第三次学情自测提升卷（考试范围：第11章-二次根式）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册.

2025-2026学年八年级数学下学期学情自测卷 （考试范围：第11章-二次根式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 4．若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和勾股定理，掌握勾股定理和三角形的面积公式是解题的关键．先求出三角形的高，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，中，，， 作于点． 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴的面积为：， 故选：C． 5．下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个要求：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需同时满足两个条件：、被开方数不含分母；、被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 对选项逐一判断： 、被开方数为，含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，是能开得尽方的平方数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，是最简二次根式，符合题意； 、被开方数为，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意． 6．下列各式中，化简后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化为最简二次根式，再判断被开方数即可. 【详解】解：，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数相同，可以合并. 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式乘法、绝对值、二次根式、平方差公式进行运算，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A，，，故A错误； 对于选项B， ，故B正确； 对于选项C，，，故C错误； 对于选项D，由平方差公式可得，， ，故D错误． 8．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 9．已知实数m满足，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再去掉绝对值符号，整理式子后即可得到所求结果． 【详解】∵二次根式有意义， ∴，即． ∴， ∴． ， 移项得， 两边同时平方得， 移项得． 10．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 12．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 13．不等式的解集是_______________． 【答案】 【分析】此题考查了解不等式，分母有理化，首先解不等式，然后根据分母有理化化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，设直角边为未知数，运用勾股定理求出直角边长，再计算三角形的周长． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为， 根据勾股定理可得， ∴， ∴， ∵边长为正数， ∴， ∴该三角形的周长为． 15．已知，，，则的值为 _____． 【答案】1 【分析】先利用完全平方公式求出的值，再结合绝对值的性质得到的值，最后代入所求代数式计算结果． 【详解】解：已知，， 将两式分别平方，根据完全平方公式得： ①；②， ①②得：， 化简得，， ∴， ∵， ∴若，则，整理得，即； 若，则，整理得，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为_____． 【答案】60 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由长方形的长为，面积为，得长方形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】解：∵长方形的长为，面积为， ∴长方形的宽为， ∵，，， ∴， ∴正方形的最大边长为长方形的宽， ∴正方形的最大面积为． 故答案为：60． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再进行合并即可； （2）根据乘除法则进行计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： 当时， 原式 19．已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 20．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2），，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 21．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 22．根据已知条件，求代数式的值 (1)已知x、y为实数，且，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性质可求得x的值，进而求得y的值，再代入即可求得值； （2）先利用二次根式的性质把代数式化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：已知x、y为实数，且， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴x，y都是正数， ∴ ． 23．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 24．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期学情自测卷 （考试范围：第11章-二次根式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若一个三角形的三条边长分别是、、，则此三角形的面积是（   ） A． B．3 C． D．2 5．下列各式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式中，化简后能与合并的是（　　） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．已知实数m满足，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．当时，二次根式的值为_________． 12．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 13．不等式的解集是_______________． 14．等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 15．已知，，，则的值为 _____． 16．已知长方形的长为，面积为，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为_____． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)． (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 20．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 21．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 22．根据已知条件，求代数式的值 (1)已知x、y为实数，且，求的值； (2)已知，求代数式的值． 23．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 24．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $