）教学难点 2：将已发现的规律迁移应用到新情境（如三角形规律迁移到正方形，数阵规律迁移到座位问题），提升数学应用意识与思维灵活性。 教学过程 师生活动设计 二次备课 一、情境导入，激活思维 师：（手持一个会发光的旋转木马模型走进教室）同学们，新年快到了，游乐场新买了一个魔法旋转木马！（模型演示：木马按 “红 - 黄 - 蓝 - 红 - 黄 - 蓝” 的顺序循环旋转）谁能说说木马颜色的排列有什么特点？（停顿观察学生反应） （生 1 举手）生 1：红色、黄色、蓝色，然后又重复红色！ 师：非常敏锐！这就是我们生活中常见的 “循环规律”。（板书：规律）那数学图形里藏着哪些规律呢？今天我们要一起破解《图形中的规律》（板书课题，用彩色粉笔圈出 “规律” 二字）。 师：课前老师准备了神秘小袋，请每组派一位代表抽取里面的学具 —— 有的组抽到了三角形卡片，有的抽到了正方形卡片，还有的抽到了小棒。（分发学具袋）先别急着动手，悄悄思考：如果用这些学具摆图形，你能发现什么数学规律呢？（学生低头沉思，小组间小声交流） 二、新知探究，建立模型 （1）从 “摆三角形” 切入，发现数量关系 师：（从学具袋中取出三角形卡片和小棒）我们先来研究最简单的图形 —— 三角形。请大家拿出第 1 组学具：第 1 个三角形需要几根小棒？（停顿，学生动手摆） （生 2 齐答）生 2：3 根！ 师：（在黑板左侧摆第 1 个三角形）如果我们要摆第 2 个三角形，怎样摆放才能让小棒最少呢？（出示操作提示：“共用 1 根小棒”）请同学们小组合作，用学具摆一摆，数一数一共需要几根小棒？ （学生动手操作，教师巡视指导，发现有学生独立摆放时重复用 3 根小棒） 师：（走到该学生桌前）你摆的第 2 个三角形是不是和第一个分开摆了？（学生点头）如果让它们 “手拉手”（用红色笔连接两个三角形共用的边），看看小棒有没有节省？ （学生恍然大悟，重新摆放后举手）生 3：和第一个共用 1 根小棒，所以只需要再加 2 根，一共 5 根！ 师：（板书表格：三角形个数 1 2 3 4…；小棒根数 3 5 7 9…）观察这个表格，从第 1 个到第 2 个三角形，小棒数增加了多少？第 2 个到第 3 个呢？ （生 4）生 4：3 到 5 增加了 2，5 到 7 也增加了 2！每次都多 2 根！ 师：（竖起大拇指）这就是 “变化规律” 的关键 ——每增加 1 个三角形，小棒数就增加 2 根。那如果用字母 n 表示三角形个数，小棒数可以怎么表示呢？（引导学生思考） （生 5）生 5：第 1 个是 3 根，后面每个加 2，所以小棒数 = 3+2×(n-1)=2n+1！ 师：（板书公式：小棒数 = 2n+1）这个公式就像一把钥匙，能打开所有 “连环三角形” 的规律之门！ （2）从 “摆正方形” 迁移，拓展规律认知 师：（切换学具袋，展示正方形卡片）现在我们试试摆正方形，用同样的方法研究规律。第 1 个正方形需要几根小棒？（学生快速摆好） （生 6）生 6：4 根！ 师：（在黑板右侧摆出第 1 个正方形）第 2 个正方形如何摆放最省小棒？（停顿，出示共用提示：“共用 1 根小棒”） （学生分组操作，很快发现规律）生 7：和三角形一样，第 2 个正方形共用 1 根边，所以需要 4+3=7 根小棒！ 师：（板书表格补充行：正方形个数 1 2 3 4…；小棒根数 4 7 10 13…）观察数据，正方形个数和小棒数的关系是什么？（引导学生对比三角形表格） （生 8）生 8：三角形每次加 2，正方形每次加 3！ 师：（追问）为什么会有这样的差异？（用红色粉笔圈出共用边）因为三角形有 3 条边，正方形有 4 条边，每次共用 1 条边时，增加的小棒数 =边数 - 1！（板书公式：小棒数 =（边数 - 1）×n + 边数） 师：（擦去表格，只留公式框架）现在我们有了通用公式：摆 n 个 n 边形，若每次共用 1 条边，小棒数 =（n-1）×n + n？（引导学生发现：正方形公式可简化为 4n+3？不对，第 1 个是 4 根，第 2 个 7 根，7-4=3，所以应该是小棒数 =3n+1！）