2026年全国高考压轴密卷 数学试题(5)

2026届全国高考压轴密卷（五） 数学·参考答案 1.B由2-2<1，即x-2<0,解得x<2,所以集合N={xx<2),又集合M={x|x≤4}={x一4≤x≤4)，所 以A∩B={x-4≤x<2),即A∩B=[-4,2).故选B. 2B由}1-2，得+1=0-2D-1+2,-2,所以g=1+i,则=1-i则2的虚部为-1.故 选B. 3.D根据题意，设等比数列a}的公比为g,则8-=1-g=号=3，解得g=-2,故a,十a, a2十aa1+g (-2+4)a1=2a1=2,得a1=1,故S=a1十a2十a3+a4+a5=1+2+2X(-2)2=11.放选D. 4.C根据题意，a⊥(a-b)得a·(a一b)=(1,2)·(1-m,2-3)=1-m-2=0,解得m=-1,则 b=(-1,3),则b在a方向上的投影向量为a·ba g7a二一1X1+2义312)=12).故选C 12+22 1 3a,则双曲线C: 5,B根据题直双曲线C的离心率为30有，看名敌6=V口三号a,则” 2 言-荐=1(a>0,6>0)的渐近线方程为y=士分x=士3x.故选B 6.D根据题意，cosa十sinB=1→cosa=1-sinB,两边平方得(cosa)2=(1-sin3)2①，sina+cosB=0→ sina=-cos月，两边平方得(sine)2=(一c0sB)@,①式十@式化简得sn月=号，故cos6=之 cos asin=子，9=-,sin(a+B)=号，sin(a-0=-1.放选D, 7Bx2+)=R,∴xE[-R,R].“f)的最小正周期为2R,最大值点为（受W6）,相邻的最小值点为 （-尽，-6），代人圆方程，得R=2反，∴T=4区.故选B. 8.A由题意得f(x)的定义域为(0，十∞)，则a>0,b>0,f(a)十a=log2a十a=0.由bf(b)=blog2b=2b+ 4,得1og,b-2-专=1og:冬-合=0，即1og合+合=0.设函数g(2)=1ogx+,易得g()在 4 (0,+∞)上单调递增，因为a>0,音>0，g(a)=g(告)，所以a=合，即ab=4.故f(@)+f(6)=l0ga+ log2b=log2(ab)=2.故选A. 9.AD对于A,若样本数据x1,x2,,xn中的最小的数为x1,最大的数为x。,则极差为x。一工1，则样本数据 2x1-1,2x2-1,…,2xn一1的极差为(2x.-1)-(2x1-1)=2(x,一x1),因为x.一x1>0,所以2(x。-x1)> x.一x1,所以A正确；对于B,若x1,x2,…,xn的众数为x1,则2x1一1,2x2一1，…，2x,一1的众数为2x1一1， 若x1=-1,则2x1一1=2×(-1)一1=一3<-1，所以B错误；对于C,若x1,x2,…,x,的平均数为x,则2x 一1,2x2-1,…,2x.一1的平均数为2x-1,若x=0,则2x-1=-1<0,所以C错误；对于D,若x1,x2,…,x 的方差为2=1[(x1-2+(x2-x)2+…+(z,-z)],而>0，则2红-1,2x2-1,…,2x.-1的方差为 2=1[(2x-1-2x+1)2+(2x2-1-2x+1)2+…+(2x,-1-2x+1)2]=4X1[(x1-x)2+(x,-x)2 打 十…十(xn一x)2]=4s2>2,所以D正确.故选AD. (五)·数学参考答案第1页（共6页） 10.ABDf(x)=(x2-2)e,由f(x)=0,解得x=一√2或x=√2，所以函数f(x)在(-√2W/2)上单调递 减，在(-∞，一√2)和(2，十o∞)上单调递增，所以f(x)有2个极值点，故A正确；若f(x)在（一a,a)上 单调递减，则a的最大值为反，所以B正确，因为0<x<艺，则0<sinx<1,且sinx一sinx= sinx(1-sinx)>0,可得0<sinx<sinx<1,因为函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(sinx)< f(sinx),故C错误；设过原点与y=f(x)的图象相切的切点为(m,(m2一2m)e"),所以切线方程为y e"(m2-2m)=e"(m2-2)(x-m),代入点(0,0)，得0-e"(m2-2m)=e"(m2-2)(0-m),所以m=0 或m=1,所以切线方程为y=一2x或y=一ex,故D正确.故选ABD. 1,ABD对于A:由余弦定理有co0sA-6+Q,所以26cosA=2c.6+-Q=6十c2-Q2=a,故A 2bc 2bc 正确，对于B:由余弦定理得c05A-8十4-乐，由基本不等式有2公-公+≥2次，当且仅当6=(=。 