2026年全国高考压轴密卷 数学试题(1)

绝密★启用前 2026届全国高考压轴密卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答 题卡上的非答题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 圜 1.设集合A={21≤克 ,B={xy=V1-x+1),则A∩B= 如 A.{x|-3≤x≤1》 B.{xx≤1} C.{x|x≤-3} D.{x|-1≤x≤3 2.已知|z|=|z一2，z为虚数，则z·之的值可能为 A.2 B.1 C.0 D.-1 3.沙漏是一种古代计时仪器.如图，某沙漏由上下两个相同的圆锥组成，圆锥的 目 底面直径和高均为6m,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的号，则这些 细沙的体积为 邪 A号rem B.cm C.8πcm3 32 D.cm 4.一组数据按从小到大排列为2,4,6，a,13,14,如果该组数据的中位数与这组数据的第60百 分位数相等，则该组数据的平均数为 A.7.5 B.6 C.4.5 D.3 5.已知等差数列{an)的前n项和为Sn,若S,=12,S。-S=24,则S2一，= A.36 B.48 C.60 D.120 6.设函数f(x)=2tan wI- )。>0)的图象的一个对称中心为（看0，则f(x)的一个最小 正周期是 A受 B音 c D. 7.已知圆C:(x十1)2+y2=r2(r>0),直线l:3x十4y-2=0.若圆C上恰有三个点到直线的距 离为1，则r的值为 A.2 B.3 C.4 D.6 8.已知98=108，a=92-102,b=99-109,则a,b的大小关系是 A.ba0 B.0>b>a C.a>0>b D.b>0>a (一)·数学第1页（共4页） 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知平面向量a=(一1，一2)，b=(1,一3)，a与b的夹角为0，则 A.a∥b是市香河5册函秋B.a⊥(a一b) C.0=45 D.b在a上的投影向量为（合，一是） 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线l与C交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，分别记C在点A,B处的切线为11，l2,P=L1∩l2,则下列说法正 确的是 A.C准线方程为x=一1 B.x1x2=4 C.PFmn=4 D.若x1十x2=6,则|AB|=10 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=10,2√5≤a≤5，bcos Acos C+ ccos Acos B=25 5a,下列选项正确的是 A.sin A=5 5 B.sinA=sinC可能成立 C.△ABC可能是等腰三角形 D.△ABC面积的最大值为20 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知函数f(x)=x(e+a)+2在点(0，f(0)处的切线与直线x-3y=0垂直，则a= 13.已知a,∈(0,5），且满足sin atan=-1-cosa,sin(a-P)=子，则cosa= 14.一个项数为6的正整数数列{an}满足a1=3,且a+1≥a(1≤k≤5，k∈N),若a6为不大于10 的偶数，则符合条件的数列{an共有 个. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(13分) 为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社区男性和女性 的感冒情况进行抽样调研，得到如下2×2列联表. 感冒情况 性别 合计 不感冒 感冒 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 (一)·数学第2页（共4页） (1)请根据2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析能否认为性别与感冒 情况具有相关性； (2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选出2 人分享发言，记分享发言中女性的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望. n (ad-bc)2 附：x-(a+b)c+)a千c)b+d西，其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 已知数列{an}的前n项和S.满足√S+1=√S+2(n∈N),且a1=4. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)记，=。1，求数列b.}的前n项和T a an+l 17.(15分) 已知椭圆C的中心在原点0，焦点在x轴上，离心率为，以椭圆C的四个顶点为顶点的四 边形的面积为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的右顶点为D,若直线1与椭圆C交于A,B两点，满足|DA+D|= |DA-DB1,证明：直线l过定点. (一)·数学第3页（共4页） 18.(17分) 如图，圆台O,O2的下底面的内接正方形ADBC的边长为4，P是上底面圆周上的一点，且 满足PA=PC=4,PB=4√2. 现接意 (1)证明：BC⊥平面PAC; 味家班，合我者等 (2)求三棱锥P-ABC的外接球的表面积； (3)N是BC的中点，M是上底面圆周上的一点，求异面直线MN与AD所成角的余弦值的 最大值。 长 19.(17分) 已知函数h(x)=2x十cosx,g(x)=e-a.x2十1. (1)当a=1时，判断函数g(x)的单调性； 都 (2)对任意的x≥0时，g'(x)≥h(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)记f()=h(x)-,若f()=fx),且0<名<：<，求证：f(佰）<0， (参考公式：cos0-c0sp=-2sin9生sin922) (一)·数学第4页（共4页）2026届全国高考压轴密卷（一） 数学·参考答案 1.C因为20+1≤2，所以2x+1<-5,解得x≤-3，即A=zz≤-3，B=红y=-五+1=红z≤1， 所以A∩B={xx≤一3).故选C 2.A设x=a+bi(a,b∈R),依题意知b≠0，则√a+b=√(a-2)2+b,解得a=1,则z·之= (1+bi)(1-bi)=1+b2>1.故选A. 3.B由题意可知：这些细沙的体积为》×号×6XxX32=号元cm,故选B 4A因为6X60%=8.6,所以该组数据的第60百分位数为a,又易知该组数据的中位数为“生，则有士5 2 a,解得a=6,所以这组数据的平均数为2+4+6+a+13+14=7,5.故选A 6 5.B由等差数列片段和的性质，Sg,S6-S,Sg一S6,S2一Sg成等差数列，故S,一S6=2(S6一S:)-S:=36,则 S12-S,=2(S,-S6)-(S6-Sa)=48.故选B. 6.B根据题意得晋。-吾-经∈乙，则w=3十1，又w>0,则T=而=品-3千k∈Z,对于A,若登是 于(x)的最小正周期，则千1-受，得=了，与k∈Z矛盾，故A错误；对于B,由千看得长=4，满足条 件，放B正确，对于C,由千一语得长=号，与∈Z矛酒，放C错误，对于D,由1牙得=名，与∈ Z矛盾，故D错误.故选B. 7.A圆C的圆心为(-1,0)，则圆心C到直线1的距离d=3XC一1)-2=1，又圆C上恰有三个点到直 √3+4 线1的距离为1，所以圆心(-1,0)到直线1的距离为d=7,即d=乞=1，.所以r=2.故选A 8.D因为98=108，所以t=1og8108,所以要比较a=9281o8一102与0的大小关系，只需比较1og108, og102的大小关系同理要比较a,b0的大小关系只需比较1ogn102=2,10g109=丹92，log018 In (x-10)In x In x -x-10∠ ng8的大小关系，我们构造函数f(x)=10(x>10),则子（x)=m(x-10) In (x-10)In z x-10 8-09奇<0，这意珠着f()-n20在10，+的)上是减菌数， In x 1n2(x-10) 从而1oga102=h竖-f102)>1ogn108=8=f108)>1og109=h9=f109),所以a= n98 92810s-102<0<b=99gg1o8-109,即b>0>a.故选D. 9.BC对于A,因为-1×(-3)≠一2×1，所以a与b不共线，故A错误；对于B,a·(a-b)=(一1，一2)· 2)=0,所以aL(a-b)放B正确：对于C,a·b=-1中6=5，a55,b1=0,则cos04=2, 解得0=45，故C正确；对于D,b在a上的投影向量为·b.a a‘a=(-1,-2),故D错误.