7.2 不等式的基本性质 学案 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

7.2 不等式的基本性质 学案 2025-2026学年 华东师大版数学七年级下册 一、核心素养目标 1. 数感与符号意识：经历不等式基本性质的探索过程，能准确用符号语言表述不等式的三条基本性质，理解不等式与等式性质的共性与差异，提升代数符号的运用能力。 2. 推理能力：能通过具体数值的归纳猜想验证不等式的基本性质，能运用性质对不等式进行合理变形，初步掌握用作差法比较两个代数式大小的逻辑推理方法，发展严谨的演绎推理思维。 3. 运算能力：能熟练运用不等式的基本性质求解简单的一元一次不等式，准确判断变形过程的正误，规避符号变化的常见错误，提升代数运算的准确率。 4. 模型观念：能运用不等式的基本性质解决实际生活中的取值范围判断、方案比较等简单问题，体会不等式作为刻画不等关系数学模型的应用价值。 二、教学重难点及突破策略 1. 教学重点 1. 准确理解不等式的三条基本性质，掌握性质的符号表述与适用条件。 突破策略：设计“数值猜想-归纳验证-对比辨析”三层活动，先让学生用5组不同正负数值代入不等式进行运算，自主归纳性质内容；再将不等式性质与等式性质逐条对比，明确二者的运算规则差异，通过3组即时判断练习强化性质的适用条件。 2. 能正确运用不等式的基本性质对不等式进行变形，求解简单的一元一次不等式。 突破策略：设计“分步变形示范-错误案例辨析-分层实操练习”的训练路径，先板书演示每一步变形的依据，再展示学生常见的3类错误变形案例，让学生自主指出错误原因，最后通过由易到难的习题强化变形的规范性。 2. 教学难点 1. 理解不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向需要改变的本质逻辑。 突破策略：从“正负号的意义”“数轴上点的位置变化”两个维度讲解：一是通过“收入与支出”的生活实例说明负数的相反意义，二是在数轴上标记不等式两边的点，观察乘负数后点的位置反转，直观呈现不等号方向改变的合理性，再搭配5组专项训练强化符号意识。 2. 能准确区分不等式性质与等式性质的适用场景，规避变形时的符号混淆错误。 突破策略：设计“等式与不等式变形对比表格”，让学生自主填写二者的相同点与不同点，尤其是乘除运算的规则差异，再通过10道正误判断题训练，让学生养成“乘除运算先判断系数正负”的做题习惯。 3. 初步运用作差法比较两个代数式的大小，掌握不等关系的逻辑推理方法。 突破策略：从“两个数比较大小的基本规则”引入，讲解作差法的三个步骤：作差、变形、判断差的符号，先示范两个单项式比较大小的案例，再逐步过渡到多项式比较的题型，降低学习坡度。 三、教学准备 学生准备：草稿本、直尺、课前预习教材第24-26页内容；教师准备：学案纸质打印稿、随堂练习纸、数轴示意图打印件。 四、教学过程（总时长：40分钟） 1. 复习导入（5分钟） 教师活动： 1. 提问：上节课我们学习了不等式的概念，大家回忆一下，什么是不等式？常见的不等号有哪几种？请3名学生分别回答。 2. 继续提问：我们之前学过等式的基本性质，大家回忆一下等式的两条基本性质是什么？请学生口述，教师在黑板上写下等式性质的符号表述： ① 若a=b，则a±c=b±c； ② 若a=b，则ac=bc，a/c=b/c（c≠0）。 3. 提出引导问题：等式有这样的运算性质，那不等式是否也有类似的运算性质呢？如果我们在不等式两边同时加、减、乘、除同一个数，不等号的方向会不会发生变化？今天我们就来探究这个问题。 学生活动： 1. 回顾不等式的定义，回答不等号的类型：>、<、≥、≤、≠。 2. 回忆等式的基本性质，准确口述性质内容，补充等式性质中“除数不能为0”的前提条件。 3. 思考教师提出的引导问题，对不等式的变形规则进行初步猜想，部分学生可能会猜想和等式规则完全一致，也有学生可能会提出乘负数可能有变化的疑问。 设计意图：通过回顾旧知建立新旧知识的联结，利用认知冲突激发学生的探究兴趣，为后续性质的对比辨析做好铺垫。 