精品解析：辽宁省庄河市2021-2022学年八年级下学期期末学业质量检测数学试题

庄河市2021-2022学年度第二学期 八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每题3分共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或7 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 4. 直线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射为了弘扬航天精神，激发初中生的爱国热情，某校开展航天知识竞赛，来自不同年级打30名参赛同学的得分情况如下表所示： 成绩（分） 84 88 92 96 100 人数 2 4 9 10 5 请问这30名参赛同学成绩的众数是（ ） A. 88 B. 92 C. 96 D. 100 6. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=12，菱形ABCD的面积为96，则AB长为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 10 8. 一次函数y＝2x﹣5的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b<1的解集是（ ） A. x>0 B. x<0 C. x>1 D. x<1 10. 如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点，则点C的坐标为（ ） A. （-1，2） B. （-1，3） C. （-2，3） D. （1，-3） 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：＝_____． 12. “双减政策”实施后，学习委员为了解班级学生周末做作业的时间，随机抽查了本班8名学生完成作业所需时间情况分别为：75，60，90，70，70，80，58，55（单位：分钟），则这组数据的中位数是________． 13. 已知函数是正比例函数，则a的值为________． 14. 一架云梯长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了__________米． 15. 如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程（米）与时间（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行______米． 16. 如图，在中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E；已知CE=1，，则AC的长为_________． 三．解答题（共4小题，17，18，19，各9分，20题12分，共39分） 17. 计算：． 18. 已知一次函数的图象经过点（4，-9）和点（6，3），求这个函数的解析式． 19. 如图：在平行四边形中，点E、F是对角线BD上的两点，顺次连接A、E、C、F，．求证：BF=DE． 20. 疫情期间，孩子居家学习，考虑孩子们的健康成长，市教育局依据国家五项管理和双减政策，提出了每天锻炼一小时，健康生活一辈子活动口号．为了解九年级学生参加体育锻炼的情况，随机抽查了某校部分九年级学生半个月参加体育锻炼（每天锻炼时间超过1小时）的天数，并用得到的数据绘制了两幅不完整的统计图（如下图），请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）______%，并写出该扇形所对圆心角的度数为______，请补全条形图． （2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？ （3）如果本市共有九年级学生4000人，请你估计半个月来活动时间不少于6天的学生人数大约有多少人？ 四、解答题：（本题共3小题，其中21题9分，22题9分，23题10分，共28分） 21. 如图，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（-4，0），点D的坐标为（-1，4）．正比例函数y=kx的图象恰好经过点C，求k的值． 22. 为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB=2.1米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），测温仪自动显示体温，求人头顶离测温仪的距离AD的值． 23. 如图，在正方形中，点是上的点，于点，于点． （1）猜想、、的关系并证明； （2）若正方形边长为，，求的长(用含的式子表示)． 五、解答题（本题共3小题，24小题11分，25小题、26小题各12分，共35分） 24. A，B两地相距300km，甲由A地出发开车去往B地，乙同时由B地出发沿同一路线骑摩托车去往A地，甲的速度保持不变，乙出发2h后休息，然后按原速度继续行驶．设甲，乙与B地的路程分别为，，乙的行驶时间为，，与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）请求出甲的速度________km/h； （2）求乙休息后继续行驶，与x的函数解析式（CD），并写出自变量x的取值范围； （3）当两车相距90km时，直接写出x的值． 25. 四边形ABCD中，BC//AD，∠A=90°，∠D=60°，AD=6cm，BC=3cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A-D-C-B运动，到点B停止（如图1），设点P的运动时间为t（s），△ABP的面积为． （1）求AB的长； （2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 26. 已知：如图，四边形ABCD中，连接AC，AB=AC，∠BAC+∠ACD=180°，点E是边AD上一点，连接BE交AC于点F，且∠D+2∠AFB=180°． （1）探究∠ABC与∠ACD的数量关系，并证明你的结论； （2）求证：AD=AF+CD； （3）当∠BAC=90°，，时，求BF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庄河市2021-2022学年度第二学期 八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每题3分共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】在实数范围内有意义， 被开方数需满足， 解不等式得， 故选D． 2. 