故选BC :(一)·数学参考答案第1页（共6页） 10.BCD对于选项A,已知抛物线方程Cy2=2px(p>0),由条件知p=4,则号=2.对于抛物线y2=2px,其 准线方程是x=一多，所以准线方程为x=一2.故A错误，对于选项B,设直线1：x=my十2，与y2=8x联 立，把x=my+2代入y2=8x得y2=8(my十2)，即y2-8my-16=0.由韦达定理得y1y2=-16,又x1= 苔普，所以五=普·是-》-一0-4.放B正确对于选项C,设点Pa,b,甜物线= 8 8 64 64 8x的切点弦方程为yb=4x十4a,焦点F(2,0),代入得0=4×2十4a,解得a=一2，所以点P的轨迹是x= 一2，F(2,0),则|PFmm=4.故C正确.对于选项D,抛物线y2=2px上的点到焦点的距离等于到准线的距 离，已知p=4,若x1十x2=6,则|AB|=x1+x2十p=6十4=10.故D正确.故选BCD. 11,AC由正弦定理可得sin Bcos Acos C+-sin Ceos Acos B=25sinA,即cosA(sin Bcos C+-sin Ceos B) 5 25nA,即os Asin(B+C)=25inA,即sin AcosA=25nA,且SinA≠0，所以cosA=25,且 5 A∈(0，x),所以sinA=√1-(2)=号，放A正确，假设如A=s血C,则a=c,又6=10,25≤a≤5， 则a+c=2a≤l0,不满足三角形两边之和大于第三边，故sinA=sinC不可能成立，故B错误；假设b=c= 10,由余弦定理可得a2=6+c2-26c0sA,代人可得a2=100+10-2X10X10×25=200-80v5,又 5 25≤a≤5，即20≤a2≤25，则200-80√5≤25曰175≤80√/5曰7√5≤16台245≤256成立，所以a≤5成立， 200-805≥20曰180>80√5台9≥4√5台81>80成立，所以a≥2√5成立，故C正确；由三角形的面积公式 S=bcinA=号×10c×9=5c,由余弦定理可得。2=+2-2bc0sA,即。2=100+2-8v5c,且 (100+c2-85c≤25， 〔(c-3√5)(c-5w5)≤0， 2√5≤a≤5，即20≤a2≤25，所以 化简可得 解得3√5≤c≤ 100+c2-8√5c≥20， (c-4/5)≥0， 55,所以c=5√5时，三角形的面积最大，最大值为S=√5c=√5×5√5=25，故D错误.故选AC. 12.一4由题意有f(x)=e十a十xe=(x+1)e+a,所以f(0)=1+a,由于函数f(x)在点 (0,f(0))处的切线与直线x一3y=0垂直，所以f(0)=1十a=一3，所以a=-4. 13.号法-：由s血atan日=1-cosa,则sin asin日=eos日-c,因此coscos十sin asin日= cos(a-)=cosB,又因为a,Be(0,2),a-Be（-5,5),所以a-B=B,所以a=2,则sin(a-B)= sin=号，cosa=cos2g=1-2simg=号.法二：由sin atan月=1-cosa,则tan月=1goe=tan号，结合 sin a 9c(0,受），号∈(0，晋），则号=Ba=2g,则i血(a-D=n月产号，0sa=cos2g-1-2simg- .7 14.496由题意，a1=3,且au+i≥as(1≤k≤5，k∈N),当a6=4时，a1=3,则a2,ag,a4,a5可以取3或4，且逐项 不减小，此时满足条件的数列(a.}的个数有5个；当a6=6,a1=3,则a2,a,a4,as可以取3或4或5或6，且 (一)·数学参考答案第2页（共6页） 逐项不减小，此时满足条件的数列{a.}的个数有C十C×3十C×3十C=35(个)；当a6=8,a1=3,则a2, aa,a4,a5可以取3或4或5或6或7或8，且逐项不减小，此时满足条件的数列{an}的个数有C十C×3十 C号×3+C=126(个)；当a6=10,a1=3,则a2,a3,a4,a5可以取3或4或5或6或7或8或9或10，且逐项不 减小，此时满足条件的数列{am}的个数有C十C×3十C×3+C=330(个)；综上，满足条件的数列 {am}共有5+35+126+330=496（个）. 15.解：(1)零假设为H。:性别与感冒情况不具有相关性. 