2. 探究新知：不等式的基本性质1（8分钟） 教师活动： 1. 给出探究任务：请大家在草稿本上写下一个简单的不等式，比如3>1，然后在不等式两边同时加上同一个数，比如加2，看看不等号的方向有没有变化？同时减2呢？再换一个不等式，比如-2<3，两边同时加5，同时减5，再观察结果。 2. 请3名学生分享自己的探究过程和结果，板书学生的例子： 例1：3>1，3+2>1+2 → 5>3，成立；3-2>1-2 → 1>-1，成立。 例2：-2<3，-2+5<3+5 → 3<8，成立；-2-5<3-5 → -7<-2，成立。 例3：-4>-6，-4+(-3) > -6+(-3) → -7>-9，成立；-4-(-3) > -6-(-3) → -1>-3，成立。 3. 引导学生归纳规律：通过这些例子，大家能不能总结出不等式两边同时加或减同一个数时，不等号的方向有什么规律？请学生尝试用文字语言表述，教师补充完善，给出性质1的准确表述：不等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 4. 引导学生用符号语言表述性质1：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。同时强调：这里的c可以是正数、负数，也可以是整式，都不影响不等号的方向。 5. 即时练习：给出3道小题，让学生快速填空： ① 若a>b，则a+3 ____ b+3； ② 若x③ 若m+2>n+2，则m ____ n。 请学生回答并说明依据，及时纠正错误认知。 学生活动： 1. 按照教师的要求进行探究，自主选择不等式和运算的数，记录运算结果，观察不等号方向的变化。 2. 分享自己的探究案例，对比不同同学的例子，发现不管加的是正数还是负数，不等号的方向都没有改变。 3. 尝试归纳性质1的内容，用文字和符号两种形式记录性质1，明确性质1的适用条件和结论。 4. 完成即时练习，能够准确说出每道题的变形依据，巩固对性质1的理解。 设计意图：通过自主探究的过程让学生直观感知性质1的规律，从具体例子到抽象规律的归纳符合七年级学生的认知水平，即时练习能快速巩固新知，及时发现学生的认知误区。 3. 探究新知：不等式的基本性质2、3（12分钟） 教师活动： 1. 提出新的探究任务：刚才我们研究了加减运算的规律，接下来我们研究乘除运算的规律。请大家还是用刚才的不等式，先尝试两边同时乘同一个正数，比如乘2，看看不等号的方向有没有变化？再乘一个负数，比如乘-2，看看不等号的方向有没有变化？除法运算和乘法是类似的，大家也可以尝试除以同一个正数和负数，观察结果。 2. 请学生分小组讨论，每组记录至少3组不同的例子，包括正数、负数、零的情况，5分钟后请小组代表分享结果。 3. 板书不同小组的探究结果，重点对比乘正数和乘负数的差异： 例1：3>1，3×2>1×2 → 6>2，成立；3×(-2) > 1×(-2) → -6>-2，不成立，应该是-6<-2。 例2：-2<3，-2×4<3×4 → -8<12，成立；-2×(-4) < 3×(-4) → 8<-12，不成立，应该是8>-12。 例3：6>2，6÷2>2÷2 → 3>1，成立；6÷(-2) > 2÷(-2) → -3>-1，不成立，应该是-3<-1。 例4：-4<-2，-4÷2 < -2÷2 → -2<-1，成立；-4÷(-2) < -2÷(-2) → 2<1，不成立，应该是2>1。 4. 引导学生思考：为什么乘正数的时候不等号方向不变，乘负数的时候方向会变？我们可以结合数轴来理解：比如3和1在数轴上，3在1的右边，同时乘-2之后，3变成-6，1变成-2，-6在-2的左边，所以原来的“>”就变成了“<”，相当于两个点的位置反转了，所以不等号方向要改变。再结合生活例子：如果甲有3元，乙有1元，甲的钱比乙多，如果两人都欠别人2倍的钱，那么甲欠6元，乙欠2元，此时甲的钱反而比乙少了，也能说明这个规律。 5. 