2bc 即A子时等号成立，所以c0sA>=,所以角A的最大值为号，放B正确，对于C:由 =品有dAB+cP器A-器骨+，所以器升-B法CB- sin A sin Bsin C nB8n2-in in C,所以sinA=sin Bsin Ccos A-→a2--beco A=bc.6+a_+g-a,即2a sin(B+C)sin A 2bc 2 =b2+c2-a2→3a2=b2十c2,与题干不符，故C错误，对于D:令b=xc(x>0)代入b2+c2=2a2有a= √②于，由1b-c<a<6+e有6-2+e<d<8+2c+e,得r+1-2红<<+1+2z解得 2 2-5<<2+5,所以9--号2+7=号√(2+)-，由2-5<x<2+5,所 以33-5<<3+5，即的取值范围是(33-5,3√3+5)，放D正确，放选ABD, |as=a1+4d=5, 12.2由题意可得 解得d=2. S5=5a1+10d=5, 13.5因为PA|+|PB|=6>AB=4,所以点P的轨迹是以A(一2,0)，B(2,0)为焦点的椭圆.易知2a =6,2c=4,即a=3,c=2,所以n=a2-c2=32-22=5. 14.9,设圆维P0的底面半径为r,高为A,正四面体0ABC的底面ABC的中心为 O,则点P,0,0三点共线.设正四面体0-ABC棱长为a,则高为a,所以V。- =号5e·a=号。.a=侣0=9，解得a=.放0A=。=1,00 =区，由会2-得A=该圆维的体积V-号A=言2·-号·片令f0 6 片>10则f0=3”-2,当>时f>0:当1<号时)<0 (r-1)2 所以当，=号时，f()有最小值？，这时圆锥的体积有最小值 4元 (五)·数学参考答案第2页（共6页） 15.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, a1+5d=-6, a1=-21, 因为a6=一6，a,=一3，所以 解得 a1+6d=-3, d=3, 所以an=a1+(n-1)d=3n-24. ………2分 1512675 所以S,=(a+a,)n=(3m-45)n 3(n-2) 4 2 2 ……4分 2 因为n∈N',所以当n=7或n=8时S。取得最小值， 且最小值为S,=S。=《3X8一45)X8=84……6分 2 (2)由(1)可得：b1=ag=3,b2=a1=9, 所以等比数列6，》的公比为g名=号三3，所以6，=6·g=3,…………………9分 所以等比数列6}的前n项和工，6二g-3二2-号(3-1). 1-q 1-3 ………13分 16.解：(1)根据题意可得2×2列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男生 90 60 150 …3分 女生 75 75 150 合计 165 135 300 则x2-300×(90×75-60×75)2 ≈3.03<3.841， 150×150×165×135 …………5分 依据依据a=0.05的独立性检验认为喜欢冰雪运动与性别无关。……7分 (2)根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的11人中男生有6人，女生有5人，…9分 所以随机变量X的所有可能取值为0,1,2，………………………………………11分 P(X=0)= C C 所以X的分布列为 X 0 1 2 2 6 3 13分 P 1 所以E(X)=0 品+1×号+2×音-品 ……15分 17.(1)①证明：在△A1AC中，因为AC=1,A1C=√3，∠A1AC=60°， 所以由余弦定理得cos∠AAC=AC十AA-AC,即cos60°=1+AA一3) 2AC·A1A 2×1×A1A 即A1A2-A1A-2=0,解得A1A=2,则AC2十AC2=A1A2,所以AC⊥AC…3分 ②解：因为平面AA1CC⊥平面ABC,且平面AACC∩平面ABC=AC,ACC平面AA1C1C, 所以A1C⊥平面ABC,又因为BCC平面ABC,所以AC⊥BC, 五)·数学参考答案第3页（共6页） 因为AC⊥BC,所以A1C,AC,BC两两垂直，且AC=1,BC=2,A1C=√3， 则三棱锥CAA1B的外接球等价于三棱锥CAA1B补成的一个长方体的外接球， 设三棱锥CAA1B的外接球的半径为R,可得2R=√A1C2十AC2+BC=2V2, 所以R=√2. …7分 (2)解：由(1)知A1C,AC,BC两两垂直， 以C为原点，以CA,CB,CA1所在的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐 B 标系，如图所示，设BC=m,则C(0,0,0),A1(0,0√3)，B(0,m,0),C(一1,0√3)， A 可得CB=(0,m,0),CC=(-1,0,W3),BA1=(0,-m√3)，BB=CC=(-1,0, √3) B m1·Ci=my=0, 设平面BCC1B1的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则 