根据列联表中的数据， 得X2=100XC30X10-45X15)2=100≈3.030<3.841=i,…4分 75×25×45×55 33 根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，即认为性别与感冒情况无关.…6分 (2)根据分层随机抽样的方法可知抽取的男性有2人，女性有3人，……7分 所以随机变量X的所有可能取值为0,1,2，…………………………………8分 则PX=o-8=0Px=)-9=号P(x=2)-8-高 C 所以X的分布列为 X 0 2 …………………………………11分 10 5 10 所以E0X)=0×品+1×号+2品 6 5 ，……13分 16.解：(1)√S,=√a=2, √S+1-√S。=2(n∈N￥)， ∴.√S。=2+2(n-1)=2m,∴.S。=4n2. …3分 当n=1时，a1=S1=4; 当n≥2时，an=S。-S.-1=8n-4, 且a1满足上式，所以a.=8n-4.……7分 (26=ad.8n-8n+D6'2m-2m+D =6×号(23中)-品(2nn) .=6++…+6=(1-号+号-+…+2)》 1 =2(1-2）=1620+D 数列{b,)的前n项和为16(2n+1) …………15分 (一)·数学参考答案第3页（共6页） 17.解：(1)设椭圆C的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c. 由已知，-即=，又6+e=,所以公= 4b= ,…2分 由2ab=4,可得a2=4,所以a=2,b=1,……4分 因为C的焦点在x轴上，所以C的标准方程是2十y1.…5分 (2)由(1)知D(2,0),设A(x1y1),B(x2y2),x1x2∈(-2,2)， 由DA+D=|DA-Di1知，DA·D克=0， 即(x1-2)(x2-2)十y1y2=0,即x1x2-2(x1十x2)十y1y2十4=0，………7分 ①当直线1垂直于x轴时， 且+=1， 4 (y1=-y2, 放5d-161十12=0，解得=号或x=2(舍去)， 此时1过点（号，0）： ……10分 ②当直线l的斜率存在时，设1：y=kx十m, y=kx十m, 联立方程 +y=1 得(1+42)x2+8kmx+4m2-4=0, 由△>0得m2<4k2+1,且x1十x2=一 限-算 8km 由x1x2-2(x1+x2)+y1y2十4=0，得(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0, 8km 将西+=注1=代人上武可得5m十16km+12二0 1+4k2 即5m+16m+12x=0,所以(m+2)(5m+6)=0,所以m=-2(含去)度m=-号 此时1过点（号，0 …14分 综上可知直线1过定点(6,0…………… ……15分 18.解：(1)由题设知PC=BC=4,PB=4√2，则PC2十BC2=PB2,故PC⊥BC,…1分 由于四边形ADBC为正方形，则BC⊥AC,而PC∩AC=C且PC,AC都在平面PAC内， 所以BC⊥平面PAC.…4分 (2)由BC⊥平面PAC,△PAC为等边三角形，将三棱锥B-ACP补成正三棱柱 E B APC-EFB, 设△APC的中心为点H,△BEF的中心为点Q,则QH的中点G为外接球球心， 所以△APC的外接圆半径AH=AC=4」 2sin号v GH=BC=2,…6分 (一)·数学参考答案第4页（共6页） 所以外接球的半径R=AG=√AH+GF=√3 /28 ………………8分 因此三棱维P-ABC的外接球的表面积S=46R2-1号2。…10分 (3)由于BC⊥AC,所以以C为原点，CA,CB所在直线为x,y轴，建立如图所示 的空间直角坐标系Cxyz, 则O2(2,2,23),B(0,4,0),N(0,2,0),设M(x,y,23),连接O2M,…12分 由于BCC平面ABC,则平面ABC⊥平面PAC, :: 则点P到AC的距离等于1O,O2|,而|MO2|=2,所以(x一2)2+(y一2)2=4且 x∈[0,4]， 又Ni=(x,y-2,2√3)，A方=C克=(0,4,0)，设异面直线MN,AD所成角为0，…14分 则cos0= INM.AD 4(y-2)1 1y-2] 1NM11AD14√+(y-2)+12√+(y-2)+12 (y-2)2 4-(x-2)2 -x2+4x 所以cos0=2+y-2)+122+4-(x-2)+124x+12 =-(x+3)2+10(x+3)-21--x+3-,21 5 4(x+3) 44(x+3)+2 ≤-2·24+5厘-()八 2 当且仅当x=√2-3时取等号，则c0s长7二3 2 所以异面直线MN与AD所成角的余弦值的最大值为7， ……………………………17分 2 19.解：(1)当a=1时，g(x)=e-x2十1，则g(x）=e一2x,…1分 令m(x)=e2-2x,则m(x)=e-2,令m(x)=0,得到x=ln2,…2分 当x<ln2时，m'(x)<0,即m(x)在区间(-oo,ln2)上单调递减， 当x>ln2时，m'(x)>0,即m(x)在区间(ln2,十o∞)上单调递增， 所以m(x)≥m(ln2)=2-2ln2>0,则g'(x)>0, 所以g(x)在R上单调递增。………………4分 (2)因为g(x)=e-ax2+1,所以g'(x)=e-2ax, 设F(x)=g(x）-h(x)=e-2ax-2x-cosx,x≥0，…6分 F(x)=e-2a-2+sin x,0, 令n(x)=e-2a-2+sinx(x≥0)，则n(x)=e+cosx≥1+cosx≥0， 所以n(x)在区间[0，十∞)上单调递增，即F(x)在区间[0，十∞)上为增函数， 故F(x)≥F(0)=1-2a-2=-2a-1, (一)·数学参考答案第5页（共6页） 当a≤-2时，F(x)≥PF(0)=-2a-1>0,此时F(x)在区间[0，十∞)上单调递增， 放F(x)≥F(0)≥0，符合题意；…8分 当a>-2时，F(0)=-2a-1<0,且F(x)在[0，+o)上为增函数， 故存在xo>0满足F(x)=0,则F(x)在[0，xo)上单调递减， 所以当x∈[0，x0)时，F(x)≤F(0)=0,不符合题意， 综上所述，实数。的取值范围为(-∞，-7]， ……………………………………………………10分 (3)f(x)=2x-1x2+c0sE,f(z)=2-2z-sin,…11分 由f(x1）=f(,),得2z1-+c0s5,=2,-主+c0s4, 所以2a-)（红十)-)+c0s-05=0, 两边同除以x1-,得2-士(G十)+05二c0s五=0， 元 x1一x2 所以2-红十)+ =0,……13分 x1-x2 、令。干丝得2三。、 2sin tosin 2 2 工1一x2 2=0,得2-名2nm5 x1-x2 因为f(x)=2-2红-sinx, 2sin o sin 2 sin zo-sin o x1-x2 x1一x2 sin 所以了()=2g。-sinx=手 2 ,………15分 x1一x2 一x2 2 sin sin 2 n飞一x2 因为x二 ,又2∈(0，受），易知0<n2<2,所以 2 2 --1<0, x2x1 2 2 x1-x2 2 2 2 又，∈(0，)，所以sin>0,放(x)<0,得f(色）<0.…17分 一)·数学参考答案第6页（共6页）■■■■ 2026届全国高考压轴密卷（一） 数学答题卡 姓 名 贴条形码区 准考证号 考生禁填 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核对条形 码上的准考证号、姓名。 注 2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用黑色字迹的钢笔 填 正确填涂 缺考考生，由监 或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 考员用2B铅笔填 意 涂 3.请按照题号顺序在各题目的答题区城内作答，超出答题区域书写的 涂下面的缺考标记 事 答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 样 0 项4，作图可先用2B铅笔画出，确定后用钢笔或签字笔的黑色字迹覆盖。 例 5.保持清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮 缺考标记 纸刀。 选择题 1A⑧@D 6ABCD 11ABC可 2A B C D 7A四BCD 3A B CD 8 A B CD 4ABC D 9AB CD 5ABC D 10ABCD 填空题 12. 13, 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 16. 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (一)数学第1页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 。02 请勿在此区域内作答 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一）数学第2页（共2页）