引导学生归纳性质2和性质3： 性质2：不等式两边都乘（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言：如果a>b，且c>0，那么ac>bc，a/c > b/c。 性质3：不等式两边都乘（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变。 符号语言：如果a>b，且c<0，那么ac 6. 强调易错点：第一，乘除运算的时候必须先看清楚系数的正负，正数不改变不等号方向，负数要改变方向；第二，不等式两边不能同时乘0，乘0之后不等式就变成等式0=0，不再是不等式了，所以性质2和3中的c都不能为0。 7. 对比等式性质和不等式性质的差异，让学生填写下表： 运算类型 等式 不等式 两边同时加（减）同一个数或整式 等式仍然成立 不等号方向不变 两边同时乘（除）同一个正数 等式仍然成立 不等号方向不变 两边同时乘（除）同一个负数 等式仍然成立 不等号方向必须改变 8. 即时练习：判断下列变形是否正确，错误的请说明原因： ① 若a>b，则ac>bc。（ ） ② 若a>b，则-3a > -3b。（ ） ③ 若ac² > bc²，则a>b。（ ） ④ 若a请学生逐一回答，重点讲解第③和第④题：c²是非负数，ac²>bc²说明c²≠0，所以c²>0，可以两边同时除以c²得到a>b；但第④题中如果c=0，那么ac²=bc²，所以变形错误。 学生活动： 1. 分组完成乘除运算的探究，记录不同情况下的运算结果，发现乘正数和乘负数的规律差异，部分学生可能会忽略乘0的情况，在小组讨论中补充完善。 2. 分享小组的探究结果，观察不同小组的例子，验证规律的普遍性，结合数轴和生活实例理解乘负数时不等号方向改变的本质原因，避免机械记忆。 3. 归纳性质2和性质3的内容，用文字和符号两种形式记录，重点标注性质3中“不等号方向改变”的核心要求，明确乘除运算的前提条件。 4. 填写等式与不等式性质的对比表格，清晰梳理二者的异同点，强化“乘负数变号”的特殊规则。 5. 完成即时练习，能够准确判断变形的正误，尤其是含平方项的变形，明确c²的非负性对不等号的影响，纠正“只要乘平方项就不用变号”的错误认知。 设计意图：通过对比探究让学生自主发现乘除运算的特殊规律，结合数轴和生活实例突破“乘负数变号”的难点，通过对比表格和即时练习强化易错点，帮助学生建立严谨的变形规则意识。 4. 新知应用：性质的基础运用（8分钟） 教师活动： 1. 讲解例题1：根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x① x-7>2； ② 3x<2x-3； ③ -4x>12。 板书示范解题过程，每一步标注变形依据： ① 解：根据性质1，两边都加7，不等号方向不变，得x-7+7>2+7，即x>9。 ② 解：根据性质1，两边都减2x，不等号方向不变，得3x-2x<2x-3-2x，即x<-3。 ③ 解：根据性质3，两边都除以-4，不等号方向改变，得(-4x)/(-4) < 12/(-4)，即x<-3。 强调：第③题一定要注意系数是负数，除以之后不等号方向必须改变，这是最容易出错的地方。 2. 讲解例题2：用作差法比较2x²-3x+5和x²-3x+2的大小。 讲解作差法的步骤：首先将两个代数式相减，然后对差进行化简，最后判断差的正负，根据“若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a板书解题过程： 解：(2x²-3x+5)-(x²-3x+2) = 2x²-3x+5 -x²+3x-2 = x²+3。 因为x²≥0，所以x²+3≥3>0，因此2x²-3x+5 > x²-3x+2。 3. 随堂练习：让学生独立完成以下3道题，完成后同桌互相批改，教师巡视指导，重点关注学生在乘负数时是否忘记变号： ① 把不等式-2x+5 < 3化成“x>a”或“x② 判断：若a bc+1。（填“对”或“错”） ③ 用作差法比较3x²-2x+1和2x²-2x-1的大小。 4. 