如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 5或7 【答案】C 【解析】 【分析】分4为直角边和4为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当4为直角边时， 由勾股定理得， 解得x=5， 当4为斜边时， 由勾股定理得， 解得x=， 综上，x=5或x=， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出x的值，注意存在两种情况． 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 4. 直线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入即可求出直线与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ， 即直线与轴的交点坐标为． 5. 2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射为了弘扬航天精神，激发初中生的爱国热情，某校开展航天知识竞赛，来自不同年级打30名参赛同学的得分情况如下表所示： 成绩（分） 84 88 92 96 100 人数 2 4 9 10 5 请问这30名参赛同学成绩的众数是（ ） A. 88 B. 92 C. 96 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义即可选择． 【详解】∵这30名参赛同学的成绩中96分的最多，为10名， ∴众数是96． 故选C． 【点睛】本题考查求众数．熟练掌握众数的定义是解题关键． 6. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不可以判定四边形为平行四边形，符合题意； 故选D． 7. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=12，菱形ABCD的面积为96，则AB长为（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用菱形的面积和一条对角线的长求得另一条对角线的长，然后利用勾股定理求得AB的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，菱形ABCD的面积为96， ∴AB=AD，AO=CO=6，BO=DO， =AC•BD=×12×BD=96，AC⊥BD， 解得：BD=16， ∴OB=OD=8， 在Rt△AOB中，AB==10． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是了解菱形的面积计算方法及对角线互相垂直平分的性质． 8. 一次函数y＝2x﹣5的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的解析式得到k＞0，b＜0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限． 【详解】解：∵y=2x-5， ∴k＞0，b＜0， 故直线经过第一、三、四象限． 不经过第二象限． 故选：B． 【点睛】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定． 9. 如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b<1的解集是（ ） A. x>0 B. x<0 C. x>1 D. x<1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用函数图象法即可得． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点，则点C的坐标为（ ） A. （-1，2） B. （-1，3） C. （-2，3） D. （1，-3） 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质得出，由此即可得． 【详解】解：如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】原式 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，即 ，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. “双减政策”实施后，学习委员为了解班级学生周末做作业的时间，随机抽查了本班8名学生完成作业所需时间情况分别为：75，60，90，70，70，80，58，55（单位：分钟），则这组数据的中位数是________． 【答案】70 【解析】 【分析】先把数据由小到大排列，再根据中位数的概念找出中位数． 【详解】解：把数据由小到大排列：55，58，60，70，70，75，80，90，在最中间的两个数是70，70， 则中位数是=70， 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）． 13. 已知函数是正比例函数，则a的值为________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：a=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键． 14. 一架云梯长2.5米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑了0.4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了__________米． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，然后根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=2.5，BC=0.7， ∴AC==2.4； ∵梯子的顶端下滑了0.4米， ∴A′C=2， ∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5，A′C=2， ∴B′C==1.5， ∴BB′=B′C-BC=1.5-0.7=0.8(米)． 故答案为：0.8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 15. 如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程（米）与时间（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行______米． 