m1.CC=-x1十V3x1=0, 取x1=√3，则y1=0,x1=1,所以m=(W35,0,1), m2·BAi=-my2十√3z2=0, 设平面ABB:的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则 n2·BB1=-x2+√3x2=0, 取z2=m,则x2=√3m,y2=√3，所以n2=(W3m√3，m), 设平面A1BB1与平面BCC1B1所成的角为a, 因为平面ABB,与平面BCC,B,夹角的正弦值为T,即sina=,则cosa=2 7 7 7 则cosa=|cos(m1,m2)1=m·n:=3m十0+m=27 7 解得m=1,则BA=(0,-13),…13分 n1n22X√4m2+3 设直线BA1与平面BCCB,所成的角为0，则sin0=cos(BA,n)|= |BA·m⊥=5=3 1BA||m,2X2 4 所以直线BA:与平面BCCB,所成角的正弦值为图 4 …15分 18.解：(1)由题意：曲线上的点到点F(1,0)的距离与到直线x=一1的距离相等，…1分 所以曲线T为抛物线，且F(1,0)为焦点，x=一1为准线，所以力=2.…2分 所以曲线的方程为y2=4江。……4分 (2)直线MN方程为y=-2(x-1),代人y2=4x, 整理得x2-3x+1=0, 由韦达定理得xM十xN=3, 所以|MN|=xM+xN十p=3+2=5. ……6分 又点0到直线MN:2x+y-2=0的距离为d=-2L=25 …………………………………8分 √22+1严 所以5am=号×5x25-5 ……4…4…………………………………………10分 5 (五)·数学参考答案第4页（共6页） (3)如图：设直线1：y=k(x一1)，代人抛物线y2=4x得：k2(x一1)2=4x, 整理得2x2一(2k2+4)x十2=0， 由韦达定理得x4十xa=22十4 所以1AB1=4十十p=2+4+2=4(1+是 ，…12分 用-专代替k,可得1DE引=4(1十2).…14分 所以AB+DE:=6[(+)广+(1+)] =6[(+)‘+2(e+)门 设2+是=，则≥2，当且仅当=1时取“=”， 则|AB|2+|DE|2=16(t2+2)=16[(t+1)2-1]≥16×(32-1)=128. 即AB2十DE引2的最小值为128.…17分 l9.解：(1)由f(x)=e(sinx十cosx)-a,x∈[0，π]，则f(x)=2 cos x,…1分 当x∈[0，)时，f(x)>0,函数f(x)单调递增， 当x∈(，元]时，f(x)<0,函数f(x)单调递减， 则函数f(x)的最大值为f(受)=e-a,又f(0)=1-a>f(π)=-e-a, 所以函数f(x)的最小值为f(π)=一e一a. (2)由题知g(x)=e'sinx-ax(a>0),x∈[0，π]，g(0)=0,又g'(x)=e(sinx+cosx)一a, 则g(x)=f(x),由(1)知f(x)在[0，乏)上单调递增，在（受，π]上单调递减， 且最大值f(5)=e叠-a,最小值f(r)=-e-a<0,f(0)=1-a, ①当f()=e-a≤0，即a>e时，f(x)<0,即g(x)<0, 此时函数g(x)在[0，π]上单调递减，又g(0)=0, 则函数g(x)在[0，π]上有1个单调区间和1个零点，……5分 ②当f(0)=1-a>0,即0<a<1时，f(5)>0,f(x)<0, 则存在x∈（2，x),使得f(红)=0， 当x∈(0，xo)时，f(x)>0,g'(x)>0,函数g(x)单调递增， 当x∈(x,π)时，f(x)<0,g(x)<0,函数g(x)单调递减， 又g(0)=0,则g(x。)>g(0)=0,又g(x)=-πa<0, 所以g(x)在(x。,π)上也有一个零点， (五)·数学参考答案第5页（共6页） 所以函数g(x)在[0，π]上有2个单调区间和2个零点；…………7分 ③当f(0)=1-a<0,且f(交)=e-a>0,即1<a<e时， 存在x∈(0，受)x,∈（受，π），使得f(x)=f(x2)=0, 当x∈(0，x1)时，f(x)<0,g(x)<0,函数g(x)单调递减， 当x∈(x1,x)时，f(x)>0,g'(x)>0,函数g(x)单调递增， 当x∈(x2,π)时，f(x)<0,g(x)<0,函数g(x)单调递减， 又g0)=0,g(x)=-a<0,此时取a=2e,则g(x1)<g(0)=0,g(x)>g(受）=esin受 2e受=0， 此时函数g(x)在[0，π]上有3个单调区间且有3个零点.…9分 综上所述：①当a≥e登时，函数g(x)有1个单调区间； ②当0<a≤1时，函数g(x)有2个单调区间； ③当1<a<e量时，函数g(x)有3个单调区间： 且函数g(x)的零点个数的最大值为3.…… 10分 (3)证明：由(2)知，当a>e登时，函数g(x)在(0,1]上单调递减， 则g(x)<g(0)=0,即e'sin x<ax,则esin1<a·1 71 则csn1+sin名+e sin号+…+esin<a(1+号+号+…+）， 设a(a)=x-h己e010,则(x)-1-己=产2<0， 1 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，则h(x)<h(0)=0, 则x<n己zxe(0,1),取x=(n∈N,m≥2)时， .i<h 1 h马+号++<h是+h号++h=ln(≥2 1+号+号+…+≤1+lnm(aeN),又a>0,a(1+号+号+…+)<a(1+lnm), esin1+e sin号+et sin++esin员<a(1+inm), .结论得证.………………… …17分 (五)·数学参考答案第6页（共6页）2026届全国高考压轴密卷（五） 数学答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号 考生禁填 1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，请认真核对条形 码上的准考证号、姓名。 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用黑色字迹的钢笔 正确填涂 意 或签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 涂 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的 涂下面的缺考标记 事 答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 样 口 项 4.作图可先用2B铅笔画出.确定后用钢笔或签字笔的黑色字迹覆盖。 例 缺考标记 5.保持清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 选择题 1 ABCD 6ABCD 11 AB C D 2A BC D 7ABCD 3 A BC D 8 AB C D 4ABCD 9ABCD可 5A BCD 10 AB CD 填空题 12. 13 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 五)数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. C A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 请勿在此区域内作答 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (五)数学第2页（共2页）绝密★启用前 2026届全国高考压轴密卷（五） 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 絮 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 圜 合题目要求的 1.已知集合M={x|x≤4}，N={x2-2<1),则MnN= 如 A.[-4,4] B.[-4,2) C.(-4,2] D.(0,2) 啟 2.若复数z满足1一21，则2的虚部为 A.-i B.-1 C.i D.1 3.已知等比数列{an}满足a2十a3=2,a2一a4=6,则S5= A.-31 B.31 C.-11 D.11 4.已知向量a=(1,2),b=(m,3)(m∈R),若a⊥(a一b),则b在a方向上的投影向量为 A.(W5,25) B.(-√5，-25) C.(1,2) D.(-1,-2) 痴 5已知双画线C号-手=1(a>0,6>0)的离心率为 coS30,则其渐近线方程为 A.y=±2x B.y=土√3x Cy=±2 D.y= 32 6.已知cosa十sin3=1,sina十cosB=0,则下列结论正确的是 A.nla+-号 B.sin(a+8)=- 2 C.sin(a-B)=1 D.sin(a-B)=-1 7.已知函数f(x)=6sin受的图象上，相邻的一个最高点与一个最低点恰好都在圆x2+y= R上，则f(x)的最小正周期为 A.4 B.42 C.2 D.2√2 8.已知函数f(x)=log2x,且f(a)十a=0,bf(b)=2b+4,则f(a)+f(b)= A.2 B.2√2 C.4 D.42 (五)·数学第1页（共4页） 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.给定一组不全相同的样本数据x1,x2,x,关于样本数据2x1一1,2x2一1，…，2x,一1的说 法正确的是 A.与原数据相比，极差一定变大 B.与原数据相比，众数一定变大 C.