2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷12

2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷12 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（   ） A．该样本数据的相关系数为5.2 B．当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C．该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D．若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 6．若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（    ） A． B． C．存在极值点 D．有且只有一个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 11．设为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在第一象限，过作直线的垂线，垂足分别为，则（） A． B．若，则 C．若，则直线的斜率为 D．的面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为___________. 13．已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 14．如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 4、 解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 16．2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (1)根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； (2)若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 17．如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 18．已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 19．已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C C B D AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】求出交集，利用子集个数公式进行求解. 【详解】，， 故，故的子集个数为. 2．C 【分析】由诱导公式可得，再结合条件利用二倍角公式求结论. 【详解】因为， . 3．C 【分析】根据直线与圆相交以及点到直线的距离公式求斜率即可. 【详解】圆可化为，则圆心，半径， 由题意可知，过点的直线与圆相交， 当直线的斜率不存在时，与圆相切，不符合题意； 故直线的斜率存在，设，即， 则，即，得， 故直线斜率的取值范围是. 故选：C 4．C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 5．B 【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B对；根据回归方程性质可以判断C，D. 【详解】对于A，相关系数取值范围是，故错误； 对于B，回归系数的含义是：当自变量每增加1个单位时，因变量平均增加的量。 这里表示每日自主阅读时间（小时），表示语文成绩（分），所以当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分，故正确； 对于C，回归直线是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误； 对于D，当时，，为预测值，不是确定值，故错误. 6．C 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合计算求解. 【详解】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. 7．B 【分析】利用线段长度关系可求得点的坐标，代入双曲线方程化简整理可求得离心率. 【详解】如下图： 易知，所以，且为的中点， 又，所以，因此可得, 代入双曲线方程可得，整理并化简可得，即， 解得或（舍）； 因为双曲线离心率，所以. 8．D 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 9．AC 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 10．ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 11．ABD 【分析】通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、抛物线定义及代数运算，逐一验证各选项的正确性，即可得出结果. 【详解】设直线的方程为，与抛物线联立：， ，设，， 由韦达定理得，. 因为是到准线的垂足，所以. 向量，. 对于选项A，因为，且， 所以，所以，故A正确. 对于选项B：是到准线的垂足，所以，，. 若，则有 所以， 又因为，代入上式可得：，解得：，则. 因此点坐标为，所以，B正确. 对于选项C： 由得：，即：， 联立：，消可得：则， 所以，即，代入化简可得：即 解得（均舍去），即. 直线过焦点，所以，因此C错误. 对于选项D：，， 所以 由得，又，， 所以，则，所以 将和代入面积公式： 令，则，代入得： 令，解得（舍去），即. 此时，，所以 因此，的面积最小值为，D正确. 故选：ABD 12．90 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 13． 【分析】首先确定是圆的直径，再结合向量的运算，以及向量模的三角形不等式，以及向量的位置关系，求最值. 【详解】由圆的性质可知，时，是圆的直径， 所以， 而， 右边等号成立的条件是和同向，且此时最大，此时， 左边等号成立的条件是和反向，且此时最小，此时， 所以的取值范围是. 14． 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 15．(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组即可由等差数列的通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【详解】（1）设的公差为d，则由题有， 、，所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 16．(1) 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 认为该校学生喜欢军事与性别无关． (2) 0 1 2 3 数学期望． 【分析】（1）完善列联表，计算进行判断； （2）因为的可能取值为0，1，2，3，且，列出分布列求期望. 【详解】（1）由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关． （2）学生答对任意一题的概率为， 的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望． 17．(1) (2) (3)存在， ，理由见解析. 【分析】（1）建系求点坐标，计算直线方向向量与平面法向量夹角的正弦值； （2）分别求两平面法向量，再求它们夹角的余弦值； （3）设出点的坐标，由题意得平面的法向量. 【详解】（1）由题意得两两垂直， 以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，，，，，， 设BE与平面所成角为，， 易得平面的法向量为， 则， BE与平面所成角的正弦值为 （2）设平面FBC与平面的夹角为， 平面FBC的法向量为，，， 则有，令，则， 平面的法向量为，， 则有，令，则， 平面FBC与平面的夹角的余弦值 （3）设，平面的法向量， 若上存在点M，使、E、M、F四点共面，则有， ，， 则有，令，则， ，则，解得，， 故上存在点M，使、E、M、F四点共面，. 18．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2． 【分析】（1）根据点以及焦点坐标，解方程可求得椭圆的方程； （2）（i）法一：设直线的方程为，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由可得直线的斜率； 法二：设直线的方程为，联立椭圆方程可解得，同理可得，化简可知直线的斜率； 法三：由，可设直线为，不同时为0，联立直线与椭圆方程化简得，可得，即直线的斜率为定值． （ii）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知 法一：易知，当时，的面积取最大值2． 法二：由弦长公式可知，又点到直线的距离，所以，当时，的面积取最大值2． 【详解】（1）设椭圆的方程为， 显然， 将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去） 所以椭圆的方程为． （2）（i）法一： 设直线的方程为（由对称性知存在），如下图： 联立得，化简得， 由知，则， 因为，所以，即， 化简得，因为直线不过点，所以， 故． 法二： 设直线的方程为， 联立，得，化简， 得， 由知，即，则， 又，所以， 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 由此可知， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 法三： 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 因为为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，不同时为0， 联立与， 得， 等式两边同时除以，记， 化简得， 由于，所以，说明直线的斜率为定值． （ii）设直线为， 联立与，得， 因为，所以． 由韦达定理知 法一： 过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，即， 化简得． 当且仅当时，的面积取最大值2． 法二： 易知， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，的面积取最大值2． 19．(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由题可得，解出和的解集即可求解. （2）由已知可得存在，使得成立，因为时，，故存在，用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解； （3）令，利用导数分析在上的单调性，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结合的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以，在上单调递增，在上单调递减． （2）由题可知存在，使得成立， ∵时，，故存在，使得． 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故． （3）． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 故，即, 取，则, 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全国1卷新高考数学自编模拟卷12 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（   ） A．该样本数据的相关系数为5.2 B．当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C．该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D．若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 6．若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（    ） A． B． C．存在极值点 D．有且只有一个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 11．设为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，在第一象限，过作直线的垂线，垂足分别为，则（） A． B．若，则 C．若，则直线的斜率为 D．的面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为___________. 13．已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 14．如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 4、 解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 16．2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 (1)根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； (2)若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 17．如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 18．已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． (1)求椭圆的方程． (2)已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 19．已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数a的取值范围； (3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $