单调性分类讨论归纳总结讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

一元函数的导数及其应用 单调性分类讨论归纳总结 人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用 一、导函数为二次型的单调性讨论 若导函数为f=r+br+c,则 g(x) ①分子二次型函数可以因式分解，注意定义域 某一根不落在定义域内； 对两根的大小进行分类 两根相等x=x2; 两根均在定义域内，且x>x2 两根均在定义域内，且x<x2 ②分子二次型函数不可以因式分解，借助判别式、求根公式和韦达定理，同时 注意定义域 设h(x)=ax2+bx+c; △=b2-4ac -b+b2-4ac 若二次项含参，以开口方向进行讨论： X= ；→ 2a 若二次型不含参，额以根的个数进讨论· -b-b2-4ac X2= 2a x=; a (一)典型例题分析 例题1.设函数f(x)=ar2+x+lnx.讨论函数f()的单调性. 解析：由已知函数f)的定义域为(0，+o),"(=2r+x+1 比 1 设h(x)=2ar2+x+1,△=1-8a,对称轴为x=- Aa 第1页共12页 令h(x)=2m2+x+1=0→x= -1-V1-8a .-1+1-8a ,X)= xx=2a (确定根的正负) 4a Aa 以上格式可固定 因为二次项系数含参数a，所以根据开口情况分为三大类. (i)当a=0时，(x)=x+1,由导函数f(x)走势图得到函数f()单调性趋势图（抓 住定义域)： f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x) f(x) -10 2 0 由图可得：函数f(x)在(0，+o)单调递增； )当0>0时.函数对称抽0之0，因为1-800 4a 所以x2<0 f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x) h(x h(z) f(x) 、0E 0 由图可得：函数f(x)在(0，+∞)单调递增； (iii)当a<0时，x=-1 00,西<0，因为x2V1-80>0,所以x<0 4a (x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： :h(x) f(x) 0 第2页共12页 由图可得：高数在01 单调递增，在 -1-V1-8 ,+0 单调递减 Aa 综上可知：当a≥0时，函数f()在(0，+o)单调递增；当a<0时，函数f(x)在 单调递减， 例题2.(2021年全国高考乙卷)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1,讨论函数f(x)的单 调性 解析：由已知函数fx)定义域为R,求导f'(x)=3x2-2x+a, 设()=3x2-2x+a,△=4-12a,对称轴x= 3, 令h(x)=3x2-2x+a=0→x1= .1+V1-3a.1-V1-3a ,X2= 3 ,x=3' a (i)当△≤0，即a≥时， (x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x h(x) f(x) 0 2 由图可知：函数f(x)在R上单调递增； (i)当A>0,即a<时，由=3x-2x+a=0今=1+-30>=1--30>0 3 3 3 f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x) f(x) 由图可知：数在（1树 单调递增，在 第3页共12页 1-V1-3a1+V1-3a 单调递减； 3 3 综上可知：当a≥时，函数f)在R上单调递增： 单调递增，在 1-1-3a1+V1-3a 单调递减。 3 3 例题3.(2025年攀枝花市高三模拟试题)已知函数f=1-x+aln.讨论fm的 单调性. 解析：函数f)的定义域为(0，+0)，求导可得f)=--ar+! x2 设h(x)=x2-ar+1,△=a2-4,对称轴x= 2 令h)=x2-ar+1=0→x=a+va-4 _a-Va2-4 2 ，X1 ,xx2=1, 2 (i)当△=a2-4≤0，即-2≤a≤2时， f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x) h(x) f(x) 由图可知：函数f(x)在(0，+o)单调递减： (ii)当△=a2-4>0,即a<-2或a>2时， (a当a-2时，6--4<05=1=x<0 2 ,h(x) f(x) 、0x 由图可知：函数f(x)在(0，+o)单调递减； 第4页共12页 ®)当a>2时，5=+g>06=1=>0,且5=g÷4,a-4 0, 2 2 f(x)分布走势图： f(x)单调趋势如下： h(x) f(x) 02/ 由可：西数在Q-9华调道增：在 a-va2-4 a+va2-4 单调递减 2 2 综上可知：当a≤2时，函数f(x)在(0，+o)单调递减； a-Va2-4 a+va2-4 单调递减. 2 (二)变式练习 1.已知函数f(x)=2nx-ar2+1(a∈R).讨论函数f(x)的单调性. 2.已知函数f(x)=ax2-lnx-x(aeR).讨论函数f(x)的单调性. 3.已知函数f(x)=lnx-ar+x2(a∈R).讨论函数f(x)的单调性. 4.已知函数f(x)=lnx+x2-2ar(a>0).讨论函数f(x)的单调性. 5.已知函数f(x)=mnx+x2-x.讨论函数f(x)的单调性. 第5页共12页 二、非二次型导函数 求出函数的导函数，化简后的导函数不是二次函数或分式的分子不是二次函数， 这样的导函数我们称之为非二次型导函数」 例如： 原函数：f(x)=e+ar,导函数：f'(x)=e'+a 原函数：f(x)=e+sinx+ar,导函数：f'(x)=e+cosx+a 对于非二次型导函数我们可以从函数的平移变换与伸缩变换进行分析，由 此确定导函数的零，点是否存在. 对于非二次型导函数，我们可以从函数的平移与伸缩的角度进行解读，由此确定导函数的零点是否存在。 (一)典型例题分析 例题1.(2023年新高考|卷)已知函数f(x)=a(e+a)-x.讨论f(x)的单调性. 解析：函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ae-1, ①当a≤0时，f(x)<0恒成立，则函数fx)在R上单调递减； 第6页共12页 ②当a>0时，由/)=0户=h日 f(x)分布走势： f(x)单调趋势如下： f(x) 由图可知：画数在〔，b调减，在+ 单调递增； a 综上可知：当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减； 当a>0时，函数f在〔-，b单调递减，在〔。+) 单调递增 a 例题2.已知函数f0)=(x-2e-72+,讨论f)的单调性. 解析：函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(x-1)e-ar+a=(x-1)(e-a), ①当a≤0时，e-a>0恒成立，令f(x)=0→x=1, f(x)分布走势： f(x)单调趋势如下： 分1 由图可知：函数f(x)在(-0,1)单调递减，在L,+∞)单调递增； ②当a>0时，令f'(x)=0→x=1,x2=lna, (i)当x,=x,时，即a=e时， f(x)分布走势： f(x)单调趋势如下： 第7页共12页 由图可知：函数f(x)在R上单调递增； (ii)当x>x,时，即0<a<e时， f(x)分布走势： f(x)单调趋势如下： ←一 f(x 由图可知：函数f(w)在(-o,lna),(L,+oo)单调递增，在(na,l),单调递减； (iii)当x<x,时，即a>e时， f(x)分布走势： f(x)单调趋势如下： f(x) y-e-a Ina T 由图可知：函数fx)在(-o,l),na,+oo)单调递增，在(L,lna)单调递减； 综上可知：当a≤0时，函数f(x)在(-o,)单调递减，在(L,+o)单调递增； 当0<a<e时，函数f(x)在(-o,lna),(L,+oo)单调递增，在(na,l),单调递减： 当a=e时，函数f(x)在R上单调递增； 当a>e时，函数f(x)在(-o,l),lna,+oo)单调递增，在(L,lna)单调递减； 例题3.已知函数)=(r-nxr+x,求单调区间， 解析：函数f(x)定义域为(0，+oo),f'(x)=(2ax-1)lnx, ①当a=0时，f'(x)=-lnx=0→x=1, 第8页共12页 f(x)分年走势： f(x)单调趋势如下： 一 f(x) 由图可知：函数f()在(0,1)单调递增，在(L,+∞)单调递增； ②当a<0时，令f)=0→=2a<0,=l, 1 (x)分冻美势 f(x)单调趋势如下： f(x y=2ax-】 由图可知：函数f()在(0,1)单调递增，在L,+0)单调递减； 1 ③当a>0时，令f()=0→=20>0西=1，（此时两根大小不确定，所以下面需 要讨论) (i)当0<x<飞→0<1<1时，即a> 2a f(x)分年走势 f(x)单调趋势如下： y=2ax-1 y=Inz f(x) 由图可知：函数f在)，+单调递增，在（云 单调递减； i0当=6名1时，即0 f(x)分年是势： f(x)单洞是势如下： y y=2ax-1 y=Inx f(x) 第9页共12页 由图可知：函数f(x)在(0，+o)单调递增； (ii)当>5→2>1时，即0<a<分 (x)分年美势： f(x)单调趋势如下： y y=2ax-1 f(x】 → 2a y=Inz 由国可知：函数f在o,(品+单调选增，在a) 单调递减； 综上可知：当a<0时，函数f(x)在(0，)单调递增，在(L,+o)单调递减； 当0<a时，函数f在0，(a单调递增，在a单洞道减： 当a时，函数f)在0，+w)单调递增： 当a号时，画教在00+树单调道增，在公单调造减 (二)变式练习 练I0已知函数f(x)=e2-ax(a∈R).讨论f(x)的 单调性。 练12已知函数f(x)=lnx-ax+2(a∈R).讨论 f(x)的单调性； 第10页共12页