（纠正板书：正方形小棒数 = 3n+1） 三、方法迁移，解决问题 （1）“数字框” 游戏：平移法的灵活运用 师：（在黑板上贴出数字卡片：1,2,3,4,5,6,7,8,9）现在我们来玩 “数字捉迷藏”—— 用方框框住 3 个连续数字，每次向右平移 1 格，能得到多少种不同的和？请用学习单上的 “平移法” 步骤完成：①圈出起始位置，②记录每次平移后的和，③观察规律。 （学生分组操作，教师巡视发现：有的学生平移时漏了最后一个框，有的组直接用公式计算） 师：（在投影仪上展示错误案例）这个组平移了 7 次，得到 8 个和，对吗？（学生观察发现错误） 师：（引导全班讨论）如果总共有 9 个数字，每次框 3 个，平移次数 =总个数 - 每次框的个数=9-3=6 次，所以不同的和有几次？（学生恍然大悟） 师：（板书规律）框数规律：不同和的个数 = 总个数 - 每次框的个数 + 1（即 9-3+1=7 个）。这个方法叫 “平移法”，能帮我们快速解决 “覆盖问题”！ （2）“摆桌椅” 实践：规律的生活化应用 师：（出示教室场景图）教室要办新年联欢会，桌椅拼成长条形。（展示实物图：1 张桌子坐 6 人，2 张坐 10 人，3 张坐 14 人）请用学习单上的 “画图法” 或 “列表法” 找 n 张桌子坐多少人。 （学生用学具摆桌椅模型，教师提示：“第一张桌子坐 6 人，之后每加 1 张桌子多坐几人？”） （生 9 举着表格跑上讲台）生 9：1 张 = 6=4×1+2，2 张 = 10=4×2+2，3 张 = 14=4×3+2，所以 n 张 =4n+2人！ 师：（板书公式：4n+2）验证：5 张桌子坐多少人？（生 10）生 10：4×5+2=22 人！ 师：突然提问：50 人需要多少张桌子？（学生列方程：4n+2=50，解得 n=12） 师：（全班验算）12 张：6+11×4=50，正确！（鼓掌） 四、规律进阶，深化理解 师：（出示 “金字塔” 图形：第一层 1 个，第二层 3 个，第三层 5 个，每层小三角形数量依次增加）用小三角形摆金字塔，第 n 层有多少个？（停顿，学生分组讨论） （生 11 发言）生 11：第一层 1=2×1-1，第二层 3=2×2-1，第三层 5=2×3-1，所以第 n 层 =2n-1！ 师：（举起金字塔模型，用透明板覆盖层）这就是 “奇数规律”！（板书：1,3,5,7…=2n-1）同学们发现了吗？我们从摆三角形、正方形，到数字框、桌椅，再到金字塔，所有规律都可以用 “基础数 + 增量 ×(n-1)” 的模型表示！ 五、总结反思，拓展视野 师：（手持本节课所有学具模型）回顾这节课，我们用 “平移法” 找数字规律，用 “画图法” 验证图形规律，用 “公式法” 解决问题。谁能用一句话说：发现规律的步骤是什么？ （生 12）生 12：先操作记录数据，再观察变化，最后用公式或画图表示！ 师：（补充板书：操作→记录→观察→建模）非常棒！规律无处不在 —— 日历星期循环、衣服花纹、呼吸节奏，都藏着数学规律。（投影展示：校服图案、钟表规律）希望大家做生活中的 “规律侦探”！ 师：（布置作业）课后用所学方法研究 “楼梯台阶” 或 “灯笼排列” 的规律，下节课分享！ 课后作业 （1）用小棒摆连续的三角形，摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个连续三角形用 5 根小棒（与前一个三角形共用 1 根小棒），按此规律，若共用了 40 根小棒，一共摆了多少个三角形？请用列表法记录小棒数与三角形个数的关系，并说明计算过程。 （2）将三角形换成正方形，摆连续的正方形（摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个连续正方形用 7 根小棒，与前一个正方形共用 1 根小棒），用平移的方法探索正方形个数与小棒根数的规律，完成表格并总结两者（三角形、正方形）规律的共同点与差异。 学科网（北京）股份有限公司 $