请3名学生板演自己的解题过程，针对学生出现的错误进行集中讲解，比如第①题中部分学生可能会在两边除以-2时忘记变号，得到x<-1的错误结果，重点强调变形前先判断系数符号的习惯。 学生活动： 1. 跟随教师的讲解记录解题步骤，明确每一步变形的依据，重点关注系数为负数时的变号规则，标注易错点。 2. 学习作差法的步骤，理解作差法比较大小的逻辑，掌握差的正负与两个代数式大小的对应关系。 3. 独立完成随堂练习，同桌互相批改，发现自己的错误并及时订正，板演的学生展示自己的解题过程，其他学生指出板演中的问题。 4. 总结解题的注意事项：不等式变形时，遇到乘除运算，第一步先判断系数的正负，正数不变号，负数必须变号；作差法化简时要注意去括号的符号问题，避免计算错误。 设计意图：通过规范的例题示范让学生掌握解题的标准格式，随堂练习及时检验学习效果，同桌互批能让学生在发现他人错误的同时强化自己的规则意识，巩固新知的同时提升运算能力。 5. 课堂小结与作业布置（7分钟） 教师活动： 1. 引导学生自主总结本节课的核心内容：请大家回忆一下，今天我们学习了不等式的哪三条基本性质？最容易出错的地方是什么？运用性质变形时需要注意什么？请2-3名学生总结，教师补充完善。 2. 强调核心要点：不等式的三条性质中，加减运算和等式完全一致，乘除运算要特别注意系数的正负，乘除正数不变号，乘除负数必须变号，一定不能忽略这个前提条件。作差法比较大小的核心是判断差的正负，要熟练掌握这个基本方法。 3. 布置分层作业： 基础题（全体学生完成）： ① 教材第26页习题7.2第1、2、3题； ② 把下列不等式化成“x>a”或“x 1) x+3>5；2) -3x<9；3) 2x-3 ≤ 5x+6；4) 1/2 x + 4 ≥ 1/3 x -2。 提升题（中等及以上学生完成）： ① 若a② 已知关于x的不等式(2-a)x>3的解集为x<3/(2-a)，求a的取值范围。 拓展题（学有余力的学生完成）： ① 用作差法比较a²-2a+3和-2a+1的大小； ② 有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，如果把这个两位数的个位和十位上的数字对调，得到的新两位数大于原来的两位数，试判断a和b的大小关系。 学生活动： 1. 自主梳理本节课的知识点，口述三条不等式基本性质的内容和适用条件，总结自己容易出错的地方，比如经常忘记乘负数变号，明确后续练习的注意重点。 2. 记录分层作业，明确不同层级的作业要求，根据自己的学习情况完成对应题目，学有余力的学生尝试完成拓展题。 设计意图：通过自主总结帮助学生构建完整的知识体系，分层作业兼顾不同水平学生的学习需求，既保证基础巩固，又给学有余力的学生提供提升空间，符合新课标“面向全体学生，兼顾个体差异”的要求。 五、习题参考答案与解析 1. 随堂练习答案 1. ① 解：-2x+5 < 3，两边减5得-2x < -2，两边除以-2，不等号变向，得x>1。 解析：注意系数-2是负数，除以时必须改变不等号方向，常见错误是得到x<1。 2. ② 对。 解析：因为abc，两边再加1，不等号方向不变，所以ac+1>bc+1。 3. ③ 解：(3x²-2x+1)-(2x²-2x-1)=3x²-2x+1-2x²+2x+1=x²+2。因为x²≥0，所以x²+2≥2>0，因此3x²-2x+1 > 2x²-2x-1。 解析：作差时注意去括号的符号，-(-1)是+1，避免计算错误。 2. 课后作业答案 基础题： 1. 教材第26页习题7.2第1题答案： 1) >；2) >；3) <；4) >。 解析：全部直接运用不等式的三条基本性质即可判断。 2. 教材第26页习题7.2第2题答案： 1) x>4；2) x<-5；3) x>2；4) x<-3。 解析：第2、4题系数为负数，变形时注意改变不等号方向。 3. 教材第26页习题7.2第3题答案： 1) 对，根据性质1，两边减3；2) 错，两边乘-2，不等号应该变向；3) 错，两边除以3是正数，不等号不用变向；4) 对，根据性质3，两边乘-3，不等号变向。 4. ② 小题答案： 1) x>2；2) x>-3；3) x≥-3；4) x≥-36。 解析：第3题移项后得到-3x≤9，两边除以-3，不等号变向得x≥-3；第4题两边同时乘6消去分母，得3x+24≥2x-12，移项得x≥-36。 提升题： 1. ① 1) 因为a b+1，所以a+2 < b+1； 2) 因为a -b； 3) 因为a|b|，1/a和1/b都是负数，分子相同，分母大的反而小，所以1/a > 1/b（也可以用作差法验证：1/a - 1/b = (b-a)/ab，因为a0，ab>0，所以差为正，1/a>1/b）。 2. ② 解：不等式(2-a)x>3的解集为x<3/(2-a)，说明两边除以(2-a)时不等号方向改变了，所以2-a<0，解得a>2。 解析：根据性质3，乘除负数时不等号变向，所以系数2-a是负数，解这个不等式即可得到a的取值范围。 拓展题： 1. ① 解：(a²-2a+3)-(-2a+1)=a²-2a+3+2a-1=a²+2。因为a²≥0，所以a²+2≥2>0，因此a²-2a+3 > -2a+1。 2. ② 解：原来的两位数是10b+a，对调后的新两位数是10a+b，根据题意得10a+b > 10b+a，移项得10a -a > 10b -b，即9a>9b，两边除以9得a>b。 解析：首先正确表示两位数，十位数字乘10加个位数字，然后根据题意列不等式，再运用性质变形得到a和b的大小关系。 六、教学反思 1. 教学亮点 本节课的探究活动设计符合七年级学生的认知水平，通过具体数值的运算归纳性质，避免了机械灌输，学生的参与度较高，大部分学生都能自主总结出三条基本性质。尤其是乘负数变号的难点，结合数轴和生活实例讲解，学生理解比较透彻，从随堂练习的反馈来看，约85%的学生能够正确判断乘除运算的符号变化，基础题的正确率达到90%以上。另外，等式与不等式性质的对比表格设计有效帮助学生梳理了新旧知识的差异，减少了知识混淆的问题，作差法的引入也为后续比较代数式大小奠定了良好的基础。 2. 存在问题 部分基础薄弱的学生对“整式也可以作为加减的对象”理解不到位，在处理3x<2x-3这类两边都有含x项的不等式时，不敢直接减2x，担心x是负数会影响不等号方向，说明对性质1的适用条件理解不够透彻。还有约15%的学生在做乘除运算时，仍然会忘记先判断系数的正负，尤其是系数为负分数时，变号的错误率更高。另外，课堂探究的时间安排稍紧，部分小组没有完成零的运算探究，对“不等式两边不能乘0”的规则理解不够深刻。 3. 改进方向 后续教学中，要增加性质1的专项练习，设计更多含整式加减的变形题目，让学生明确加减运算不管是数还是整式，都不会改变不等号方向，消除学生的顾虑。其次，在课堂上增加“系数正负判断”的专项训练，让学生养成“变形先看系数符号”的做题习惯，比如在每道变形题旁边要求学生先标注系数的正负，再进行变形。另外，调整探究环节的时间分配，给小组探究多留1-2分钟，补充乘0的情况探究，让学生完整理解性质的适用边界，同时在作业中增加对应的判断题，强化对特殊情况的认知。 七、板书设计 7.2 不等式的基本性质 一、等式的基本性质 1. 若a=b，则a±c=b±c 2. 若a=b，则ac=bc，a/c=b/c（c≠0） 二、不等式的基本性质 1. 加减不变号 文字：两边加（减）同一个数/整式，不等号方向不变 符号：若a>b，则a±c>b±c 2. 乘正不变号 文字：两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变 符号：若a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c 3. 乘负必变号 文字：两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变 符号：若a>b，c<0，则ac 注意：不等式两边不能同时乘0 三、例题示范 例1：把-4x>12化成x 学科网（北京）股份有限公司 $