与原数据相比，平均数一定变大 D.与原数据相比，方差一定变大 10.已知函数f(x)=(x2一2x)e,则下列结论正确的是 A.f(x)有2个极值点 B.若f(x)在（一a,a)上单调递减，则a的最大值为√2 C.当0<x<乏时，f(sinx)>f(sinx) D.过原点可作2条直线与y=f(x)的图象相切 11.记△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b2+c2=2a2,则下列选项正确的是 A.2bccos A=a2 B.角A的最大值为号 C.tan A=tan Btan C tan B+tan C D.的取值范围是(3√5-5,35+5) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等差数列{an}的前n项和为S.,a5=Ss=5,则公差d= 1以.已知P是椭圆C:号+-1上的动点，A(-2,0),B(2,0,且PA1+PB=6则R= 14.圆维顶点为P,底面中心为0，体积为的正四面体0-ABC的底面ABC与该圆锥的底面 平行，且点A,B,C都在圆锥的侧面上，则该圆锥体积的最小值是 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在等差数列{an}中，a6=一6，a,=一3. (1)求{am}通项公式及其前n项和S.的最小值； (2)若数列{bn}为等比数列，且b1=a,b2=a11,求{bn}的前n项和Tm (五)·数学第2页（共4页） 16.(15分)学，中数的出学州近容化共化分安#，出连大本：贝 2025年2月7日至14日，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨隆重举行。作为亚洲最高水平 的冬季运动盛会，亚冬会不仅展现了亚洲冬季运动的实力和风采，也促进了亚洲各国之间的 体育交流和文化融合。某学校对喜欢冰雪运动是否和性别有关做了一次调查，共调查了 300名学生，其中被调查的男生和女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生总人数 的号，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生总人数的2，是否喜欢冰雪运动与性别的2×2列 联表如下， 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 (1)填写2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析能否认为喜欢冰雪运动 与性别有关？ (2)现举办了一场有关冰雪运动知识的竞赛，学校需派出2人参赛.从样本中喜欢冰雪运动的 学生按性别利用分层抽样的方法抽取11人，并从这11人中选出2人参加冰雪运动知识竞 赛，记参加竞赛中男生的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望 附： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n (ad-bc)2 参考公式：X=(a+b)(c+)(a十c)(b+d其中n=a+b+c+d. 世望宝无面，和文里心：三六 ..-(五)·数学。第3页（共4页） 17.(15分) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AC=1,A1C=√3，∠A1AC=60°，AC⊥ C BC,平面AA1C1C⊥平面ABC. A (1)若BC=2, ①证明：A1C⊥AC; ②求三棱锥CAA1B外接球的半径， (2)若平面ABB,与平面BCCB,夹角的正弦值为牙，求直线BA,与平面BC,B,所成 角的正弦值。 。道个国的器行 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点F(1,0)且与直线x=一1相切，设该动圆圆心的 轨迹为曲线Γ (1)求曲线T的方程； (2)设过点F(1,0)且斜率为一2的直线与曲线T交于M,N两点，求△OMWN的面积； (3)过点F(1,0)作两条互相垂直的直线1，l2,直线L与曲线P交于A,B两点，直线l2与曲 线T交于D,E两点，求|AB2+|DEI2的最小值 19.(17分) 已知函数f(x)=e(sinx十cosx)-a,a∈R. (1)求f(x)在[0，π]的最大值和最小值； (2)当a>0时，讨论定义在[0，π]上的函数g(x)=f(x)-e'cos x-ax十a的单调区间的 个数，并求g(x)的零点个数的最大值； (3)求证：当a>e时，yn∈N,esin1+ein号+e sin号++esin 1<a(1+lnn). (五)·数学，第4页（共4页）