【答案】80 【解析】 【分析】先分析函数图像得到小明家距儿童公园的距离和从儿童公园步行回家的时间，再根据路程、时间、速度的关系求解即可． 【详解】解：通过读图可知：小明家距儿童公园800米，小明从儿童公园步行回家的时间是（分），所以小明回家的速度是每分钟步行（米）． 16. 如图，在中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E；已知CE=1，，则AC的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本作图得到AE平分∠BAC，过E点作EH⊥AB于H点，如图，根据角平分线的性质得到EH=EC=1，则利用勾股定理可计算出BH=2，接着证明Rt△ACE≌Rt△AHE得到AC=AH，设AC=x，则AB=x+2，然后利用勾股定理得到x的方程，最后解方程即可． 【详解】解：由作法得AE平分∠BAC， 过E点作EH⊥AB于H点，如图， ∵AE平分∠BAC，EC⊥AC，EH⊥AB， ∴EH=EC=1， 在Rt△BEH中，BH==2， 在Rt△ACE和Rt△AHE中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△AHE（HL）， ∴AC=AH， 设AC=x，则AB=x+2， 在Rt△ABC中，， 解得x=， 即AC的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质，勾股定理，二次根式的混合运算． 三．解答题（共4小题，17，18，19，各9分，20题12分，共39分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据平方差公式和完全平方公式对各式进行化简，再合并即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答关键是根据题意合理选择乘法公式化简，再进行合并运算． 18. 已知一次函数的图象经过点（4，-9）和点（6，3），求这个函数的解析式． 【答案】函数的解析式为y=6x-33． 【解析】 【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：设所求函数的解析式为y=kx+b（k≠0）， 依题意得：， 解得， ∴函数的解析式为y=6x-33． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握． 19. 如图：在平行四边形中，点E、F是对角线BD上的两点，顺次连接A、E、C、F，．求证：BF=DE． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形全等的判定证出，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 20. 疫情期间，孩子居家学习，考虑孩子们的健康成长，市教育局依据国家五项管理和双减政策，提出了每天锻炼一小时，健康生活一辈子活动口号．为了解九年级学生参加体育锻炼的情况，随机抽查了某校部分九年级学生半个月参加体育锻炼（每天锻炼时间超过1小时）的天数，并用得到的数据绘制了两幅不完整的统计图（如下图），请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）______%，并写出该扇形所对圆心角的度数为______，请补全条形图． （2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？ （3）如果本市共有九年级学生4000人，请你估计半个月来活动时间不少于6天的学生人数大约有多少人？ 【答案】（1），， （2）众数是天；中位数为天． （3）人 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图各部分百分比之和为，计算的值；再根据圆心角公式百分比求对应圆心角度数；通过天的人数及占比求出总人数，进而算出天的人数补全条形图． （2）根据众数（出现次数最多的数据）和中位数（排序后中间位置的数）的定义，结合条形图数据确定结果． （3）先计算活动时间不少于6天的学生所占百分比，再用总人数乘以该百分比估计全市对应人数． 【小问1详解】 解：， 圆心角：， 总人数：(人) 8天的人数：(人)， 补全条形图如下： 【小问2详解】 解：天的人数最多，为240人，故众数是天； 将数据从小到大排列，第、个数据均为天，故中位数为天． 【小问3详解】 解：不少于6天的百分比：， 估计人数：(人)． 四、解答题：（本题共3小题，其中21题9分，22题9分，23题10分，共28分） 21. 如图，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（-4，0），点D的坐标为（-1，4）．正比例函数y=kx的图象恰好经过点C，求k的值． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，根据点的坐标得到，，，求出，利用勾股定理求出AD=5，证明△DAE≌△CBF（AAS），得到BF=AE=3，CF=DE=4，求出OF=4，得到点C的坐标为（4，4），即可求出k． 【详解】过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵点A坐标为（–4，0），点D的坐标为（–1，4）， ∴，，， ∴. 在中，根据勾股定理，， ∴AD=5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC，ADBC， ∴∠DAB=∠CBF， ∵∠DEA=∠CFB=90°， ∴△DAE≌△CBF（AAS）， ∴BF=AE=3，CF=DE=4， ∴OF=4， ∴点C的坐标为（4，4） 把点C的坐标为（4，4）代入，得， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求直线的解析式，正确掌握各知识点是解题的关键． 22. 为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB=2.1米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），测温仪自动显示体温，求人头顶离测温仪的距离AD的值． 【答案】人头顶离测温仪的距离AD长为1.3米 【解析】 【分析】过点D作，则AE=0.5米，在中，根据勾股定理即可得． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，由题意可知AB⊥BC，DC⊥BC， ∴ ∴四边形DCBE是矩形， ∴BE=CD=1.6（米），DE=BC=1.2（米）， 在中，（米），DE=1.2（米） 根据勾股定理，， ∴AD=1.3（米）， 答：人头顶离测温仪的距离AD长为1.3米. 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 23. 如图，在正方形中，点是上的点，于点，于点． （1）猜想、、的关系并证明； （2）若正方形边长为，，求的长(用含的式子表示)． 【答案】（1），理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）用正方形的边相等和角为直角的性质，通过角的互余关系推导相等角，再证明与全等，结合全等三角形的对应边相等，通过线段的和差关系得出、、的数量关系； （2）在中，先利用含角的直角三角形的性质求出的长度，再通过勾股定理求出的长度，最后结合（1）的数量关系计算的长度． 【小问1详解】 解：猜想，证明如下： 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． 五、解答题（本题共3小题，24小题11分，25小题、26小题各12分，共35分） 24. A，B两地相距300km，甲由A地出发开车去往B地，乙同时由B地出发沿同一路线骑摩托车去往A地，甲的速度保持不变，乙出发2h后休息，然后按原速度继续行驶．设甲，乙与B地的路程分别为，，乙的行驶时间为，，与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）请求出甲的速度________km/h； （2）求乙休息后继续行驶，与x的函数解析式（CD），并写出自变量x的取值范围； （3）当两车相距90km时，直接写出x的值． 【答案】（1）100 （2）； （3）x的值为或 【解析】 【分析】（1）由速度=路程÷时间可得甲的速度100km/h； （2）求出乙的速度75km/h，从而可知乙休息的时间是1小时，得C（3，150），用待定系数法可得； （3）分两种情况：当两车还未相遇时，（300-100x）-75x=90，当两车相遇后，150-（300-100x）=90，解方程即可得答案． 【小问1详解】 解：甲的速度是300÷3=100（km/h）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：乙的速度为150÷2=75（km/h）， ∴乙休息的时间是5-=1（小时）， ∴C（3，150）， 设乙休息后继续行驶，与x的函数解析式为=kx+b， 将C（3，150），D（5，300）代入得： ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当两车还未相遇时，（300-100x）-75x=90， 解得x=， 当两车相遇后，150-（300-100x）=90， 解得x=， 综上所述，当两车相距90km时，x的值是或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，求出函数关系式． 25. 四边形ABCD中，BC//AD，∠A=90°，∠D=60°，AD=6cm，BC=3cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A-D-C-B运动，到点B停止（如图1），设点P的运动时间为t（s），△ABP的面积为． （1）求AB的长； （2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作CE⊥AD于点E，根据矩形的判定得出四边形ABCE是矩形，利用勾股定理及矩形的性质求解即可； （2）分三种情况进行讨论：①当点P在线段AD上时，即时；②当点P在线段CD上时，AD+CD=12,即时；③当点P在线段CB上时，AD+CD+CB=15,即时；结合图形分别求解即可确定函数解析式． 【小问1详解】 解：过点C作CE⊥AD于点E，如图所示： ∴∠CEA=90° ∵BCAD，∠A=90° ∴∠B+∠A=180°，即∠B=90° ∴四边形ABCE是矩形 ∴BC=AE=3cm，AB=CE ∵AD=6cm， ∴DE=3cm ∵∠CED=90°，∠D=60°， ∴∠DCE=30°， ∴CD=6cm 在中，由勾股定理得， ∴ 【小问2详解】 ①当点P在线段AD上时，即时，如图所示， ，由（1）可知 ∴； ②当点P在线段CD上时，AD+CD=12,即时（图3所示）， ，过点P作PG⊥AB于点G，PF⊥AD于点F ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形AFPG是矩形 ∴ ∴； ③当点P在线段CB上时，AD+CD+CB=15,即时（如图4所示）， ， ∴ 综上所述，． 【点睛】题目主要考查矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形及一次函数的应用，理解题意，掌握分类讨论思想是解题关键． 26. 已知：如图，四边形ABCD中，连接AC，AB=AC，∠BAC+∠ACD=180°，点E是边AD上一点，连接BE交AC于点F，且∠D+2∠AFB=180°． （1）探究∠ABC与∠ACD的数量关系，并证明你的结论； （2）求证：AD=AF+CD； （3）当∠BAC=90°，，时，求BF的长． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据AB＝AC得出∠ABC＝∠ACB，根据∠BAC＋∠ACD＝180°，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，得出∠ACD＝∠ABC＋∠ACB，从而证得∠ACD＝2∠ABC； （2）先添加辅助线转移线段，然后证明△BAG≌△ACD，得出BG＝FG＝AD，从而证得结论； （3）先求出AB＝AC＝2，CD＝，利用勾股定理求出AD，进而求出AF，然后利用勾股定理求出BF的长即可． 【小问1详解】 解：；理由如下： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：延长CA到点G，使AG=CD，连接BG，如图所示： ∵∠BAC+∠ACD=180°，∠BAC+∠BAG=180°， ∴∠BAG=∠ACD， ∵AB=AC， ∴△BAG≌△ACD（SAS） ∴∠D=∠G，BG=AD， ∵∠D+2∠AFB=180°， ∴∠G+2∠AFB=180°， ∵∠G+∠AFB+∠FBG=180°， ∴∠GFB=∠GBF， ∴BG=GF=AG+AF， ∴AD=AF+CD． 【小问3详解】 解：延长CA到点G，使AG=CD，连接BG，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理可知：， 即， ∴或（舍去）， 在Rt△ACD中，，，， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，，． 【点睛】本题是四边形综合题，综合考查了全等三角形的证明，勾股定理等知识，延长CA将CD与AF转移到一条线段上是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $